0 引言

　　近年來無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（Wireless Sensor Network，WSN）在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如目標(biāo)的定位與跟蹤和動物行為監(jiān)控等。而精確的目標(biāo)位置信息是上述應(yīng)用的基礎(chǔ)，因此，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的定位技術(shù)一直是研究的熱點(diǎn)?；诰嚯x的定位算法可利用到達(dá)時間（TOA）、到達(dá)時間差（TDOA）和到達(dá)角度（Angle of Arrive，AOA）等測量值，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的定位。其中，AOA的測量精度高于TOA和TDOA，基于AOA的定位算法不需要各傳感器之間進(jìn)行時鐘同步[1，2]，但是AOA測量設(shè)備的尺寸和成本限制了它的應(yīng)用，然而信號處理技術(shù)和設(shè)備制造技術(shù)的發(fā)展很好地解決了上述問題，所以近年來基于AOA的定位算法又得到了關(guān)注。

　　關(guān)于基于AOA的定位算法，相關(guān)學(xué)者已經(jīng)做了很多研究。文獻(xiàn)[1-3]利用錨節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)的方位線兩兩之間的交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)求和估計(jì)目標(biāo)的位置，這類算法可稱為基于權(quán)值交點(diǎn)的AOA定位算法。文獻(xiàn)[3]提出了CAOA算法，該算法將所有的方位線交點(diǎn)的均值作為目標(biāo)的估計(jì)位置。文獻(xiàn)[4，5]提出了SA算法，利用方位線交點(diǎn)的閉式解的一階或二階偏導(dǎo)定義各交點(diǎn)的敏感度，生成相應(yīng)的權(quán)值，再進(jìn)行加權(quán)求和。文獻(xiàn)[1，2]在定位誤差分析的基礎(chǔ)上提出了基于權(quán)值方位線交點(diǎn)的定位算法。文獻(xiàn)[1]提出WIAOA算法利用錨節(jié)點(diǎn)之間的距離、錨節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)的AOA測量值及其標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)建方位線交點(diǎn)的權(quán)值。文獻(xiàn)[2]提出的CWIAOA定位算法利用方位線交點(diǎn)的CRLB值得到交點(diǎn)的權(quán)值。而某些交點(diǎn)雖具有較大的權(quán)值，但其與目標(biāo)真實(shí)位置之間的偏差卻比權(quán)值較小的交點(diǎn)的偏差大，將這樣的交點(diǎn)用于目標(biāo)位置的估計(jì)會嚴(yán)重影響估計(jì)的精度，這樣的交點(diǎn)可稱為奇異方位線交點(diǎn)。

　　本文給出了一種基于GDOP(Geometric Dilution of Precision)權(quán)值交點(diǎn)的魯棒AOA定位（RGWIAOA）算法，該算法利用圓誤差概率剔除奇異方位線交點(diǎn)，將剩余的方位線交點(diǎn)視為有效交點(diǎn)，對有效交點(diǎn)賦予相應(yīng)的歸一化權(quán)值并進(jìn)行加權(quán)求和，完成對目標(biāo)的位置估計(jì)。算法只對有效交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)求和，同時在權(quán)值的計(jì)算中考慮了錨節(jié)點(diǎn)的位置誤差，使算法有較高的定位精度，并且在不同的應(yīng)用環(huán)境下具有較好的魯棒性。

1 模型的建立

　　AOA算法利用錨節(jié)點(diǎn)測量盲節(jié)點(diǎn)信號的達(dá)到角度，建立錨節(jié)點(diǎn)與盲節(jié)點(diǎn)之間的方位線，兩條方位線的交點(diǎn)即為盲節(jié)點(diǎn)位置的粗估計(jì)值。這里假設(shè)各錨節(jié)點(diǎn)與盲節(jié)點(diǎn)之間不存在遮擋，即信號傳播存在直達(dá)徑，錨節(jié)點(diǎn)能測量定位信號的AOA。

　　假設(shè)有N個位置已知但存在誤差的固定錨節(jié)點(diǎn)，和分別表示第i個錨節(jié)點(diǎn)的已知位置和真實(shí)位置，nxi為xi與之間的誤差，nyi為yi與之間的誤差，nxi和nyi均服從零均值的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差分別為?滓xi和?滓yi，。表示第i個錨節(jié)點(diǎn)AOA的測量值，表示第i個錨節(jié)點(diǎn)AOA的真實(shí)值，ni表示第i個錨節(jié)點(diǎn)AOA測量值的誤差，其服從均值為零且標(biāo)準(zhǔn)差為?滓i的正態(tài)分布。盲節(jié)點(diǎn)的位置是未知的，用p=(xT，yT)表示其真實(shí)位置。算法對盲節(jié)點(diǎn)位置的估計(jì)結(jié)果用表示。定位模型可以用如下公式表示：

　　其中，

2 基于GDOP權(quán)值交點(diǎn)的魯棒AOA定位算法

　　基于權(quán)值交點(diǎn)的AOA定位算法的核心思想是，在獲得所有連接錨節(jié)點(diǎn)和盲節(jié)點(diǎn)的方位線間的兩兩交點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)求和，作為目標(biāo)位置的估計(jì)值，其一般公式為：

　　式中，N為錨節(jié)點(diǎn)的個數(shù)，和分別為方位線交點(diǎn)在x軸和y軸上的歸一化權(quán)值，不同算法的區(qū)別在于和的確定過程。

　　為提高基于權(quán)值交點(diǎn)的AOA定位算法的定位精度，首先應(yīng)剔除那些權(quán)值較高但偏離盲節(jié)點(diǎn)實(shí)際位置距離較大的方位線交點(diǎn)。為此可以考慮引入圓誤差概率解決這個問題。二維環(huán)境下圓概率誤差的定義為定位結(jié)果落到以錨節(jié)點(diǎn)真實(shí)位置為中心的圓形區(qū)域C的概率。圓形區(qū)域C這里稱為誤差概率圓，它的半徑定義為幾何精度因子半徑的n倍[6]，由式(5)確定，其中RCEP-P表示定位結(jié)果以概率P落入圓形區(qū)域C的半徑。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，式(5)中P與n的關(guān)系可由式(6)確定，通過推導(dǎo)得到式(7)。

　　圓形區(qū)域C的圓心為盲節(jié)點(diǎn)的真實(shí)位置，而對于定位問題，盲節(jié)點(diǎn)的位置是未知的。這里以方位線的交點(diǎn)代替盲節(jié)點(diǎn)的真實(shí)位置(xT，yT)，其誤差概率圓的半徑可由下式得到：

　　其中，代表方位線i和方位線j的交點(diǎn)的誤差概率圓的半徑。N條方位線共有個交點(diǎn)，若方位線交點(diǎn)與之間的距離滿足：

　　則認(rèn)為和為有效交點(diǎn)。在概率為P條件下，找出有效交點(diǎn)，將有效交點(diǎn)用于盲節(jié)點(diǎn)的位置估計(jì)，從而減小奇異方位線交點(diǎn)對定位精度的影響。

　　下面討論GDOP的計(jì)算問題。在考慮錨節(jié)點(diǎn)的位置存在誤差的情況下，根據(jù)式（3）對求微分，得：

　　其中：

　　令，且：

　　得：

　　利用偽逆求解盲節(jié)點(diǎn)定位誤差估計(jì)值為：

　　假設(shè)各錨節(jié)點(diǎn)的AOA測量誤差互不相關(guān)，且錨節(jié)點(diǎn)位置誤差各元素之間及各錨節(jié)點(diǎn)位置誤差也互不相關(guān)，故：

　　式中，

　　上述GDOP的計(jì)算方法，既考慮了錨節(jié)點(diǎn)的AOA測量誤差，也考慮了錨節(jié)點(diǎn)位置的誤差，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。這里仍然以方位線i和方位線j的交點(diǎn)代替盲節(jié)點(diǎn)的真實(shí)位置，得到：

　　綜上，方位線i和j的交點(diǎn)，在x軸和y軸上的非歸一化的權(quán)值為：

　　式中，和分別代表矩陣的主對角線上的兩個元素。所有有效方位線交點(diǎn)構(gòu)成的集合為，令：

　　若方位線交點(diǎn)不屬于，則：

　　若方位線交點(diǎn)屬于，則其歸一化權(quán)值表示為：

　　根據(jù)式(22)、式(23)，對各方位線交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)求和，盲節(jié)點(diǎn)位置的估計(jì)值為：

　　綜上所述，本文所給的基于GDOP權(quán)值交點(diǎn)的魯棒AOA定位算法主要包括以下三步：(1)錨節(jié)點(diǎn)獲得AOA測量值；(2)得到方位線交點(diǎn)，確定有效交點(diǎn)；(3)有效交點(diǎn)加權(quán)求和，估計(jì)目標(biāo)位置。RGWIAOA算法的具體步驟如下：

　　初始化：錨節(jié)點(diǎn)(xi，yi)或，i=1，2，…，N，AOA測量值，圓誤差概率P=0.5，有效交點(diǎn)個數(shù)門限。

　　算法過程：盲節(jié)點(diǎn)(xT，yT)定位。

　　(1)獲得方位線交點(diǎn)；

　　(2)分別根據(jù)式(19)計(jì)算GDOPi，j；

　　(3)分別根據(jù)式(8)計(jì)算；

　　(4)計(jì)算方位線交點(diǎn)之間的距離，根據(jù)式(23)確定有效交點(diǎn)集合；

　　(5)若有效交點(diǎn)個數(shù)小于，則加大圓誤差概率P并重復(fù)步驟(3)；

　　(6)根據(jù)式(20～２３)計(jì)算各方位線交點(diǎn)的權(quán)值；

　　(7)根據(jù)式(24)估計(jì)盲節(jié)點(diǎn)的位置。

3 仿真結(jié)果與分析

　　為驗(yàn)證本文所給算法的性能，本節(jié)在幾種典型場景下對RGWIAOA算法、CAOA算法、WIAOA算法、CWIAOA算法和SA算法的定位性能進(jìn)行比較。在每個場景下，每種算法進(jìn)行1 000次Monte-Carlo仿真，統(tǒng)計(jì)算法的均方根誤差。

　　(1)場景1：6個錨節(jié)點(diǎn)沿半徑為60 m的圓形邊緣均勻分布，錨節(jié)點(diǎn)位置分別為（120，0）、（90，51.96）、（30，

　　51.96）、（0，0）、（30，-51.96）和（90，-51.96），且錨節(jié)點(diǎn)的已知位置與真實(shí)位置相比不存在誤差，盲節(jié)點(diǎn)位置為（60，0）。各錨節(jié)點(diǎn)對盲節(jié)點(diǎn)的AOA測量值的誤差互不相關(guān)，且的取值范圍為[1°，5°]。

　　圖1為場景1下各算法的RMSE隨?滓?茲變化的曲線。從圖 1中可以看出在場景1下，CAOA算法的性能最差，其RMSE偏離CRLB較遠(yuǎn)，其他算法性能接近，且它們的RMSE基本達(dá)到CRLB。

　　(2)場景2： 6個錨節(jié)點(diǎn)沿直線等間距分布，間距為20 m，錨節(jié)點(diǎn)位置分別為（-50，0）、（-30，0）、（-10，0）、（10，0）、（30，0）和（50，0），且錨節(jié)點(diǎn)的已知位置與真實(shí)位置相比不存在誤差，盲節(jié)點(diǎn)位置為（0，60）。各錨節(jié)點(diǎn)AOA測量值的誤差互不相關(guān)，且取值范圍為[1°，5°]。

　　圖2為場景2下各算法的RMSE隨變化的曲線。從圖 2中可以看出在場景2下，CAOA算法的性能最差，其RMSE偏離CRLB的程度隨的增加而增大，RGWIAOA算法的整體性能優(yōu)于其他算法，但當(dāng)>4°時RGWIAOA算法的RMSE與CRLB有較小的偏離。

　　對比場景1和場景2，可以發(fā)現(xiàn)上述幾種算法的定位性能在場景1下比在場景2下要好，即錨節(jié)點(diǎn)分布盲節(jié)點(diǎn)的周圍時，算法的定位性能比較好。

　　(3)場景3：錨節(jié)點(diǎn)位置誤差各元素之間及各錨節(jié)點(diǎn)位置誤差也互不相關(guān)，且其他條件與場景2一致。

　　圖3為場景3下各算法的RMSE隨?滓?茲變化的曲線。從圖 3中可以看出在場景3下，CAOA算法的性能最差，其RMSE偏離CRLB的程度隨?滓?茲的增加而增大，RGWIAOA算法的整體性能優(yōu)于其他算法。但由于錨節(jié)點(diǎn)的已知位置存在誤差，將其用于位置解算，故上述5種算法的RMSE與CRLB相比均會存在一定的偏差。對比圖 3和圖 2還可以發(fā)現(xiàn)，在一定的情況下，對算法性能的影響會隨著增大而相對減弱。

　　綜上所述，仿真結(jié)果表明，本文所給RGWIAOA算法在不同場景下，較其他幾種算法有更好的適應(yīng)性，且該算法的定位精度在整體上優(yōu)于其他算法。

4 結(jié)束語

　　本文給出了一種基于GDOP權(quán)值交點(diǎn)的魯棒AOA定位算法。算法的核心思想是在所有方位線交點(diǎn)的基礎(chǔ)上利用圓誤差概率確定有效交點(diǎn)，根據(jù)有效交點(diǎn)的GDOP為其賦予相應(yīng)的權(quán)值，并對有效交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)求和，得到目標(biāo)的位置估計(jì)。RGWIAOA算法充分利用了錨節(jié)點(diǎn)AOA測量值的標(biāo)準(zhǔn)差，同時在GDOP的計(jì)算中考慮了錨節(jié)點(diǎn)自身位置的誤差對計(jì)算結(jié)果的影響。仿真結(jié)果表明，RGWIAOA算法與WIAOA算法、CWIAOA算法、SA算法和CAOA算法相比，具有更好的適應(yīng)性，且算法的整體定位精度更高。

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