0 引言

    越來(lái)越多的研究人員致力于網(wǎng)絡(luò)流量特征的研究，現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)流量中都能檢測(cè)到自相似特性。赫斯特指數(shù)(Hurst index，H指數(shù))是描述自相似特性的唯一特征參數(shù)，它能刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)量突發(fā)的劇烈程度，影響網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)量建模的準(zhǔn)確度。

    赫斯特指數(shù)估計(jì)方法的研究開(kāi)始于國(guó)外，起初學(xué)者大多數(shù)集中在對(duì)R/S法(Rescaled Range，R/S)的研究上，后來(lái)提出了一些新的H指數(shù)估計(jì)方法和應(yīng)用。MARCIN M提出了基于p-variation的估計(jì)方法^[1]，這種方法可以估計(jì)單分形布朗運(yùn)動(dòng)的H指數(shù)。BLYTHE D A J^[2]將H指數(shù)的估計(jì)方法運(yùn)用到腦電圖的分析當(dāng)中，演示了信號(hào)噪聲比例在H指數(shù)估計(jì)中的影響。國(guó)內(nèi)的學(xué)者也對(duì)H指數(shù)的估計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究和應(yīng)用。張廣興^[3]將H指數(shù)估計(jì)方法運(yùn)用于多尺度下的IP網(wǎng)絡(luò)流量特征分析與研究。徐凌^[4]提出了一種基于Haar小波的Hurst參數(shù)估計(jì)方法，比傳統(tǒng)估計(jì)方法的精度有所提高。目前比較常用的自相似業(yè)務(wù)量估計(jì)方法有R/S分析法、聚類方差法、周期圖法、Whittle法^[5]、小波分析法。其中Whittle法需要在已知序列的譜密度形式的情況下才能對(duì)序列進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，而真實(shí)網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)量的譜密度形式往往是未知的，所以本文只對(duì)其他4種方法進(jìn)行研究。

1 自相似過(guò)程及其數(shù)學(xué)特性

1.1 自相似過(guò)程的定義

1.2 自相似過(guò)程的特征

    赫斯特效應(yīng)：Hurst參數(shù)是自相似過(guò)程的唯一參數(shù)，當(dāng)H=0.5表明時(shí)間序列是隨機(jī)的，0.5<H<1表明時(shí)間序列具有自相似性，網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)量的H值一般在0.75附近。

1.3 分形高斯噪聲模型

    分形高斯噪聲^[9](Fractal Gaussian Noise，F(xiàn)GN)是目前最為廣泛使用的一種自相似模型。FGN序列的自相關(guān)函數(shù)為：

2 Hurst指數(shù)估計(jì)法及修正辦法

2.1 R/S估計(jì)法

2.1.1 原理

    對(duì)于具有自相似性的序列X有：

2.1.2 R/S修正辦法

    在實(shí)際應(yīng)用中m值的設(shè)定關(guān)系到算法的運(yùn)算時(shí)間和算法的精度。圖1是m值的個(gè)數(shù)與估計(jì)方法運(yùn)算一次所需要的時(shí)間關(guān)系，自相似業(yè)務(wù)量長(zhǎng)度為2¹⁶。

    從圖1可以看出，m的個(gè)數(shù)的增加帶來(lái)了運(yùn)算時(shí)間大幅增加，因此m值的個(gè)數(shù)應(yīng)該固定，即m的個(gè)數(shù)不隨自相似業(yè)務(wù)量序列的長(zhǎng)度的增加而增加。同時(shí)仿真結(jié)果表明R/S法的估計(jì)精度不受m的取值個(gè)數(shù)影響，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1?？梢酝ㄟ^(guò)適當(dāng)減少m值的個(gè)數(shù)提高運(yùn)算速度。本文的仿真都是在自相似業(yè)務(wù)量序列長(zhǎng)度為2¹⁶，Hurst參數(shù)取0.6、0.7、0.8、0.9這4個(gè)值的情況下仿真出來(lái)的結(jié)果。相對(duì)誤差是分別對(duì)設(shè)定的4個(gè)Hurst參數(shù)估計(jì)后求得的值求平均的結(jié)果。

    表2是m的最小值與算法的相對(duì)誤差關(guān)系，表2的仿真數(shù)據(jù)可以看出隨著m的最小取值的增加估計(jì)法的相對(duì)誤差降低了2.42%，說(shuō)明可以通過(guò)提高m的最小值的取值來(lái)提高R/S法的估計(jì)精度，N是自相似業(yè)務(wù)量序列長(zhǎng)度。

    表3是m的最大值與估計(jì)法的相對(duì)誤差之間的關(guān)系，最小值取lgN³，從表3可以看出m值的最大取值偏大時(shí)R/S法的估計(jì)相對(duì)誤差較小。

    綜上所述，對(duì)于R/S法的修正辦法有：(1)m值的個(gè)數(shù)固定，避免因自相似業(yè)務(wù)量序列的增加帶來(lái)的運(yùn)算量的大幅增加；(2)增大m值的最小取值可以使R/S估計(jì)法的相對(duì)誤差減少2.32%；(3)增大m的最大取值，這種方式也可以提高估計(jì)法的精度。

2.2 聚類方差法

2.2.1 原理

    繪制對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下Vn與m的曲線，H=1+a/n，a為斜率，從而可以計(jì)算Hurst參數(shù)的值。當(dāng)n=1時(shí)對(duì)應(yīng)算法為絕對(duì)值法，當(dāng)n=2時(shí)對(duì)應(yīng)算法為方差時(shí)間法。

2.2.2 聚類方差修正辦法

    同R/S法一樣，聚類方差法中m值的選取也可以直接影響估計(jì)精度和運(yùn)算速度。圖2是m值的個(gè)數(shù)與估計(jì)方法運(yùn)算一次所需要的時(shí)間之間的關(guān)系。

    從圖2可以看出隨著m的個(gè)數(shù)的增加，運(yùn)算一次估計(jì)法所需的時(shí)間也大幅增加，所以m值的個(gè)數(shù)應(yīng)該固定。表4中等間隔取值就是m在最大值和最小值之間等間隔地取值，不等間隔的取值就是在最小值與最大值之間呈對(duì)數(shù)取值。表4的仿真結(jié)果表明m以不等間距的方式來(lái)取值比等間距取值的精度高。從表4也可以看出當(dāng)m的個(gè)數(shù)在40左右時(shí)精度較高。

    表5是在m的最小值取不同值時(shí)得到的估計(jì)誤差，N表示自相似業(yè)務(wù)量序列的長(zhǎng)度。從表5可以看出隨著m的最小值的增大，估計(jì)法的精度逐漸下降。

    表6是在m的最小值取10的情況下討論最大值對(duì)精度的影響，從表6可以看出m值的最大取值偏小時(shí)聚類方差法的估計(jì)精度高，即m的最大值的選擇應(yīng)該適當(dāng)偏小，當(dāng)取N/500時(shí)精度最高。

    綜上所述，對(duì)于聚類方差法的修正辦法有：(1)m取值的個(gè)數(shù)固定，避免序列的增加帶來(lái)運(yùn)算量的大幅增加；(2)m值不等間隔選取，可以使相對(duì)誤差降低3個(gè)百分比；(3)降低m值的最小取值和最大取值，可以使相對(duì)誤差降低8個(gè)百分比。

2.3 周期圖法

2.3.1 原理

    周期圖法^[10]是一種信號(hào)功率譜密度估計(jì)方法。對(duì)于觀測(cè)到的時(shí)間序列X={X(k)，k=1，2，3，…，N}，其周期圖由下式定義為：

2.3.2 周期圖法修正辦法

    選擇原點(diǎn)附近的點(diǎn)來(lái)擬合曲線對(duì)周期圖法是很重要的，選擇過(guò)多的點(diǎn)I(λ)與|λ|^1-2H失去了正比關(guān)系，選擇的點(diǎn)過(guò)少會(huì)影響精度。從表7中可以看出，選擇靠近原點(diǎn)15%左右的點(diǎn)進(jìn)行擬合得到的估計(jì)精度是最高的。

    因此可以總結(jié)出對(duì)周期圖法的修正辦法：適當(dāng)選擇靠近原點(diǎn)15%的點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，這種情況下周期圖法的估計(jì)誤差最小，精度最高。

2.4 小波法

2.4.1 原理

    給定一時(shí)間序列X={X(i)，i=1，2，3，…，N}，對(duì)其進(jìn)行二進(jìn)制小波變換可以得到信號(hào)的近似系數(shù)d_x(j，k)^[11]。

    若X(i)為二階平穩(wěn)過(guò)程，則：

其中 C(H，Ψ)是依賴H和Ψ的常數(shù)，j是尺度系數(shù)。從式(12)可以得出在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下擬合一曲線，H=(1+a)/2，a是曲線的斜率。

2.4.2 小波法修正辦法

    影響小波估計(jì)法精度的因素有兩點(diǎn)：(1)小波基的選擇；(2)尺度的選擇。表8對(duì)比了4種小波基在H指數(shù)估計(jì)當(dāng)中對(duì)精度的影響。Harr小波就是Daubechies小波中階數(shù)為1的情況。

    從表8中可以看出，小波基和尺度j的選擇會(huì)影響小波估計(jì)法的精度，采用Harr小波基進(jìn)行小波估計(jì)在尺度j=5時(shí)小波估計(jì)的相對(duì)誤差最低為0.25%。

    因此，可以總結(jié)出兩點(diǎn)小波估計(jì)法的修正辦法：(1)選擇Harr和Biorthogonal小波基；(2)選合適的尺度，j=5左右情況下估計(jì)法的相對(duì)誤差最小。

3 結(jié)論

    本文針對(duì)目前廣泛使用的4種自相似業(yè)務(wù)量估計(jì)方法提出了詳細(xì)的修正的辦法。通過(guò)設(shè)置不同的Hurst參數(shù)以及長(zhǎng)度為2¹⁶的業(yè)務(wù)量序列來(lái)測(cè)試修正前后估計(jì)方法的精度，結(jié)果表明采用修正辦法可以降低各個(gè)估計(jì)方法的相對(duì)誤差，提高估計(jì)方法的估計(jì)精度，其中R/S法的相對(duì)誤差降低到1.43%，聚類方差法的相對(duì)誤差降低到1.30%，周期圖法和小波估計(jì)法的相對(duì)誤差降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，小波估計(jì)法的相對(duì)誤差降低到了0.25%。

    下一步的工作：(1)研究這些方法的抗噪性能，改進(jìn)估計(jì)方法，提高魯棒性；(2)將估計(jì)方法采用硬件實(shí)現(xiàn)，用于對(duì)網(wǎng)絡(luò)流量的實(shí)時(shí)檢測(cè)。

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