黃雄波

　?。ǚ鹕铰殬I(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息系，廣東 佛山 528137）

　　摘要：由于自相關(guān)函數(shù)刻畫了時序數(shù)據(jù)在不同時刻取值的線性相關(guān)程度，故其在時序數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中得到了廣泛的應(yīng)用。討論了基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)計算原理，結(jié)合非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識需求，基于自相關(guān)函數(shù)理論對趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識別等問題進(jìn)行了深入分析，進(jìn)一步提出了一種改進(jìn)的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識算法。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)算法的合理性和有效性。

　　關(guān)鍵詞： 自相關(guān)函數(shù)； FFT變換；非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)；系統(tǒng)辨識

0引言

　　在工程、經(jīng)濟(jì)、自然和社會科學(xué)等很多領(lǐng)域中，被考查對象在其歷史的演變過程中，其相關(guān)的物理量常常以一系列隨時間而變化的數(shù)據(jù)序列而被人們記載，這種序列通稱為時間序列或時序數(shù)據(jù) ［13］。事實(shí)上，由于受到諸多偶然因素的影響，時序數(shù)據(jù)很難用一個精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，但由于它們大都具有統(tǒng)計規(guī)律的特性，因此，可以通過對時序數(shù)據(jù)的辨識和建模，進(jìn)而達(dá)到認(rèn)識事物、掌握其內(nèi)在變化規(guī)律的目的［46］。

　　一般地說，事物在演變過程中往往具有某種趨勢或周期規(guī)律的特性，故在現(xiàn)實(shí)中所獲得的時序數(shù)據(jù)也就具有非平穩(wěn)的特點(diǎn)，即序列的均值(一階矩)為非常數(shù)且自相關(guān)函數(shù)(二階矩)與起始時間有關(guān)［78］。由于非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)具有時變的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)，故其辨識和建模的過程比平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)要復(fù)雜得多，目前比較有效的做法是［913］：首先從原始序列中分離出趨勢和周期成份并分別對它們進(jìn)行辨識，然后對殘留的平穩(wěn)隨機(jī)序列建立相應(yīng)的AR、MA或ARMA模型。本文基于自相關(guān)函數(shù)的理論，對諸如趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識別等問題進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識算法，實(shí)驗(yàn)證明改進(jìn)算法是有效的。

1問題描述

　　1.1時序數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)

　　設(shè)樣本長度為n的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù){y(t),t=0,1,…,n－1}在相鄰p時刻的數(shù)據(jù)取值分別為yt和yt+p，則yt的p階樣本自相關(guān)函數(shù)的估算值r^(p)可用式(1)進(jìn)行計算：

　　自相關(guān)函數(shù)是時序數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計特性，它表征了序列數(shù)據(jù)項(xiàng)之間的依賴程度及趨勢的變化情況，據(jù)此，可以利用自相關(guān)函數(shù)的上述性質(zhì)來識別序列的趨勢和周期成份的顯著性及它們之間的關(guān)聯(lián)信息等。

　　1.2基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)計算

　　利用式(1)計算r^(p)時，若序列的樣本長度n比較大，則所需要的運(yùn)算量也隨之增加，為了提高運(yùn)算速度，可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)算法來實(shí)現(xiàn)對r^(p)的快速運(yùn)算［14］。

　　對r^(p)施行Fourier變換，由式(1)有：

　　為了能用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)來計算式(2)的線性卷積運(yùn)算，故需要對時序數(shù)據(jù)y(t)補(bǔ)充n位零數(shù)值，得y′(t)，即：

　　綜合式(2)~式(5)可知，基于FFT變換的自相關(guān)函數(shù)的計算流程為：(1)對y(t)補(bǔ)充n位零數(shù)值，得y′(t)；(2) 對y′(t)做DFT變換，得到y(tǒng)′(m)；(3) 對1n|y′(m)|2做逆DFT變換，得到r^′(p)；(4)對r^′(p)中0~n的點(diǎn)進(jìn)行整體右移n位，得到r^(p)。

2非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識改進(jìn)

　　2.1自相關(guān)函數(shù)在非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識應(yīng)用

　　非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)y(t)的辨識模型如式(6)所示:

　　其中，∑ui=0αiti是趨勢成份，由一個u階的多項(xiàng)式進(jìn)行辨識，αi為多項(xiàng)式的各階次的辨識參數(shù)；∑vi=1λisin(iωt)是周期成份，ω為基波角頻率，λi為各諧波的幅值；x(t)為殘留的平穩(wěn)隨機(jī)序列。

　　2.1.1趨勢和周期成份的分離

　　對于既有趨勢又有周期影響的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)而言，當(dāng)趨勢成份很強(qiáng)時，則其趨勢特點(diǎn)表現(xiàn)突出，甚至?xí)阎芷谔攸c(diǎn)淹沒掉；而當(dāng)周期成份很強(qiáng)，其趨勢特點(diǎn)也有可能顯現(xiàn)不出來。 據(jù)此，有必要在現(xiàn)有的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)辨識算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)趨勢和周期成份在序列中的輕重地位進(jìn)行依次分離和辨識。

　　對于趨勢成份明顯的時序數(shù)據(jù)，由于緊鄰的數(shù)據(jù)項(xiàng)具有相同的取值方向，故其自相關(guān)函數(shù)的前3~4階通常會出現(xiàn)正數(shù)且具有大于2n的特點(diǎn)；而當(dāng)序列存在周期長度為L的數(shù)據(jù)成份時，則由于各個周期內(nèi)相關(guān)位置的數(shù)據(jù)具有同時為大或同時為小的特點(diǎn)，故其L,2L,…,int(nL)L(int()為取整函數(shù))等各階次的自相關(guān)函數(shù)均為正值。依照上述規(guī)則，可以通過計算各階次的自相關(guān)函數(shù)來判別待辨識的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)是否存在著趨勢和周期成份，當(dāng)僅發(fā)現(xiàn)趨勢時，則首先分離趨勢成份，然后再對殘留序列進(jìn)行周期識別；反之，當(dāng)僅發(fā)現(xiàn)周期時，則首先分離周期成份，然后再對殘留序列進(jìn)行趨勢識別；而當(dāng)趨勢和周期同時顯著時，則應(yīng)從原始序列中同時分離這兩種數(shù)據(jù)成份。

　　以趨勢和周期成份同時顯著為例，其基于最小二乘法的分離過程如下：

　　為滿足arg mine=∑nt=0|y(t)－f(t)|2，依最小二乘法有：

　　

　　求解式(7)的線性方程組［15］，便可得到趨勢和周期成份同時顯著時的辨識參數(shù)向量［α0,α1,…,αu,λ1,λ2,…,λv］T。

　　2.1.2殘留序列的平穩(wěn)性判別及辨識

　　通常，非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)y(t)在去掉趨勢和周期成份的影響后，其殘留序列x(t)可能是一個分段局部平穩(wěn)、整體平穩(wěn)或完全隨機(jī)型的序列，故在殘留序列x(t)的辨識之前還應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)類型的識別。完全隨機(jī)型序列其各階次的自相關(guān)函數(shù)具有零值的特點(diǎn)；而分段局部平穩(wěn)或整體平穩(wěn)的隨機(jī)型序列在平穩(wěn)范圍內(nèi)其數(shù)據(jù)項(xiàng)之間是允許存在自相關(guān)的，但數(shù)據(jù)項(xiàng)xt和xt+p的相關(guān)性會隨著間隔項(xiàng)p的增大而減少。在工程應(yīng)用中，若某序列的各階次的自相關(guān)函數(shù)滿足式(8)，則可把該序列視為平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)［16］。

　　式(8)中，符號“&&”為邏輯與運(yùn)算，“int( )”為取整函數(shù)，該邏輯表達(dá)式描述了序列的自相關(guān)函數(shù)的絕對值在1~2階次時均大于2n，但其后便衰減至－2n,2n區(qū)間內(nèi)。

　　由于完全隨機(jī)型序列不包含任何形式的模型，故無需對它進(jìn)行任何的處理；而平穩(wěn)隨機(jī)序列則可以采用式(9)的AR模型進(jìn)行建模：

　　x(t)=φ1xt－1+φ2xt－2+…+φkxt－k+un(9)

　　式(9)中，［φ1,φ2,…,φk］T為自回歸參數(shù)向量，un是均值為零、方差為σ2的正態(tài)分布白噪聲。自回歸參數(shù)向量［φ1,φ2,…,φk］T可用式(10)的DurbinLevinson遞推公式求得，而遞推的具體計算流程則如圖1所示。

　　對于分段局部平穩(wěn)的殘留序列而言，在辨識之前還應(yīng)完成各段平穩(wěn)子序列的劃分，即需要確定平穩(wěn)子序列的段數(shù)及各段之間的分割點(diǎn)。根據(jù)平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)特征，可得到如下平穩(wěn)子序列的分割方法：以1個數(shù)據(jù)項(xiàng)為步長自左至右地搜索分割點(diǎn)，若新增數(shù)據(jù)項(xiàng)后的子序列其自相關(guān)函數(shù)仍滿足式(8)中的邏輯表達(dá)式，則合并該新增數(shù)據(jù)項(xiàng)并繼續(xù)向右搜索；否則以該新增數(shù)據(jù)項(xiàng)為分割點(diǎn)，新建另一平穩(wěn)子序列并繼續(xù)向右搜索；重復(fù)上述過程直至遍歷整個殘留序列為止。完成平穩(wěn)子序列的劃分后，便可根據(jù)式(10)中的遞推公式求得它們各自的辨識參數(shù)向量。

　　2.2非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識改進(jìn)算法

　　綜上所述，可設(shè)計如下的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識改進(jìn)算法。

　　算法：基于自相關(guān)函數(shù)的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識算法。

　　輸入：樣本長度為n的非平穩(wěn)時間數(shù)據(jù)y(t)。

　　輸出：趨勢成份的辨識參數(shù)向量［α0,α1,…,αu］T，周期成份的辨識參數(shù)向量［λ1,λ2,…,λv］T，隨機(jī)成份的辨識參數(shù)向量［φ1,φ2,…,φk］T。

　　步驟1設(shè)計相關(guān)的公用函數(shù)模塊。

　　模塊1依照上述的式(2)～式(5)編寫序列的FFT自相關(guān)函數(shù)計算模塊。

　　模塊2編寫趨勢成份顯著的識別模塊，具體的識別流程為：

　　if((r^(1)>(2/sqrt(n)))&&(r^(2)>(2/sqrt(n)))&&(r^(3)>(2/sqrt(n))))

　　{

　　標(biāo)識趨勢成份顯著；

　　}

　　模塊3編寫周期成份顯著的標(biāo)識模塊，具體的識別流程為：

　　for(L=2;L<=int(2/n);L++)

　　{//遍歷搜索顯著的周期成份

　　if((r^(L)>0)&&(r^(2*L)>0)&&…&&(r^(int(n/L)*L)>0))

　　{

　　標(biāo)識周期成份顯著；

　　}

　　}

　　模塊4線性方程組(系數(shù)矩陣A=［aij］∈Rn×n)的GaussSeidel迭代求解模塊，其迭代求解公式為：

　　步驟2從非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)中分離趨勢和周期成份。

　　(1)調(diào)用公用模塊1計算y(t)的r^(1)、r^(2)、…、r^(2n)等各階次的自相關(guān)函數(shù)；

　　(2)調(diào)用公用模塊2和模塊3進(jìn)行趨勢和周期成份的識別；

　　(3)對(2)的識別結(jié)果進(jìn)行處理，分“僅趨勢成份顯著”、“僅周期成份顯著”、“趨勢和周期成份同時顯著”、“趨勢和周期均不顯著”4種情況；

　　case1://限于篇幅，這里只給出“僅趨勢成份顯著”的處理流程

　　{

　　(1)基于最小二乘法計算趨勢成份顯著時y(t)所對應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣A；

　　(2)調(diào)用公用模塊4求得趨勢成份的辨識參數(shù)向量［α0,α1,…,αu］T；

　　(3)計算殘留序列，x(t)=y(t)－∑ui=0αiti－1；

　　(4)調(diào)用公用模塊1計算殘留序列x(t)的r^(1)、r^(2)、…、r^(2n)等各階次的自相關(guān)函數(shù)；

　　(5)調(diào)用公用模塊3對殘留序列x(t)進(jìn)行周期成份的識別；

　　(6)對殘留序列x(t)的周期成份識別結(jié)果進(jìn)行處理：

　　if(殘留序列x(t)的周期成份顯著)

　　{

　?、倩谧钚《朔ㄓ嬎阒芷诔煞蒿@著時x(t)所對應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣A；

　?、谡{(diào)用公用模塊4求得周期成份的辨識參數(shù)向量［λ1,λ2,…,λv］T；

　　③更新殘留序列，x(t)=x(t)－∑vi=1λi(siniωt)；

　　}

　?、苻D(zhuǎn)步驟3；

　　}

　　步驟3對殘留序列x(t)進(jìn)行辨識。

　　(1)遍歷殘留序列x(t)，完成各局部平穩(wěn)子序列的劃分；

　　for(i=0;i<n;i++)

　　{

　　sl=i－d［m］;

　　//計算當(dāng)前子序列的序列長度，d［m］為第m段平穩(wěn)子序列的起點(diǎn)位置

　　if(sl>=min)

　　{

　　if((r^(1)==0)&&(r^(2)==0)&&…&&(r^(int(2/sl))==0))

　　{

　　標(biāo)識當(dāng)前子序列為完全隨機(jī)型序列；

　　}

　　else

　　{

　　if((abs(r^(1))>(2/sqrt(sl)))&&(abs(r^(2))>(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(3))<(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(int(2/n)))<(2/sqrt(sl))))

　　{

　　標(biāo)識當(dāng)前的第m段子序列為局部平穩(wěn)子序列；

　　}

　　else//第i項(xiàng)數(shù)據(jù)為分割點(diǎn)

　　{

　　m++;//局部平穩(wěn)子序列的段數(shù)增1；

　　d［m］=i;//保存第m段局部平穩(wěn)子序列的分割點(diǎn)；

　　(2)對平穩(wěn)序列的辨識參數(shù)向量進(jìn)行估計：

　　for(i=0;i<m;i++)//m為(1)確定的局部平穩(wěn)子序列的段數(shù)

　　{

　　while(abs(φi_kk)>(2/sqrt(n)))

　　//取顯著性水平α=0.05，若|φi_kk|<2n成立，則認(rèn)為k階自相關(guān)函數(shù)等于0；

　　{

　　利用式(10)對第i段局部平穩(wěn)子序列的辨識參數(shù)向量［φi_1，φi_2，…，φi_k］T進(jìn)行遞推計算；

　　}

　　步驟4輸出趨勢成份、周期成份及隨機(jī)成份的辨識參數(shù)向量，算法結(jié)束。

3實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

　　為了驗(yàn)證上述算法的合理性及有效性，這里將分別對趨勢成份顯著、周期成份顯著、殘留序列為分段局部平穩(wěn)的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的辨識實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)的硬件環(huán)境為惠普ProDesk 490 G2 MT商用臺式機(jī)(CPU:i5-45704×3.2 GHz;內(nèi)存:4 GB DDR3 1600)，軟件環(huán)境及開發(fā)工具為Windows 8.1+Microsoft Visual C++2010。實(shí)驗(yàn)的主要目的是考察改進(jìn)算法與現(xiàn)有算法之間的辨識精度及計算效能。

　　3.1實(shí)驗(yàn)設(shè)計

　　不失一般性，實(shí)驗(yàn)所用的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)約定滿足如下假設(shè)：(1)趨勢成份為二次多項(xiàng)式α0+α1t+α2t2,且α1α0和α1α2成立，即以直線趨勢成份為主；(2)周期成份為一次諧波λ1sinωt；(3)序列的樣本長度n=200。

　　分別利用改進(jìn)算法和現(xiàn)有算法進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：

　　實(shí)驗(yàn)1：趨勢成份顯著的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識，所選的數(shù)據(jù)模型如式(11):

　　y(t)=3t+0.011t2+0.3sin0.785t－0.28y(t－1)(11)

　　實(shí)驗(yàn)2：周期成份顯著的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識，所選的數(shù)據(jù)模型如式（12）：

　　y(t)=0.4t+0.001t2+200sin0.785t－0.28y(t－1)(12)

　　實(shí)驗(yàn)3：殘留序列為分段局部平穩(wěn)的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識，所選的數(shù)據(jù)模型如式（13）：

　　3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

　　為了能全面考察改進(jìn)算法與現(xiàn)有算法的辨識精度，這里引入了均方標(biāo)準(zhǔn)誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)和平均絕對百分誤差(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)共兩個性能評價標(biāo)準(zhǔn)，具體定義如式(14)和式(15)所示。

　　式(14)和式(15)中，y(t)為原始序列，y^(t)為辨識序列，n為序列的樣本長度。

　　實(shí)驗(yàn)1~實(shí)驗(yàn)3的辨識結(jié)果如表1、表2及圖2~圖4所示。其中，表1為辨識序列的函數(shù)表達(dá)式，表2為辨識性能的具體數(shù)值，而圖2~圖4則是各次實(shí)驗(yàn)的辨識擬合曲線。

　　從表1的辨識函數(shù)表達(dá)式易知，對于趨勢或周期成份顯著的非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)而言，由于現(xiàn)有算法沒有按照一定的次序進(jìn)行分離，故不顯著的數(shù)據(jù)成份未能有效地被識別，進(jìn)而導(dǎo)致了殘留隨機(jī)序列存在一定的偏差。在表2中，根據(jù)辨識性能的具體數(shù)值可發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)算法在增加了一定的計算耗時后其辨識精度有了顯著的提高。從圖4的辨識擬合曲線則不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有算法對分段局部平穩(wěn)序列的辨識效果較差，究其原因是因?yàn)橛昧似椒€(wěn)隨機(jī)模型來對整體不平穩(wěn)的序列進(jìn)行辨識，故不僅存在較大的辨識誤差而且辨識序列的模型階數(shù)也出現(xiàn)了增加；而改進(jìn)算法雖然花費(fèi)了相當(dāng)?shù)挠嬎愫臅r，但能從根本上保證辨識精度。綜上所述，本文提出的改進(jìn)算法對非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)具有良好的辨識性能。

4結(jié)論

　　本文提出了一種非平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)的辨識改進(jìn)算法，由于對趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機(jī)類型識別等細(xì)節(jié)問題均作了相應(yīng)的處理，故改進(jìn)算法的辨識性能有了明顯的提升。下一步的主要工作是引入自相關(guān)函數(shù)的并行快速變換運(yùn)算，同時研究更為有效的平穩(wěn)子序列劃分方法，以便進(jìn)一步提升改進(jìn)算法的計算效能。

參考文獻(xiàn)

　?。?］ (德)蓋哈德·克西蓋斯納，(德)約根·沃特斯，(德)烏沃·哈斯勒.現(xiàn)代時間序列分析導(dǎo)論［M］.張延群，劉曉飛，譯.北京: 中國人民大學(xué)出版社,2015．

　?。?］ (美)漢密爾頓.時間序列分析［M］．夏曉華,譯.北京:中國人民大學(xué)出版社，2015．

　?。?］ 張鵬.飛行數(shù)據(jù)的時間序列分析方法及其應(yīng)用［M］.北京:國防工業(yè)出版社,2013．

　?。?］ 趙雪巖，李衛(wèi)華.系統(tǒng)建模與仿真［M］.北京:國防工業(yè)出版社,2015．

　　［5］ 蕭德云.系統(tǒng)辨識理論及應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社,2014．

　?。?］ 黃介武.線性與廣義線性模型中參數(shù)估計的一些研究［D］.重慶: 重慶大學(xué),2014．

　?。?］ 楊繼生.非平穩(wěn)綜列數(shù)據(jù)分析：理論與應(yīng)用［M］.北京:中國社會科學(xué)出版社,2010．

　　［8］ 王宏禹，邱天爽，陳哲.非平穩(wěn)隨機(jī)信號分析與處理(第2版)［M］．北京:國防工業(yè)出版社,2008．

　　［9］ 黃雄波.時序數(shù)據(jù)趨勢項(xiàng)的分段擬合［J］．計算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用，2015，24(2):174179．

　?。?0］ 黃雄波.多周期時序數(shù)據(jù)的傅氏級數(shù)擬合算法［J］．計算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用，2015，24(7):142148．

　?。?1］ 黃雄波.時序數(shù)據(jù)的周期模式發(fā)現(xiàn)算法的遞推改進(jìn)［J］．計算機(jī)技術(shù)與發(fā)展，2016，26(2):4751．

　　［12］ MAHESWARAN R, KHOSA R.Wavelet volterra coupled models for forecasting of nonlinear and nonstationary time series［J］．Neurocomputing, 2015,  149(Part B, 3):10741084.

　?。?3］ SPIRIDONAKOS M D, FASSOIS S D. Nonstationary random vibration modelling and analysis via functional series timedependent ARMA (FSTARMA) modelsA critical survey［J］．Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 47(12):175224.