摘  要： 針對(duì)螞蟻算法在求解置換流水車間調(diào)度問題時(shí)易陷入局部最優(yōu)以及計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)的缺點(diǎn)，對(duì)最大最小螞蟻系統(tǒng)(MMAS)進(jìn)行了改進(jìn)。在該算法中，采用NEH啟發(fā)式算法提高初始解質(zhì)量，并通過自適應(yīng)的調(diào)節(jié)策略進(jìn)一步提高蟻群算法的搜索能力。運(yùn)用提出的混合算法求解Taillard基準(zhǔn)測(cè)試集，并將測(cè)試結(jié)果與其他算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該調(diào)度算法的有效性。

　　關(guān)鍵詞： 置換流水車間調(diào)度問題；自適應(yīng)； NEH啟發(fā)式算法

　　置換流水車間是很多實(shí)際流水線生產(chǎn)調(diào)度問題的簡(jiǎn)化模型，是目前研究最廣泛的一類經(jīng)典的調(diào)度問題。由于置換流水車間調(diào)度問題屬于NP-hard難題，不存在多項(xiàng)式精確求解算法，因此，對(duì)這類問題的研究具有重要意義。

　　求解置換流水車間調(diào)度問題的方法大致可以分為三類[1]：經(jīng)典算法(如線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、分枝定界等)、啟發(fā)式算法(如Gupta法、Palmer法、Johnson法、CDS法、NEH法等)和基于人工智能的元啟發(fā)式算法(如模擬退火、禁忌搜索、遺傳算法、螞蟻算法等)。經(jīng)典算法的計(jì)算復(fù)雜性一般很大，只適合求解小規(guī)模置換流水車間調(diào)度問題，在工程中往往不實(shí)用。啟發(fā)式算法通過一定的規(guī)則可以快速地構(gòu)造出問題的解，但通常解的質(zhì)量較差[2]?；谌斯ぶ悄艿脑獑l(fā)式算法能夠較快地構(gòu)造出問題的解，因此，在置換流水車間調(diào)度問題中被廣泛使用。

　　蟻群算法是受到自然界中真實(shí)螞蟻的啟發(fā)，由意大利學(xué)者DORIGO M于1991年提出的一種元啟發(fā)式算法。該算法具有魯棒性和通用性等良好特性，在求解作業(yè)車間、流水車間等調(diào)度問題上取得了較好的效果。但是，傳統(tǒng)的蟻群算法存在計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)和易陷入停滯的問題，故本文從結(jié)合NEH算法和自適應(yīng)調(diào)節(jié)策略兩方面來改善蟻群算法的性能，經(jīng)Taillard基準(zhǔn)測(cè)試驗(yàn)證，改進(jìn)后的蟻群算法有效。

　　1 問題描述

　　置換流水車間調(diào)度問題研究的是n個(gè)工件在m臺(tái)機(jī)器上的流水加工過程，所有工件以相同的順序在每一臺(tái)機(jī)器上加工完成，同時(shí)約定每個(gè)工件在每臺(tái)機(jī)器上只加工一次，每臺(tái)機(jī)器每次最多只能加工一個(gè)工件，各工件在各機(jī)器上所需的加工時(shí)間已知，要求得到某調(diào)度方案使得總加工時(shí)間最小。定義J=(j1，…，jn)為所有機(jī)器上的一個(gè)加工排序，ti，j為操作的執(zhí)行時(shí)間，Ci，j表示操作的完成時(shí)間。則加工任務(wù)jk在機(jī)器i上的完成時(shí)間C按式(1)計(jì)算：

　　2 蟻群算法

　　2.1 蟻群算法簡(jiǎn)介

　　螞蟻是一種沒有視覺的動(dòng)物，但是它們可以通過信息素，協(xié)同找到食物和巢穴之間的最短路徑[3]。螞蟻在運(yùn)動(dòng)過程中能夠感知這種物質(zhì)的存在及其強(qiáng)度，并以此指導(dǎo)自己的運(yùn)動(dòng)方向，使螞蟻傾向于朝著該物質(zhì)強(qiáng)度高的方向運(yùn)動(dòng)。這樣，由大量螞蟻組成的蟻群的集體行為便表現(xiàn)出一種自催化的正反饋行為，較短路徑上會(huì)有較多的信息素累積，越來越多的螞蟻選擇信息素濃度高的路徑，而其他路徑上的信息素濃度卻會(huì)隨時(shí)間衰減，最終蟻群能找到一條從食物源到巢穴的最短路徑[4]。

　　蟻群算法最初用于解決旅行商問題，之后陸續(xù)滲透到其他領(lǐng)域中。較早把蟻群算法應(yīng)用到置換流水車間問題的是YING K C和LIAO C J，后者在Tailard的benchmark問題上做了測(cè)試，證實(shí)該方法非常有效。

　　2.2 蟻群算法

　　本文以求解置換流水車間問題說明MMAS模型。求解這類問題有兩種解構(gòu)造模式，分別為弧模式和節(jié)點(diǎn)模式[5]。本文采用的是節(jié)點(diǎn)模式。

　　在解構(gòu)造的結(jié)點(diǎn)模式下，代表流水車間調(diào)度問題的有向圖G=(N，A)，如圖1所示。其中，N={Oij}是圖中的節(jié)點(diǎn)集合，節(jié)點(diǎn)Oij代表作業(yè)j 位于作業(yè)處理序列π的第i個(gè)位置；A是圖G中部分連接節(jié)點(diǎn)集N中各節(jié)點(diǎn)的有向弧的集合，連接節(jié)點(diǎn)Oij和O(i+1)，l的有向弧方向?yàn)閺腛ij～O(i+1)，l。這里的路徑選擇概率為：

　　在節(jié)點(diǎn)模式下，式(2)中Nk(Oij)={O(i+1)，l|l?埸π′}代表節(jié)點(diǎn)Oij的可行領(lǐng)域集合。其中τij和ηij分別代表對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)Oij的信息素濃度和基于問題的啟發(fā)式信息。p表示人工蟻搜索過程中從節(jié)點(diǎn)O(i-1)π(i-1)移到節(jié)點(diǎn)Oij的概率。

　　從虛構(gòu)節(jié)點(diǎn)job0出發(fā)，按照式(2)給出的狀態(tài)遷移規(guī)則，在G圖中一步步地構(gòu)造出問題的解，蟻群算法的流程如下：

　　(1)設(shè)置參數(shù)。設(shè)置迭代次數(shù)counter=0,設(shè)置最大迭代次數(shù)Ncmax。計(jì)算每個(gè)工件的總加工時(shí)間Si(i=1，…，n)，定義能見度ηij=Si。按照工件總加工時(shí)間Si最大優(yōu)先的原則計(jì)算出最大流程時(shí)間makespan，設(shè)置信息素賦初始值τ0=1/((1-ρ)·makespan)；τmax=τ0，τmin=τmax/5。

　　(2)初始化m個(gè)螞蟻，將m個(gè)螞蟻放在虛擬節(jié)點(diǎn)job0上。

　　(3)每個(gè)螞蟻都按照式(2)選擇下一步路徑。

　　(4)將新選擇的工序添加到禁忌表中，判斷是否遍歷了所有的工件，是則執(zhí)行步驟(5)，否則執(zhí)行步驟(3)。

　　(5)按照式(3)更新信息素。

　　τij=ρ·τij+?駐τij(3)

　　其中，ρ為信息素殘留系數(shù)(1-ρ為揮發(fā)系數(shù))；Δτij=1/Cbest，令Cbest為迭代以來最優(yōu)解，|Cbest|為Cbest的makespan值，如果Cbest中位置j上工件不為i，則Δτij為0，否則Δτij＝1/|Cbest|。信息素取值區(qū)間為[τmin，τmax]，若τij>τmax，則設(shè)定τij=τmax；若τij>τmin，則設(shè)定τij=τmin。這樣可以較好地防止早熟現(xiàn)象。

　　(6)count++。如果count<Ncmax，則清空禁忌表，返回步驟(2)繼續(xù)執(zhí)行；否則，結(jié)束循環(huán)。

　　3 MMAS的優(yōu)化

　　3.1 NEH啟發(fā)式算法

　　NEH啟發(fā)式算法是由NAWAZ M、ENSCORE E、和HAM I共同提出的算法[6]，該算法步驟如下：

　　(1)按n個(gè)工件在機(jī)器上總加工時(shí)間遞減的順序排列各個(gè)工件。

　　(2)取前兩個(gè)工件調(diào)度使部分最大流程時(shí)間達(dá)到極小。

　　(3)從k=3～n把第k個(gè)工件插入到k個(gè)可能的位置，求得最小部分的最大流程時(shí)間。

　　3.2 與NEH算法的結(jié)合

　　(1)獲取初始解。利用NEH啟發(fā)式算法計(jì)算得到最大流程時(shí)間makespan，并定義τ0=1/((1-ρ)·makespan)。

　　(2)部分NEH局部搜索。在使用MMAS構(gòu)造出路徑之后，對(duì)構(gòu)造的工件順序按照NEH啟發(fā)式算法的步驟(2)、(3)構(gòu)造出解。利用NEH啟發(fā)式算法進(jìn)行局部尋優(yōu)，可以進(jìn)一步提高M(jìn)MAS的求解質(zhì)量。但是為了保證算法的時(shí)間效率，在此只對(duì)Nmax次迭代中的前N次迭代利用NEH啟發(fā)式算法對(duì)迭代最優(yōu)螞蟻進(jìn)一步局部尋優(yōu)。

　　3.3 自適應(yīng)信息素?fù)]發(fā)系數(shù)

　　與NEH算法相結(jié)合，雖然極大程度地提高了MMAS解質(zhì)量，但是也從一定程度上加速了MMAS的局部收斂速度。為此，本文引入自適應(yīng)改變揮發(fā)度系數(shù)的方法，以進(jìn)一步提高M(jìn)MAS的全局搜索能力。

　　在算法模型中，信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ的大小直接關(guān)系到蟻群算法的全局搜索能力及收斂速度[3]。ρ過小，從未被搜索到的節(jié)點(diǎn)的信息量會(huì)減少到接近于0，降低了算法的全局搜索能力；而ρ過大，以前搜索過的解被選擇的可能性過大，也會(huì)影響到算法的全局搜索能力。因此可以自適應(yīng)地改變?chǔ)训闹担?dāng)最優(yōu)值在一定循環(huán)次數(shù)內(nèi)沒有明顯改變時(shí)，降低ρ的值。公式如下：

　　ρnew=0.95ρold    0.95ρold≥ρmin

　　ρmin            其他(4)

　　其中，ρmin為ρ的最小值，用來防止ρ過小，降低算法收斂速度。

　　3.4 改進(jìn)MMAS的實(shí)現(xiàn)流程

　　改進(jìn)后的MMAS算法求解置換流水車間問題的流程圖如圖2所示。

　　(1)初始化各個(gè)參數(shù)。設(shè)置螞蟻數(shù)量為m、迭代次數(shù)counter=0、最大迭代次數(shù)為Ncmax、局部搜索次數(shù)為N。計(jì)算每個(gè)工件的總加工時(shí)間Si(i=1，…，n)，定義能見度ηij=Si。設(shè)置信息素殘留系數(shù)為ρ，ρmin為ρ的最小值，定義Nm次迭代最優(yōu)解相同，則判定陷入局部最優(yōu)。

　　(2)利用NEH啟發(fā)式算法得到總加工時(shí)間的初始值makespan，設(shè)置τ0=τmax=1/((1-ρ)·makespan)，τmin=1/5·τmax。

　　(3)將各只螞蟻放在虛擬節(jié)點(diǎn)job0上，對(duì)于每只螞蟻，按照式(2)選擇下一步路徑，直到所有螞蟻均構(gòu)造出解。

　　(4)若count<N，則利用NEH啟發(fā)式算法的后兩步對(duì)最優(yōu)迭代螞蟻選擇的路徑做進(jìn)一步局部尋優(yōu)；否則，執(zhí)行步驟(5)。

　　(5)判斷迭代最優(yōu)解相同次數(shù)小于Nm，則執(zhí)行步驟(6)；否則，按照式(4)改變揮發(fā)系數(shù)的值，再執(zhí)行步驟(6)。

　　(6)按照式(3)進(jìn)行信息素的更新，檢查信息素的邊界，使其保持在[τmin，τmax]的范圍內(nèi)。

　　(7)count++。如果count<Ncmax，清空禁忌表，返回步驟(3)繼續(xù)向下執(zhí)行；否則，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果。

　　4 仿真實(shí)驗(yàn)

　　本文測(cè)試數(shù)據(jù)采用Taillard在1993年提出的基準(zhǔn)測(cè)試問題，并將運(yùn)行結(jié)果與其他參考文獻(xiàn)提出的算法進(jìn)行比較，以此驗(yàn)證提出的改進(jìn)蟻群算法是有效的。

　　本文算法各參數(shù)設(shè)置如下：螞蟻個(gè)數(shù)na=20，揮發(fā)系數(shù)ρ=0.99，揮發(fā)系數(shù)最小值ρmin=0.5，α=1.0，β=4.0，最大迭代次數(shù)為300，局部搜索次數(shù)為10。本文選取每種規(guī)模系列問題中的第一個(gè)問題進(jìn)行計(jì)算，并與NEARCHOU A C[5]提出的算子遺傳算法(GA)、Lian Zhigang[7]提出的NPSO粒子群算法進(jìn)行比較，每個(gè)算例連續(xù)運(yùn)行20次，記錄其中的最優(yōu)結(jié)果，如表1所示。其中，BS表示運(yùn)行結(jié)果中的最優(yōu)解，RPD(Relative Percentage Deviation)表示相對(duì)誤差百分率。由表1可知，相比其他兩種算法，本文提出的算法在求解Taillard系列問題方面能夠更好地收斂在最優(yōu)解附近。

　　本文針對(duì)解置換流水車間調(diào)度問題提出了一種改進(jìn)的蟻群算法。在該算法中，采用NEH算法產(chǎn)生初始解，并利用自適應(yīng)揮發(fā)系數(shù)的方法避免算法早熟，使分散搜索和集中搜索達(dá)到有效平衡，提高了算法的搜索能力。Taillard系列基準(zhǔn)問題測(cè)試表明，本文的算法是有效的。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 高海兵，周馳.廣義粒子群優(yōu)化模型[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2005，28(12)：1980-1987.

　　[2] 王凌.車間調(diào)度及其遺傳算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

　　[3] 李士勇.蟻群算法及其應(yīng)用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

　　[4] 吳啟迪，汪鐳.智能蟻群算法及其應(yīng)用[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?004.

　　[5] NEARCHOU A C.The effect of various operators on the genetic search for large scheduling problems[J].InternationalJournal of Production Economy，2004，88(1)：191-203.

　　[6] NAWAZ M，ENSCORE E，HAM I.A heuristic algorithm forthe mmachine，n job flow shop[J].The International Journalof Management Sciences，1983，11(1)：91-95.

　　[7] Lian Zhigang，Gu Xingsheng，Jiao Bin.A Novel particle swarmoptimization algorithm for permutation flow shop scheduling to minimize makespan[J].Chaos，Solitons and Fractals，2008，35(5)：851-861.