在船舶通信中，船隊會組成鏈式隊列進行航行。船隊傳遞消息可以從一艘船接力傳遞給下一艘船，每艘船需要準確分離接收自己所需的消息，組成一種多目標鏈式級聯(lián)網(wǎng)絡。每一艘船既是消息的接收方，又是傳遞消息的中繼方。對于這種單一信源多個信宿所組成的鏈式級聯(lián)通信網(wǎng)絡的容量、可實現(xiàn)速率等問題，學術界研究較少。本文考慮該實際環(huán)境，對其中的單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡進行研究。

        無線網(wǎng)絡信道容量的問題最早源于參考文獻[1]提出的多用戶信息理論，雖然沒有給出容量表述，但定義了MAC信道；參考文獻[2]對MAC信道提出了一種簡單的描述； 參考文獻[3]首次提出廣播信道模型； 參考文獻[4]針對三終端（或節(jié)點）模型定義并研究了中繼信道；參考文獻[5]完善了該理論，雖然結論只針對單源單宿模型，但對于整個網(wǎng)絡信息理論具有重要意義。

        由于物理限制，實際網(wǎng)絡中無線節(jié)點無法在全雙工模式下進行同時同頻收發(fā)，只能采取半雙工模式。本文將對時分雙工模式下單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡的容量區(qū)域進行研究和分析。

1 系統(tǒng)模型

       考慮圖1的單源雙宿級聯(lián)無線網(wǎng)絡，定義信源S向目標D₁和D₂分別傳輸消息x₁和x₂，D₁接收x₁和x₂并解碼分離出x₁后作為中繼R并采用解碼轉(zhuǎn)發(fā)策略將消息x₂轉(zhuǎn)發(fā)給目標D₂，信源S與節(jié)點D₂不考慮協(xié)作。由于系統(tǒng)采用時分雙工，節(jié)點不能同時接收與發(fā)送。若消息x₂不為空，則完成一次網(wǎng)絡傳輸需要兩個時隙：

　　時隙1：源S將消息x₁和x₂發(fā)送給目標D₁；

　　時隙2：目標D₁作為中繼R傳輸消息x₂給目標D₂。

        假設完成一次完整的傳輸所用時間為1，第一跳時隙長度為t，忽略保護間隔，則第二跳時隙長度為1-t。設每個節(jié)點都以滿功率發(fā)送消息，第一跳容量為C₁，第二跳容量為C₂。

2 單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡容量研究

2.1網(wǎng)絡信息論基礎

        定理1 網(wǎng)絡流圖中源節(jié)點s發(fā)送信息到目的節(jié)點t，其流量w的最大值等于所有s與t之間割集容量的最小值，即:

        參考文獻[6]采用構造性證明該定理是可實現(xiàn)的。該定理表明源節(jié)點與目的節(jié)點之間的最大流量等于其中最小的一個割集流量，這就是最大流-最小割定理。

其中邊割集τ把網(wǎng)絡節(jié)點分割成不相交的兩個子集S和S^c，S^c是S的補集，如圖2所示。

        定理2的證明可參考文獻[4]，主要利用費諾不等式和互信息的性質(zhì)。參考文獻[7]證明了多狀態(tài)網(wǎng)絡容量的割集上界。

        圖3為廣播信道的網(wǎng)絡流圖，參考文獻[8]給出了廣播信道容量區(qū)的一個簡單外界。

        定理3 廣播信道的任意可達碼率(R₁,R₂)必存在某個分布q(x)，滿足:

        這個邊界表示的正是當兩個譯碼器合作譯碼時可達的最大碼率。對于廣播信道，兩個接收機獨立工作，所以它的可達碼率不會大于合作譯碼所能達到的碼率。

2.2 時分單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡容量區(qū)域外界

        圖1所示的時分單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡由于中間節(jié)點同時要擔負接收和中繼兩項工作，常規(guī)級聯(lián)網(wǎng)絡模型并不適用于本網(wǎng)絡。根據(jù)在第一時隙，源節(jié)點需要將多個消息同時傳輸給中間節(jié)點，第一跳可以理解為源節(jié)點采用廣播信道的方式將多個消息發(fā)送給中間節(jié)點。該模型可以等價為圖4的形式。

        時隙1:源S利用廣播信道將消息x₁和x₂分別發(fā)送給目標D₁和R；

        時隙2:目標R作為中繼節(jié)點傳輸信息給目標D₂。

        設D₁接收信號為y₁，D₂接收信號為y₂；傳輸x₁和x₂的速率分別為R₁和R₂，總速率R=R₁+R₂；信道容量分別為C₁和C₂，其中C₁分為C₁₁和C₁₂兩部分，C₁₁用于傳輸x₁，C₁₂用于傳輸x₂。

　　由于采用時分，割集須考慮鏈路激活時間。根據(jù)割集定理，可將單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡分割為：

        割集1：

證明：

        根據(jù)式(6)的約束區(qū)域，雖然R₂的取值取決于其中的最小值，但為了避免通信資源的浪費，兩跳鏈路上傳輸?shù)年P于消息x₂的信息量應保持平衡，即tC₁₂=(1-t)C₁₂，有:

該t值平衡了消息x₂的兩跳發(fā)送，同時包含了兩個宿節(jié)點各自的信息量權衡，因此它就是最優(yōu)時間分配系數(shù)：

        最后將t_opt代入上界約束條件式(6)中即可得出容量區(qū)域外界。

2.3 時分單源雙宿網(wǎng)絡的可實現(xiàn)速率

        根據(jù)信息論，點對點傳輸信息的最大可實現(xiàn)速率等于信道容量。參考文獻[7]指出了在多終端級聯(lián)網(wǎng)絡下可實現(xiàn)速率：

其中{C₁,C₂,…，C_L}是每一跳的可達速率，也就是該信道的容量。對于雙跳網(wǎng)絡，式(11)可簡化為：

下面分別證明R₁、R₂、R的可實現(xiàn)性：

        (1)只傳輸x₁

        假設S只傳輸x₁，不傳輸x₂，D₁只作為目標存在。C₁全部用來傳輸x₁，C₁₁=C₁，C₁₂=0。代入(7)可得R1的最大可實現(xiàn)速率為:

滿足點對點傳輸可達速率的最大值，因此R₁完全可以實現(xiàn)。

        (2)只傳輸x₂

        假設S只傳輸x₂，不傳輸x₁，D₁只作為中繼R存在。C₁全部用來傳輸x₂，C₁₁=0，C₁₂=C₁。則代入式(8)得到R₂的最大可實現(xiàn)速率：

符合參考文獻[8]提出的最大可實現(xiàn)速率，R₂的可實現(xiàn)性得證。

        (3)同時傳輸x₁和x₂

        根據(jù)式(6)的制約關系，R₁和R₂雖然無法達到單獨傳輸時所能達到的最大速率，但根據(jù)式(7)、式(8)有：

        R₁和R₂都受C₁₂影響。調(diào)整C₁₂可以使R₁和R₂同時滿足式(7)、式(8)給出的容量最值，又因為R=R₁+R₂，因此式(9)推導的總速率R可實現(xiàn)。

3 分析與討論

        將式(10)的時間分配系數(shù)t進行等價變形為：

        根據(jù)式(15)，t的取值范圍和變化幅度會隨β變化。這里分別取β={0.5，1，2}三組數(shù)據(jù)進行分析。選取C₁=10，C₂根據(jù)β的選取進行調(diào)整,如圖5所示。圖中 t是C₁₂的單調(diào)遞減函數(shù)，減小速率取決于信道容量比β。β越大，t衰減速度越快，t可取值范圍越寬；β越小，t衰減速率趨于平緩，t可取值范圍相對變窄。

　　容量曲線同樣受β的影響，以β=1為例，選取C₁=C₂=10，如圖6所示。可以看出：(1)R₁隨C₁₂增加，衰減的速度最快；(2)C₁₂取值最大時，即傳輸消息的極限速率R₂就是總速率R的最小可達速率，R的最小速率與β的取值成反比關系。

　　綜合圖(5)和圖(6)有：增大β，消息x₁根據(jù)C₁₂的調(diào)節(jié)將占用更短的時隙,代價是犧牲了總體傳輸速率；減小β，可以提升R的最小傳輸速率，但會增大第一跳傳輸消息時所占用的時隙比例。在實際中，需要綜合其他因素進行取舍，找到適合當前環(huán)境下的參數(shù)。

        本篇論文依據(jù)最大流-最小割定理研究討論了時分雙工單源雙宿兩跳級聯(lián)網(wǎng)絡的容量問題。建立了求解處理無線網(wǎng)絡容量外界的有效方法，利用該方法找到了該模型的容量區(qū)域外界，并對其可實現(xiàn)性進行了證明。最后進行了分析驗證，揭示了兩個信宿如何有效利用信道資源來完成各自消息的傳輸問題。

參考文獻

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