冠心病是人類主要的致死疾病之一。冠心病的手術(shù)治療方法是體外循環(huán)冠狀動(dòng)脈旁路移植手術(shù)，但是手術(shù)中心臟停跳會(huì)給病人帶來(lái)術(shù)后并發(fā)癥^[1]，不僅增加了醫(yī)療成本而且大大延長(zhǎng)了病人術(shù)后恢復(fù)的時(shí)間。為了解決這一問(wèn)題，醫(yī)生希望采用非體外循環(huán)的方法，即在手術(shù)過(guò)程中采用使心臟始終保持在完全跳動(dòng)狀態(tài)(區(qū)別于使用機(jī)械靜止器的非完全跳動(dòng)的情況)的手術(shù)方式完成操作。由于心臟運(yùn)動(dòng)信號(hào)運(yùn)動(dòng)快、幅度大，醫(yī)生無(wú)法手工跟蹤心臟運(yùn)動(dòng)來(lái)完成手術(shù)^[2]。如今隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器手臂可以幫助醫(yī)生跟蹤心臟運(yùn)動(dòng)來(lái)完成心臟不停跳的非體外循環(huán)旁路移植手術(shù)。其工作是消除機(jī)器人手術(shù)工具端點(diǎn)與心臟表面某操作點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使得機(jī)器人與心臟保持相對(duì)靜止。醫(yī)生在此基礎(chǔ)上，通過(guò)操作手柄疊加運(yùn)動(dòng)完成遠(yuǎn)程遙控手術(shù)操作。在這里只考慮運(yùn)動(dòng)跟蹤問(wèn)題，疊加運(yùn)動(dòng)作為以后研究的內(nèi)容。

        在心臟旁路移植手術(shù)中，冠狀動(dòng)脈血管的直徑范圍為0.5~2.0 mm。為了保證手術(shù)安全，動(dòng)態(tài)誤差應(yīng)保持在血管直徑的1%以內(nèi)，即對(duì)于高頻帶心臟運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)跟蹤誤差要保持在小于100 μm的范圍內(nèi)。在以往的研究中，NAKAMURA Y^[3]等人使用了反饋控制方法；OORTMAIER T^[4]等人提出基于Taken原理心臟運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)方法的控制方法；GINHOUX R^[5]等人提出廣義模型預(yù)測(cè)控制器；DUINDAM V和SASTRY S^[6]提出基于模型的漸進(jìn)控制算法。參考文獻(xiàn)[7]提出心臟運(yùn)動(dòng)信號(hào)的自適應(yīng)時(shí)變線性回歸模型，將心臟信號(hào)跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于心臟運(yùn)動(dòng)信號(hào)模型的運(yùn)動(dòng)跟隨問(wèn)題，并應(yīng)用最優(yōu)跟蹤理論，實(shí)現(xiàn)了基于心臟運(yùn)動(dòng)模型的隨動(dòng)跟蹤控制。以往的研究結(jié)果表明,基于模型的預(yù)測(cè)控制算法是解決心臟手術(shù)輔助機(jī)器人跟蹤控制問(wèn)題的有效方法，其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)心臟未來(lái)運(yùn)動(dòng)的預(yù)測(cè)增加了系統(tǒng)的帶寬，讓控制器超前對(duì)心臟運(yùn)動(dòng)的位置做出判斷進(jìn)而準(zhǔn)確跟蹤。

        本文提出了一種基于位置與加速度信號(hào)的耦合模型的多步模型預(yù)測(cè)控制方法。該方法的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)在：(1)增加了對(duì)機(jī)器人端點(diǎn)的3D加速度測(cè)量，因?yàn)榧铀俣仁俏灰频亩A導(dǎo)數(shù)，所以在一定程度上擴(kuò)大了加速度的測(cè)量系統(tǒng)的帶寬；多傳感測(cè)量信息經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波器的融合處理為控制器提供了更多的超前運(yùn)動(dòng)信息。(2)心臟運(yùn)動(dòng)時(shí)變模型提供超前并非單步的，而是N步的參考輸入，這樣的做法同樣擴(kuò)大了系統(tǒng)的帶寬。

1 手術(shù)輔助機(jī)器人耦合模型

        圖1是PHANToM實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的坐標(biāo)系統(tǒng)和初始位置示意圖。其中小寫的x-y-z代表基準(zhǔn)空間坐標(biāo)系，大寫的X-Y-Z代表工作空間的坐標(biāo)系,為了計(jì)算方便選取兩者重合。

        機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型用質(zhì)量-彈簧-阻尼物理系統(tǒng)來(lái)近似，因?yàn)闄C(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)端點(diǎn)可以在3D空間中自由運(yùn)動(dòng)，因此可以得到3個(gè)彼此獨(dú)立并且結(jié)構(gòu)相近的物理模型。在此首先要研究一下3D機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)在笛卡爾坐標(biāo)系下的X軸運(yùn)動(dòng)方向上的狀態(tài)變量。圖2展示了帶有加速度測(cè)量與位置測(cè)量的PHANToM實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的x軸質(zhì)量-阻尼-彈簧近似物理模型^[8]。

        選擇狀態(tài)變量：

其中d₁是M₁的位移，d₂是M₂的位移，因此模型的狀態(tài)空間表達(dá)為:

其中b₁為扭轉(zhuǎn)粘性摩擦參數(shù),k₁為彈簧系數(shù),F為施加在m₁的外部作用力,w為過(guò)程噪聲向量,v為測(cè)量噪聲向量。通過(guò)式(3)可以看出m的加速度是狀態(tài)變量的線性組合。其優(yōu)勢(shì)在于當(dāng)?shù)玫搅思铀俣葴y(cè)量值，將加速度測(cè)量值和位置測(cè)量值用來(lái)作狀態(tài)估計(jì)比單獨(dú)的位置測(cè)量值能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)提供更有效的估計(jì)，進(jìn)而提高機(jī)器人動(dòng)態(tài)跟蹤性能。由式(2)、式(3)位移-轉(zhuǎn)矩和加速度-轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)分別由式(4)、式(5)所示：

        以上兩個(gè)帶參數(shù)模型有部分相同的參數(shù)，是兩個(gè)相互耦合的模型。當(dāng)?shù)玫捷斎胼敵鰯?shù)據(jù)的離散傅里葉變換后，便可以利用非線性最優(yōu)化的方法來(lái)確定兩個(gè)傳遞函數(shù)的參數(shù)。

2 手術(shù)輔助機(jī)器人的控制算法

        控制算法是整個(gè)手術(shù)輔助機(jī)器人跟蹤控制的核心。心臟表面的手術(shù)操作點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)幅度高達(dá)12 mm，最高運(yùn)動(dòng)頻率高達(dá)26 Hz?；谛呐K運(yùn)動(dòng)信號(hào)的分析，心臟表面某點(diǎn)存在兩種運(yùn)動(dòng)模式，分別是1 Hz以下的呼吸運(yùn)動(dòng)主導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)及2 Hz心臟運(yùn)動(dòng)主導(dǎo)的心跳運(yùn)動(dòng)。呼吸運(yùn)動(dòng)的跟蹤僅僅可以通過(guò)反饋控制器來(lái)完成，而心跳運(yùn)動(dòng)則要通過(guò)前饋控制器來(lái)超前消除。前饋控制器需要知道心臟運(yùn)動(dòng)值的超前信息來(lái)相應(yīng)地做出補(bǔ)償，因此應(yīng)用模型預(yù)測(cè)控制首先要得到心臟運(yùn)動(dòng)的N步預(yù)測(cè)值，將其作為模型預(yù)測(cè)控制器的參考輸入，基于耦合模型的預(yù)測(cè)控制器得到位置與加速度測(cè)量值，運(yùn)算得到的機(jī)器人輸出控制率的前饋部分和反饋部分便分別滿足對(duì)心臟運(yùn)動(dòng)兩個(gè)主導(dǎo)模式的跟蹤控制。

2.1 基于心臟運(yùn)動(dòng)時(shí)變模型的N步預(yù)測(cè)

        參數(shù)時(shí)變模型來(lái)模擬心臟運(yùn)動(dòng)表示為：只受過(guò)程白噪聲干擾的隨機(jī)漫步過(guò)程。定義測(cè)量值h(t)=y(t)，時(shí)變參數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)模型的狀態(tài)空間表示為：

分別為模型噪聲與測(cè)量噪聲。噪聲默認(rèn)為白噪聲。對(duì)于心臟未來(lái)運(yùn)動(dòng)信號(hào)的預(yù)測(cè)需要通過(guò)估計(jì)模型中的狀態(tài)來(lái)解決。考慮到測(cè)量方程為非線性方程，擴(kuò)展卡爾曼濾波器可以用來(lái)估計(jì)時(shí)變的狀態(tài)參數(shù)。首先將非線性的測(cè)量方程在當(dāng)前的狀態(tài)點(diǎn)線性化得到測(cè)量矩陣C：

        接著按照卡爾曼濾波的遞推方程估計(jì)下一個(gè)時(shí)間的狀態(tài)。遞推方程表述為：

其中P為狀態(tài)估計(jì)均方值。利用上述遞推方程便可得到模型預(yù)測(cè)控制所需的心臟運(yùn)動(dòng)N步超前預(yù)測(cè)值：

2.2 基于耦合模型的機(jī)器人模型預(yù)測(cè)控制算法

        模型預(yù)測(cè)控制的原理框圖如圖3表示。與傳統(tǒng)預(yù)測(cè)控制的不同之處是將狀態(tài)觀測(cè)器改進(jìn)為基于耦合模型的卡爾曼濾波器來(lái)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)。同時(shí)保留前饋通路的控制率輸出。在應(yīng)用卡爾曼濾波器作狀態(tài)估計(jì)的過(guò)程中，卡爾曼濾波器會(huì)考慮耦合模型的過(guò)程誤差和傳感器的測(cè)量誤差模型作為設(shè)計(jì)參數(shù)包含于整個(gè)算法之中。這樣得到狀態(tài)估計(jì)優(yōu)于一般的狀態(tài)觀測(cè)器。因此，基于耦合模型的預(yù)測(cè)控制問(wèn)題可以描述為：已知未來(lái)N步參考輸入值，應(yīng)用最優(yōu)化的方法求解目標(biāo)方程，其中機(jī)器人耦合模型作為目標(biāo)方程的約束條件，求解出未來(lái)N步控制率輸出，僅選取當(dāng)前點(diǎn)傳送給機(jī)器人。以下為推導(dǎo)過(guò)程。

        機(jī)器人耦合動(dòng)態(tài)模型為：

        這里定義N步預(yù)測(cè)值為向量y_est[k]，k₀<k<k₀+T指在時(shí)間k₀與k₀+T之間的采樣時(shí)間。機(jī)器人的位置輸出逼近信號(hào)y_est[k]，則最優(yōu)控制目標(biāo)方程為：

        改進(jìn)的預(yù)測(cè)控制中，式(27)中的x[k]由卡爾曼濾波器的輸出替代。每個(gè)控制周期中，心臟運(yùn)動(dòng)時(shí)變信號(hào)模型提供超前N步的心臟運(yùn)動(dòng)估計(jì)值傳遞給控制器作為參考值，控制器跟蹤參考值按照上述公式計(jì)算出前饋與反饋輸出率。

3 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

        控制算法通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)PHANToM Premium 1.5A實(shí)現(xiàn)。3D加速度傳感器使用是Freescale MMA7340L。在實(shí)驗(yàn)設(shè)置中，控制算法運(yùn)行在2.6 GHz Intel Pentium4 PC 上Matlab xPC Target v2.8實(shí)時(shí)內(nèi)核中。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的采樣頻率為0.5 ms。在每次試驗(yàn)前，先校準(zhǔn)機(jī)器人。機(jī)器人的端點(diǎn)從系統(tǒng)初始位置開始跟蹤信號(hào)。在實(shí)驗(yàn)中，預(yù)先采集的心臟信號(hào)用于模擬實(shí)際的非體外循環(huán)手術(shù)中心臟在每個(gè)采樣時(shí)刻跳動(dòng)位置的數(shù)值。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

        實(shí)驗(yàn)對(duì)比了模型預(yù)測(cè)控制器與極點(diǎn)配置控制器分別在單獨(dú)位置測(cè)量模型與耦合模型的情況下對(duì)心臟的運(yùn)動(dòng)跟蹤。通過(guò)對(duì)算法結(jié)果比較得出基于耦合模型的多步預(yù)測(cè)控制算法在兩方面優(yōu)于其他控制算法：(1)增加加速度測(cè)量的耦合模型預(yù)測(cè)控制增加了系統(tǒng)帶寬，對(duì)所跟蹤的信號(hào)具有超前補(bǔ)償能力。(2)多步預(yù)測(cè)增強(qiáng)了基于耦合模型的多步預(yù)測(cè)控制算法對(duì)于心跳信號(hào)快速變化的估計(jì)與跟蹤能力，進(jìn)而提高控制精度。表1總結(jié)了實(shí)驗(yàn)得到的RMS跟蹤誤差與RMS控制量輸出。圖4展示了在耦合模型與單獨(dú)位置模型的預(yù)測(cè)控制算法下，機(jī)器人端點(diǎn)工作空間坐標(biāo)系中X軸位置、跟蹤誤差與控制量輸出。圖中分別用不同的時(shí)間尺度表現(xiàn)兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)的算法的優(yōu)劣。

        本文中提出了基于速度與加速度測(cè)量的耦合模型的改進(jìn)預(yù)測(cè)控制算法。在耦合模型的算法結(jié)構(gòu)下，通過(guò)增加加速度傳感器對(duì)機(jī)器人端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的測(cè)量提高了跟蹤精度。模型預(yù)測(cè)控制器按照心臟運(yùn)動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)分別對(duì)心臟運(yùn)動(dòng)中高頻與低頻分量分離出前饋控制率與反饋控制率，前饋部分的引入克服了測(cè)量在反饋環(huán)節(jié)產(chǎn)生滯后性。

        本文結(jié)論如下：(1)模型預(yù)測(cè)控制算法具有超前預(yù)測(cè)的屬性。將信號(hào)跟蹤問(wèn)題歸結(jié)為參考信號(hào)預(yù)測(cè)問(wèn)題，是算法前饋控制部分的必要基礎(chǔ)。通過(guò)提高模型預(yù)測(cè)的精度實(shí)現(xiàn)提高跟蹤控制的精度，為高帶寬高精度的信號(hào)跟蹤提供了可能。(2)包含了加速度信號(hào)測(cè)量信息的耦合模型，具備由于僅位置測(cè)量的超前相位的特征，提高了機(jī)器人對(duì)高帶寬信號(hào)的準(zhǔn)確跟蹤能力。試驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的帶有加速度測(cè)量耦合模型跟蹤算法比現(xiàn)有的位置測(cè)量算法的跟蹤誤差減小至少20%。

參考文獻(xiàn)

[1] NEWMAN M F,KIRCHNER J L,PHILLIPS-BUTE B,et al.Longitudinal assessment of neurocognitive function after coronary-artery bypass surgery [J]. New England J Med.,2001,6(344):395-402.

[2] FALK V. Manual control and tracking-A human factr analysis relevant for beating heart sugery[J].Thoracic Surg,2002,74:624-628.

[3] NAKAMURA Y, KISHI K,KAWAKAMI H. Heartbeat synchronization for robotic cardiac surgery[C]. in Proc.of IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA),Seoul, Korea, May 2001,2. 2014-2019.

[4] ORTMAIER T, GROGER M, BOEHM D H, et al. Motion estimation in beating heart surgery[J]. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, October 2005,52(10):1729-1740.

[5] GINHOUX R, GANGLOFF J A, DEMATHELIN M F,et al.Active filtering of physiological motion in robotized surgery using predictive control[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2005,21(1):67-79.

[6] DUINDAM V, SASTRY S. Motion estimation and control for roboticassisted beating-heart surgery[C]. in Proc.of  IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots  and Systems,San Diego,CA,USA,October-November 2007:871-876.

[7] 梁帆，孟曉風(fēng)，董登峰.心臟動(dòng)脈旁路手術(shù)中手術(shù)輔助機(jī)器人的模型跟隨控制[J]. 光學(xué)精密工程, 2012,20(1): 131-139

[8] MURAT CENK CAVUSOGLU DAVID FEYGIN and FRANK TENDICK. A Critical Study of the Mechanical and Electrical Properties of the PHANToM Haptic Interface and Improvements for High-Performance Control[J]. 2002,11(6): 555-568.

[9] ANDERSON B D, MOORE J B. Optimal control linear quadratic methods[M]. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall,1990.