兩輪不平衡小車是一個集環(huán)境感知、動態(tài)決策與規(guī)劃、行為控制與執(zhí)行等多種功能于一體的綜合系統(tǒng)。它的動力學(xué)方程是一個多變量、耦合、時變的非線性高階方程，加上運(yùn)動學(xué)方程中的非完整約束，使它成為一個具體的、實(shí)現(xiàn)起來相對簡單的系統(tǒng)。近年來，兩輪不平衡小車作為一個理論與實(shí)踐相結(jié)合的系統(tǒng)，受到高度重視，它是檢驗(yàn)各種控制方法處理能力的典型裝置[1]。針對以往[2]通過反饋線性化得到小車系統(tǒng)的線性模型，然后在指數(shù)趨近律基礎(chǔ)上進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制的方法，消抖效果并非很好，而且在削弱系統(tǒng)抖振的同時也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。為此，本文首先基于飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)出了常規(guī)切換面滑模控制器和動態(tài)切換面滑?？刂破?。該控制器較以前的方法更有效地削弱了系統(tǒng)的抖振；然后通過給飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律中加入擾動跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出了帶擾動跟蹤項(xiàng)的動態(tài)切換面準(zhǔn)滑模控制器。該控制器不僅很好地削弱了系統(tǒng)抖振，增大了系統(tǒng)的可控范圍,更重要的是很好地保證了系統(tǒng)的魯棒性。
1 小車系統(tǒng)建模及其反饋線性化  
    設(shè)電機(jī)的力矩系數(shù)為km，反電動勢常數(shù)為ke，電機(jī)電阻為R，轉(zhuǎn)子慣量為J，接入減速箱的減速比為kj;小車車體質(zhì)量為Mp，車輪及軸的質(zhì)量為Mw，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動中心距離為l，車輪半徑為r，車體轉(zhuǎn)動慣量為Ip，車輪及軸轉(zhuǎn)動慣量為Iw，重力加速度為g，車輪水平位移為x1，水平速度為x2，車體偏離垂直方向的角度為x3，偏離垂直方向角加速度為x4，整個系統(tǒng)的輸入即電機(jī)的輸入電壓為u。
    取狀態(tài)變量X[x1 x2 x3 x4]T，將電機(jī)的輸入電壓u作為控制信號。為了便于研究，把系統(tǒng)看作線性化的單輸入單輸出系統(tǒng)。由于角度對系統(tǒng)的影響最大，所以將角度x3作為輸出，它可由傾角傳感器測得[1]。根據(jù)力學(xué)建模得到系統(tǒng)的非線性方程為[3]：

    則小車的局部線性化模型可簡記為：

 
    顯然，動態(tài)切換面是在常規(guī)切換面中加入與控制輸入有關(guān)的Tv0項(xiàng)，使得不連續(xù)切換項(xiàng)M0sat(HX/Δ)轉(zhuǎn)移到控制的一階導(dǎo)數(shù)v0中。因?yàn)榭刂苪中不存在不連續(xù)切換項(xiàng)，所以有效地降低了抖振。
2.3 帶擾動跟蹤的動態(tài)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)
    由于以往的方法在消抖的同時也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力，而擾動的存在會惡化系統(tǒng)的性能。在滑模控制中，擾動會使本來位于滑動面的運(yùn)動偏離滑動面。從幾何學(xué)角度可以將該擾動分解為兩個方向：沿滑動面的切線方向和垂直于該切線的法線方向。從物理學(xué)角度,分解在沿滑動面切線方向的擾動將給系統(tǒng)一個繼續(xù)沿滑動面運(yùn)動的加速度，它對系統(tǒng)的影響不大；而分解在垂直于滑動面方向的擾動會給系統(tǒng)一個垂直滑動面方向的加速度，也就是擾動引起系統(tǒng)在滑動面垂直方向上產(chǎn)生遠(yuǎn)離滑動面的加速度，使系統(tǒng)脫離滑動面。為了避免擾動造成系統(tǒng)運(yùn)動偏離滑動面過大，本文在飽和特性的指數(shù)趨近律中加入擾動動力跟蹤項(xiàng)來減小系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑動面運(yùn)動的加速度，以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。


3 仿真比較[8]
    由maxon電機(jī)手冊得到：額定電壓為30 V,力矩系數(shù)km=0.0389 Nm/A,電機(jī)電阻R=1.23 Ω, 轉(zhuǎn)子慣量J=0.000 065 5 kgm2，反電動勢常數(shù)ke=1/246=0.004 065 V/rpm,接入減速箱的減速比kj=33,測量得小車車體質(zhì)量為Mp=10.36 kg，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動中心距離l=0.2 m,車輪及軸質(zhì)量Mw=0.4 kg，車輪半徑r=0.06 m，車輪及軸轉(zhuǎn)動慣量Iw=0.000 36 kg·m2，車體轉(zhuǎn)動慣量Ip=0.037 59 kg·m2，取重力加速度g=9.81 N/kg。
3.1 可控范圍的比較
    取M0=20，k=10，T=0.5，G=0.3,在小車位置、速度、角速度全都為0的情況下,通過不斷變換角度初始值，觀察控制電壓為額定值時的角度值即為小車在此控制器下的最大可控傾角。仿真得到如表1所示的三種控制器的最大可控傾角。
    由表1可以看出，系統(tǒng)在帶擾動跟蹤項(xiàng)的動態(tài)切換面滑?？刂破髯饔孟碌目煽亟亲畲?，動態(tài)切換面準(zhǔn)滑模控制器次之，而常規(guī)切換面準(zhǔn)滑模控制器作用下系統(tǒng)的可控角最小。下面對三種控制器控制效果的比較都在其傾角可控范圍內(nèi)。

3.2 系統(tǒng)抖振的比較
    根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論：系統(tǒng)運(yùn)動在滑模區(qū)時，其特性和參數(shù)只取決于切換函數(shù)而與其他無關(guān)，即滑模具有完全魯棒性。但伴隨滑模的運(yùn)動,系統(tǒng)會出現(xiàn)抖振，這種高頻振動會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的性能。下面就上文所設(shè)計(jì)的三種不同控制器作用系統(tǒng)時所產(chǎn)生的抖振進(jìn)行觀察比較。
    仍取初始狀態(tài)X=[0  0  0.45  0]T，其他參數(shù)不變，在三種不同控制器控制作用小車角度在10 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖1示。    

    由圖1可看出，在三種不同控制器的作用下，系統(tǒng)的位置、速度、角速度以及控制u響應(yīng)曲線都有圖1所示的特性，即動態(tài)切換面滑?？刂破鞅瘸Ｒ?guī)切換面滑?？刂破髟谙斗矫嬗忻黠@的優(yōu)勢，而帶擾動跟蹤的動態(tài)切換面滑?？刂破鞅炔粠_動跟蹤的動態(tài)切換面滑模控制器在消抖方面有明顯的優(yōu)勢。
3.3 系統(tǒng)抗干擾性比較
    設(shè)小車位于平衡狀態(tài)X=[0  0  0  0]T處，給系統(tǒng)的控制輸入端u處加入幅值為5的隨機(jī)干擾信號，在上述三種不同控制器作用下小車速度在3 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖2示。

    由圖2可看出，對于系統(tǒng)角度，動態(tài)切換面滑模控制器作用下系統(tǒng)的抗干擾能力比常規(guī)切換面滑?？刂破髯饔孟孪到y(tǒng)抗干擾能力弱很多，但是通過增加擾動跟蹤項(xiàng),可使動態(tài)切換面滑?？刂破鞯目垢蓴_能力又得以顯著地增強(qiáng)。
    大量仿真曲線表明：對于相同的趨近律，與常規(guī)切換面滑模控制器相比，動態(tài)切換面滑?？刂破麟m然顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，但同時也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。而通過給趨近律中加入擾動跟蹤項(xiàng)設(shè)計(jì)的帶擾動跟蹤的動態(tài)滑模控制器作用系統(tǒng)時，不僅顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，而且保留了常規(guī)切換面滑模控制器較強(qiáng)的抗干擾能力。由此可見，擾動跟蹤項(xiàng)不但很好地補(bǔ)償了變結(jié)構(gòu)控制的抖振缺陷，而且還實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對擾動的不變性，增大了系統(tǒng)的可控范圍。
    本文針對反饋線性化得到的小車系統(tǒng)線性模型，設(shè)計(jì)了基于常規(guī)切換面和動態(tài)滑模切換面的準(zhǔn)滑動模態(tài)變結(jié)構(gòu)控制器，并在此基礎(chǔ)上通過給控制u中加入擾動跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出能同時削弱抖振和保證系統(tǒng)抗干擾能力的控制器，實(shí)現(xiàn)了小車的穩(wěn)定控制。通過仿真比較可以看出，與常規(guī)切換面控制器作用相比，在基于動態(tài)切換面控制器作用下系統(tǒng)的可控范圍較大、抑制系統(tǒng)抖振能力強(qiáng)，但同時系統(tǒng)的魯棒性變差，即在削弱系統(tǒng)抖振的同時也削弱了系統(tǒng)的魯棒性。而通過給控制u中加入擾動跟蹤項(xiàng)使系統(tǒng)抗干擾能力顯著增強(qiáng)，即具有擾動跟蹤的動態(tài)滑模控制器不僅更好地削弱了系統(tǒng)的抖振，同時還保證了滑模對擾動的不變性，實(shí)現(xiàn)了滑動模態(tài)魯棒性和消除抖振的統(tǒng)一。
參考文獻(xiàn)
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