1 RS碼的結(jié)構(gòu)

碼字長度為N=q-1(q=2i)，生成多項式為，αi∈GF(q)的RS碼有最小碼距δ=2t+1，能夠糾正t個隨機或突發(fā)錯誤[1]。本文列舉的方案測試中采用的RS碼主要參數(shù)為N=255、m0=0、t=8，其中GF（2 8）的生成多項式為g（x）=x8+x4+x3+x2+1。由于RS碼的編碼邏輯結(jié)構(gòu)比較簡單，文中僅給出仿真結(jié)果。

2 RS碼的譯碼算法

RS譯碼算法一般分為三步：伴隨式計算、關(guān)鍵方程獲得和錯誤圖樣的求解。其中關(guān)鍵方程的獲得是RS譯碼中最困難、最為關(guān)鍵的一步。

在利用伴隨式求解關(guān)鍵方程時，BM算法和Euclidean（歐氏）算法是兩種較好的選擇。BM算法涉及大量的變量存儲和復(fù)雜的邏輯控制，適用于軟件編程而不適合硬件實現(xiàn)。歐氏算法數(shù)據(jù)存儲量少、控制便捷，適合硬件實現(xiàn)。且采用歐氏算法確定關(guān)鍵方程所需時間與錯誤個數(shù)成正比，因此從處理時間上考慮，歐氏算法也是較好的選擇。

在獲得關(guān)鍵方程后，采用時域處理方法，需要大量的運算單元和控制電路，在硬件實現(xiàn)中是不可取的。而采用頻譜結(jié)構(gòu)分析方法，利用最短線性移位寄存器綜合及離散傅氏逆變換進行處理，邏輯簡單、耗時少，適合硬件實現(xiàn)。雖然在傅氏變換時需要較多的邏輯單元，但對GF（2n）在n<10的情況下，變換域譯碼器要比時域譯碼器簡單得多。因而本文提出歐氏算法和頻譜結(jié)構(gòu)分析相結(jié)合的方案，并在實踐中獲得了較好的效果。

Euclidean算法[3]步驟如下：

（2）按所列方法進行迭代

3 方案流程

方案流程框圖如圖1所示。

3.1 伴隨式S0,S1,…，S2t-1的計算

令r1,r2，…，rn為接收到的RS碼字，根據(jù)系統(tǒng)碼監(jiān)督矩陣的特性，可構(gòu)造如圖2所示伴隨式計算電路Si=（（（r1αi+r2）αi+r3）αi…+rn，從而實際伴隨式序列的計算。

    3.2 利用伴隨式確定關(guān)鍵方式    伴隨式的計算結(jié)果：S15，S14，…，S1，S0為（FD，8D），CE，4A，51，B2，A1，CA，C4，0D，73，56，A6，F(xiàn)5，01），圖6和圖7中的sp即為S15。    系統(tǒng)仿真表明，譯碼器獲得的錯誤位置和錯誤圖案與實際假設(shè)的錯誤位置（105，106，107，108，109，110，111）和錯誤值（01）HEX完全一致。

Euclidean算法的難點主工在于迭代計算過程中存在的被除數(shù)多項式和除數(shù)多項式長度的不確定性，使每次計算中產(chǎn)生的商序列的長度不等，以及因此可能涉及到的不定長多項式的相乘和相加問題，增加了硬件設(shè)計的難度。系統(tǒng)采用了嵌套雙循環(huán)的方法，利用'時鐘產(chǎn)生2'控制外循，'時鐘產(chǎn)生1'控制內(nèi)循環(huán)，從而優(yōu)化了算法，得到了問題的解決方案。在獲得伴隨式的基礎(chǔ)上，圖3電路可具體完成Euclidean算法對關(guān)鍵方程的求解σ（x）=σtxt+σt-1xt-1+…+σ1x+1。

3.3 利用最短線性移位寄存器綜合和離散傅氏變換獲取錯誤圖樣

在得到關(guān)鍵方程后，首先應(yīng)進行錯誤位置（關(guān)鍵方程的根）的確定，這樣可減小電路的規(guī)模；利用錢搜索[1]（工程上求解σ（x）根的實用方法）的方法可以簡捷的確定錯誤位置。然后，啟動最短線性移位寄存器綜合和離散傅氏逆變換，經(jīng)過N次（運算所在域的長度）迭代，即可求得對應(yīng)各個錯誤位置的錯誤圖樣，如圖4所示。用錯誤圖樣對接收碼字進行糾錯，就可得到正確的信息序列。

3.4 RS編譯碼在FPGA上的實現(xiàn)

有限域的乘法、加法運算單元和各模塊的控制邏輯設(shè)計是系統(tǒng)成功的關(guān)鍵。涉及有限域的各個運算單元的運算速度制約了譯碼器的速度，而控制邏輯引導(dǎo)了譯碼的流程。硬件電路的軟件開發(fā)工具給設(shè)計復(fù)雜電路提供了簡捷思路。系統(tǒng)采用了QUARTUS與第三方軟件相結(jié)合的方法，用VHDL語言設(shè)計了大部分功能模塊。特別是在乘法器設(shè)計中，乘數(shù)確定、被乘數(shù)不定的有限域乘法器，經(jīng)邏輯綜合和優(yōu)化設(shè)計后，運算速度可分別在6.8ns和11.6ns內(nèi)完成，完全可以滿足系統(tǒng)符號速率50Mbps的要求。應(yīng)該指出，系統(tǒng)速度的進一步提高受到求逆運算的限制，求逆運算沒有明確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（通常采用查表的方法），這是制約運算速度的瓶頸。但針對流式譯碼算法，上述結(jié)構(gòu)已能滿足要求。

4 仿真結(jié)果

4.1 編碼器的仿真

仿真的時鐘頻率為50MHz，在EN為高電平時輸入信息有效。為簡單起見，采用系統(tǒng)碼的縮短型，即信息為（00，00，…，00，02，01，02）.編碼器的仿真結(jié)果如圖5所示。其中，IN為輸入信息，CLK為系統(tǒng)時鐘，C為編碼輸出（輸入和輸出均為16進制）。

4.2 譯碼器的仿真

首先，給出系統(tǒng)的仿真全貌，如圖6所示。其中C為接收到的RS碼，SP為伴隨式S15,shang為運用歐氏算法得到的商序列，SeryDA為S序列，anssd和ERTD分別對應(yīng)碼字可能存在的第四個錯誤位置和錯誤值，仿真中的接收碼在位置（105，106，107，108，109，110，111，112）上錯誤均為（01）HEX。

 

這里重點給出利用伴隨式計算關(guān)鍵方程的電路仿真結(jié)果，如圖7所示。當(dāng)輸入伴隨式結(jié)果以后，運算電路啟動，在計算商序列的同時進行聯(lián)接多項式的迭代運算。歐氏算法的商序列shang為：（FF，58），（37，92），（50，45），（E9，C7），（F4，B9），（5D，33），（87，8F）。當(dāng)滿足終止條件以后顯示標志QQC，同時，給出關(guān)鍵方程系數(shù)如圖7中（AI，AH，AG，AF，AE，AD，AC，AB，AA）即（00，19，2E，EC，A8，AD，41，E6，95），對應(yīng)有限域上的表達式為：

δ（x）=α193x7+α130x6+α122x5+α144x4+α252x3+α191x2+α160x+α184;有解為（α105，α106，α107，α108，α109，α110，α111），與假定錯誤位置完全一致。然后求解S序列，同時針對各錯誤位置進行IDFT，就可以得到對應(yīng)的錯誤值。圖6中anssd和ERTD表示位置108上存在的錯誤為（01）HEX。

圖5 編碼器仿真結(jié)果

基于APEX架構(gòu)的可編程單芯片RS編譯碼硬件解決方案在中國普天集團西安藍牙通訊設(shè)備有限公司的二次群無線擴頻通信機的改造項目中得到了應(yīng)用。它可用于離散譯碼、流式譯碼，在添加一級緩存的基礎(chǔ)上，同樣適用于連續(xù)譯碼。