小波圖像編碼和分形圖像編碼是兩種不同的圖像編碼方法，二者各有其特點(diǎn)，又都存在一定的局限性[1-3]。一幅圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，其相同方向但不同分辨率的子圖像具有較強(qiáng)的相似性，這種相似性正好與分形編碼的特點(diǎn)具有互補(bǔ)性。自1995年以來(lái)，Rinaldo和Calvagno首次提出并實(shí)現(xiàn)了一種小波與分形圖像編碼相結(jié)合的算法[4]。此后，又出現(xiàn)多種小波變換與分形相結(jié)合的圖像編碼算法[5-8]。這些算法，有的證明了小波域的分形圖像解碼可以通過(guò)低分辨率小波系數(shù)向高分辨率系數(shù)連續(xù)外推實(shí)現(xiàn)，即解碼無(wú)需循環(huán)迭代，是無(wú)條件收斂的；有的通過(guò)采用平滑小波基消除重構(gòu)圖像在高壓縮比時(shí)的方塊效應(yīng)；有的推導(dǎo)出仿射變換的收縮因子取值不受限制，能保證解碼收斂；同時(shí)小波系數(shù)的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)提供了自然高效的Domain塊分類(lèi)方法等[9]。此外，還有一些研究集中在分形塊的類(lèi)別劃分[10]以及基于小波零樹(shù)結(jié)構(gòu)的分形預(yù)測(cè)[11]等。
    本文在此基礎(chǔ)上，通過(guò)分析基本分形圖像編碼的壓縮算法，提出一種基于小波域的分形圖像編碼改進(jìn)算法。這種改進(jìn)算法包括兩部分：(1)根據(jù)圖像小波分解后各子圖像包含的不同能量，考慮各子圖像所代表的方向、紋理特征等信息，對(duì)各子圖采用非均勻的分形編碼方案，即在進(jìn)行小波域的分形編碼時(shí)，分形塊的選取不一定全是正方形，對(duì)于不同方向的紋理特征的小波子圖像選取不同形狀的分形塊； (2)根據(jù)圖像的小波變換系數(shù)在同一方向不同分辨率、同一分辨率不同方向之間都存在相關(guān)性，對(duì)每一圖像塊，在同一方向低一級(jí)分辨率的子帶圖像上尋找與其最佳分形匹配的相似塊，由這些相似塊形成一棵一棵預(yù)測(cè)樹(shù)，解碼端通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)樹(shù)的分形預(yù)測(cè)恢復(fù)出各級(jí)圖像塊。實(shí)驗(yàn)證明，這種改進(jìn)算法能夠大大提高分形編碼的速度，并取得較高的壓縮比。
1 基本分形編碼壓縮算法
　　基本分形編碼壓縮算法的主要內(nèi)容：將待編碼的圖像分割成互不重疊的子塊(Range Block),稱(chēng)為圖像塊R，同時(shí)將圖像分割成可以相互重疊的大一些的塊(Domain Block)，稱(chēng)為相似塊D。對(duì)分割后的R塊和D塊進(jìn)行分類(lèi)，如：變換平緩的平滑區(qū)域、變換突然的邊緣區(qū)域和變換緩和的中間型區(qū)域等，使相匹配的塊具有相同的區(qū)域性質(zhì)。對(duì)分類(lèi)后相同區(qū)域的每一個(gè)R塊Rj尋找可以匹配的D塊Dj，使得Dj通過(guò)仿射函數(shù)ψ_j可以近似于R_j，由此可以得到一組仿射變換組ψ₁，ψ₂…ψ_N，即分形迭代系統(tǒng)。只要該系統(tǒng)的變換是收斂的，且比原系統(tǒng)簡(jiǎn)單，就實(shí)現(xiàn)了分形壓縮[12]。基本分形編碼算法主要在圖像分割后對(duì)R塊和D塊進(jìn)行搜索匹配的過(guò)程，其壓縮比較高，但是壓縮時(shí)的計(jì)算量較大，編碼壓縮時(shí)間很長(zhǎng)。
2 基于小波域的分形圖像編碼改進(jìn)算法
    本文的改進(jìn)算法包括兩部分：小波域分形編碼過(guò)程中分形塊形狀的選取以及分形預(yù)測(cè)樹(shù)的形成。
2.1 小波域分形編碼過(guò)程中分形塊形狀的選取
    在上述基本分形壓縮編碼過(guò)程中，在確定R塊和D塊的形狀時(shí)，對(duì)各小波分解子圖取的均是正方形。由于圖像小波分解后，各子圖包含的能量有所不同，其代表的方向、紋理等特征信息也不相同，因此，可以考慮在進(jìn)行小波域的分形編碼時(shí),分形塊的選取可以不選正方形，而是依據(jù)小波分解子圖的不同方向的紋理特征選取不同形狀的子塊。
　以512×512的8 bit圖1為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果表明，不同方向的子圖由于其紋理特征信息不同，在LH、HL、HH區(qū)域中,其水平和垂直方向的相關(guān)性不相同，所以在不同方向的分解子圖像中采用不同形狀的塊進(jìn)行分形編碼，可使其編碼時(shí)間更短，圖像恢復(fù)效果更好。例如，在LH區(qū)域，通過(guò)計(jì)算分析，行相關(guān)長(zhǎng)度大于列相關(guān)長(zhǎng)度，圖像以水平紋理為主，可采用4×2的矩形進(jìn)行R塊和D塊的分割；在HL區(qū)域，行相關(guān)長(zhǎng)度小于列相關(guān)長(zhǎng)度，圖像以豎直紋理為主，可采用2×4的矩形進(jìn)行R塊和D塊的分割；而在HH區(qū)域，行相關(guān)長(zhǎng)度與列相關(guān)長(zhǎng)度接近，則可以采用正方形來(lái)分割。同時(shí)，由于左上角的低頻子圖包含了圖像的大部分能量，因此仍采用2×2正方形子塊的選取，不參加計(jì)算。圖像塊的分割方法如圖2所示。應(yīng)用均勻分塊和非均勻分塊的壓縮效果比較如圖3 所示。

2.2 分形預(yù)測(cè)樹(shù)的形成過(guò)程
    分形預(yù)測(cè)樹(shù)的形成原理是:應(yīng)用Davis把零樹(shù)的概念引入到分形圖像編碼的理論，把分形圖像編碼中的相似塊和圖像塊擴(kuò)大到相似樹(shù)(Domain Tree)和圖像樹(shù)(Range Tree),從而使得相似塊與圖像塊之間的分形匹配轉(zhuǎn)化為相似樹(shù)與圖像樹(shù)之間的分形匹配。在此基礎(chǔ)上，可以在各級(jí)小波分解的子圖像中尋找與圖像塊R最佳分形匹配的代表塊，再由各級(jí)代表塊按照零樹(shù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一棵代表樹(shù)，通過(guò)計(jì)算比較各級(jí)圖像樹(shù)R與代表樹(shù)的距離，確定距離最小的代表樹(shù)就是圖像樹(shù)R的預(yù)測(cè)樹(shù)。
　結(jié)合小波域圖像分割形狀的分析，對(duì)圖1進(jìn)行如圖2所示的小波域分割，得到基于小波域的分形預(yù)測(cè)樹(shù)的形成圖如圖4 所示。具體過(guò)程是：

    (1) 首先對(duì)圖像進(jìn)行多次小波變換，產(chǎn)生各個(gè)子帶圖像。通過(guò)對(duì)圖像行、列相關(guān)性的計(jì)算分析，確定各子帶小波域圖像分割的形狀。為了保證信噪比，對(duì)最低分辨率的子帶圖像LL1、HL1、LH1、HH1不編碼。
    (2) 同時(shí)在水平、垂直、對(duì)角線3個(gè)方向上形成一棵一棵圖像樹(shù)，即零樹(shù)。如LH方向上的R=(R₁，R₂，R₃，R₄）就是其中一棵圖像樹(shù)，而D=(D₁，D₂，D₃，D₄)表示HL方向上的相似樹(shù)。然后在LH1中尋找與圖像塊R2最佳分形匹配的代表塊E1，再由E1按照零樹(shù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一棵代表樹(shù)E=(E₁，E₂，E₃)。同理，在LH2中尋找與圖像塊R3最佳分形匹配的代表塊F₂，并生成代表樹(shù)F=(F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₃)。在LH3中尋找與圖像塊R4最佳分形匹配的代表塊G3，并生成代表樹(shù)G=(G₁，G₂，G₃)。
    (3)分別計(jì)算圖像樹(shù)R與3棵代表樹(shù)E、F、G的距離，距離最小的代表樹(shù)就是圖像樹(shù)R的預(yù)測(cè)樹(shù)。然后將預(yù)測(cè)樹(shù)在相應(yīng)層次的位置以及經(jīng)歷的幾何變換和仿射變換作為圖像樹(shù)R的分形預(yù)測(cè)編碼。
    (4) HL、HH方向按同樣方式編碼,只是構(gòu)成的R塊和D塊的形狀大小不同。這樣，在改進(jìn)算法中,編碼只需對(duì)代表樹(shù)中的一個(gè)代表塊進(jìn)行分形編碼。而解碼時(shí)，又可依據(jù)這個(gè)代表塊通過(guò)零樹(shù)結(jié)構(gòu)推出其他代表塊，再分形預(yù)測(cè)圖像塊R。
    由于前面針對(duì)小波分解圖的能量分配特性已經(jīng)采用了非均勻的分形塊形狀的選取，再結(jié)合這種分形預(yù)測(cè)編碼方法，其結(jié)果大大提高了分形編碼的速度，縮短了編碼時(shí)間，在提高壓縮比方面也取得了良好的效果。
3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
　實(shí)驗(yàn)采用圖1所示圖像，分別用基本分形編碼方法和本文的改進(jìn)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其重建圖像如圖5所示?；痉中尉幋a時(shí)各子圖中圖像塊大小為4×4，相似塊大小為8×8，改進(jìn)算法中對(duì)小波分解圖像塊的分割方法如圖2所示，相似塊大小取為圖像塊大小的2×2倍，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

　本文提出基于小波域的分形圖像編碼改進(jìn)算法是將小波域分形與分形預(yù)測(cè)方法相結(jié)合，由表1可知，與基本分形算法相比，在恢復(fù)圖像質(zhì)量接近的情況下，壓縮比提高約2倍，信噪比下降2 dB，而編碼時(shí)間大大縮短，提高了編碼速度，表明在提高壓縮比方面，效果良好。
參考文獻(xiàn)
[1]  余松煜，張文軍，孫軍.現(xiàn)代圖像信息壓縮技術(shù)[Ml.北京:科學(xué)出版社，1998.
[2]  陳守吉，張立明.分形與圖像壓縮[M].上海：上海科技教育出版社，1998.
[3]  BRENDT W，GERHARD D J. A review of the fractal image coding literature[J]. IEEE Transactions on Image  Processing, 1999, 8(12):1716-1729.
[4]  RINALDO R, CALVAGNO G. Image coding by block  prediction of multiresolution subimages[J]. IEEE Transaction On    Image Processing ,1995, IP-4(7):909-920.
[5]  DAVIS G. A wavelet-based analysis of fractal image compression[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 1998,7(2):141-154.
[6]  DAVIS G. Adaptive self-quantization of wavelet subtrees: a wavelet-based theory of fractal images compression[C]. SPIE Conf. on Mathematical Imaging: Wavelet application in Signal and Image Processing, San Diego:1995:265-279.
[7]  WALLE A V D. Merging fractal image compression and  wavelet transform methods[C]. In Fractal Image Coding  Analysis: A NATO Series Book, Yuval Fisher, Ed. New  York: Springer Verlag,1996:523-597.
[8]  KRUPNIK H, MALAH D, KARNIN E. Fractal representation of images via the discrete wavelet transform[C]. In  IEEE 18th Conference of  EE, Israel: 1995,3:187-191.
[9]  張宗念，馬義德，余英林.基于方向性零樹(shù)小波的分形圖像編碼[J]．電子科學(xué)學(xué)刊，2000，22(5):780-783.
[10] 周艷， 吳敏金.基于方向剖分的小波域分形圖像壓縮[J]．華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，3(9)：20-23.
[11]  謝鑫，馬爭(zhēng)鳴.基于小波系數(shù)零樹(shù)結(jié)構(gòu)的分形預(yù)測(cè)圖像編碼[J].中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào)，2000，5（11）：920-924.
[12]  JACQUIN A E. Fractal image coding: A Review[J]. Proc.     of IEEE, 1993, 81(10):1451-1465.