一、引言

　　DFT(離散傅里葉變換)作為將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域的基本運算，在各種數(shù)字信號處理中起著核心作用，其快速算法FFT(快速傅里葉變換)在無線通信、語音識別、圖像處理和頻譜分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。用大規(guī)模集成電路FPGA(現(xiàn)場可編程門陣列)來實現(xiàn)FFT算法時，需要重點考慮的不再是算法運算量，而是算法的復(fù)雜性、規(guī)整性和模塊化，因為算法的簡單性和規(guī)整性將更適合大規(guī)模集成，更方便于版圖設(shè)計，而算法的模塊化更有利于FFT處理器的靈活擴展。組合數(shù)FFT算法和CORDIC(坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計算機)算法結(jié)合起來，在計算長點數(shù)、可擴展FFT時具有較大的優(yōu)越性［1，2］。而面向高速、大容量數(shù)據(jù)流的FFT的實時處理，可以通過VLSI(超大規(guī)模集成電路)器件的并行處理或多級流水線處理等來達到。特別是多級流水線處理的FFT結(jié)構(gòu)使得基于FPGA器件的FFT處理器完成不同點數(shù)的FFT計算時可以通過增減模塊級數(shù)很容易地實現(xiàn)。

　　二、組合數(shù)N=r1r2點混合基FFT原理

　　計算N點DFT：

      式中k=0，1，…，N-1。

　　若N=r1r2的組合數(shù)，可將n(n＜N)表示為

　　

式(2)的意

義在于，計算組合數(shù)N=r1r2點DFT，等價于先求出r2組r1點的DFT，其結(jié)果經(jīng)過對應(yīng)旋轉(zhuǎn)因子的相位旋轉(zhuǎn)后，再計算r1組r2點的DFT。實際應(yīng)用中，DFT往往用它的快速算法FFT實現(xiàn)，因而式(2)中的r1點DFT和r2點DFT都用r1點FFT和r2點FFT實現(xiàn)。

　　三、可擴展FFT處理器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

　　根據(jù)式(2)的FFT算法原理設(shè)計FFT處理器的可擴展結(jié)構(gòu)如圖1所示。

　　采用流水線模塊化級聯(lián)結(jié)構(gòu)，把FFT處理器劃分成短點數(shù)FFT、級間混序RAM和相位旋轉(zhuǎn)等功能模塊，設(shè)計的各功能模塊可以重復(fù)利用，通過復(fù)用或增減各功能模塊可以靈活改變FFT處理器的計算規(guī)模，而且不增加設(shè)計量。在圖1結(jié)構(gòu)中，當(dāng)Li＝1時，就演變成了基2 FFT；當(dāng)Li＝2時，就演變成了基4 FFT；同理，當(dāng)Li≠Lj時，就演變成了高組合數(shù)的混合基FFT。

　　1.短點數(shù)FFT陣列結(jié)構(gòu)
　   

       －Tukey算法結(jié)構(gòu)實現(xiàn)時，有大量的復(fù)數(shù)乘法實際上轉(zhuǎn)化為加減運算，所以用陣列結(jié)構(gòu)實現(xiàn)不但具有速度快的優(yōu)點，而且所用器件資源也減少很多，通過對陣列結(jié)構(gòu)短點數(shù)FFT進行時分復(fù)用，可以提高運算單元的使用效率。

　　2.相位旋轉(zhuǎn)運算單元

　　實現(xiàn)短點數(shù)FFT級間相位旋轉(zhuǎn)，采用ROM存儲旋轉(zhuǎn)因子與數(shù)據(jù)復(fù)乘的傳統(tǒng)方法，不僅涉及乘法運算，而且會消耗大量存儲器資源。

　　利用CORDIC算法實現(xiàn)組合數(shù)FFT級間數(shù)據(jù)的相位旋轉(zhuǎn)，把乘法轉(zhuǎn)化成加減法運算，適合FPGA的大規(guī)模集成。可以設(shè)計出統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的CORDIC處理器模塊，重復(fù)利用于不同級間實現(xiàn)相位旋轉(zhuǎn)，而且其控制邏輯非常簡單。

　　(1)CORDIC算法原理
　　
      如果旋轉(zhuǎn)角度θ可以分解成n個小角度φi之和，即：

           公式: 

　　
　　
       (2)CORDIC處理器結(jié)構(gòu)設(shè)計

　　本文提出了一種流水線CORDIC處理器結(jié)構(gòu)的解決方案。實現(xiàn)式子(4)的迭代運算時采用補碼移位和補碼加減運算，可以減少大量求補運算，其迭代結(jié)構(gòu)如圖2所示。

       前者在于左移補零的位數(shù)的不同，這樣，只需要改變n0k0的放大倍數(shù)(改變左移低位補零的位數(shù))，就可以把同一方向向量功能模塊級聯(lián)到圖1 FFT處理器的不同級間來計算CORDIC處理器的MSBi，這就大大地減小了重復(fù)設(shè)計，其迭代結(jié)構(gòu)如圖3所示。

   
       3.RAM結(jié)構(gòu)及其級間數(shù)據(jù)混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器的設(shè)計

　　設(shè)計的RAM，每個存儲單元為32 bit，高16位為復(fù)數(shù)的實部，低16位為復(fù)數(shù)的虛部。輸入輸出數(shù)據(jù)接口用RAM設(shè)計為乒乓結(jié)構(gòu)，用兩塊相同的RAM交替讀出或交替寫入數(shù)據(jù)，這樣就放寬了對I/O操作速度的要求，使得外圍電路可以不必工作于FPGA系統(tǒng)時鐘。

　　級與級之間數(shù)據(jù)混序用RAM設(shè)計為讀/寫RAM，對RAM同一存儲單元用兩個時鐘完成一次讀/寫操作，即用流水線讀/寫同一塊RAM來實現(xiàn)級與級之間的數(shù)據(jù)混序。此結(jié)構(gòu)取代了用兩塊RAM完成數(shù)據(jù)混序的乒乓結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)方法，不涉及存儲器之間的讀寫切換，控制邏輯非常簡單，而且消耗的存儲器資源節(jié)省一半，這是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靈活擴展的高速FFT處理器的關(guān)鍵和難點?？梢酝ㄟ^理論推導(dǎo)，求得第i級FFT與第i-1級FFT級間混序用RAM的奇次讀/寫地址為

　　
的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長為Li-Li-1位；同時，后者又表示在前者的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長為Li-Li-1位，從而形成地址的循環(huán)移位規(guī)律。把Li-1=Li和Li-1FFT以及混合基FFT級間數(shù)據(jù)混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器。

　　4.8×4×2點組合數(shù)FFT處理器的實驗結(jié)果及其分析

　　我們利用FPGA實現(xiàn)的各功能模塊按圖1實現(xiàn)結(jié)構(gòu)組裝了8×4×2點組合數(shù)FFT處理器，通過仿真驗證了其設(shè)計的正確性后，又在FPGA實驗板上對它進行了硬件驗證，其實驗驗證平臺如圖4所示。

　　硬件驗證時采取的實驗方法是，用相同的抽樣頻率fs等間隔地抽取不同頻率單頻正弦信號相同點數(shù)64點，即固定FFT的頻率分辨率fr，利用設(shè)計的64點FFT處理器計算其幅度譜，觀察其幅度譜中直流分量譜線和諧波分量譜線間隔大小的變化，把實驗結(jié)果和理論分析結(jié)果進行對照，以確認(rèn)FFT處理器工作的正常與否。

　　系統(tǒng)時鐘工作在 40.861 MHz 時，抽樣頻率為 40.861/2=20.4305 MHz，抽樣周期為1/20.4305 MHz="48".9 ns，抽取64個點的時間是48.9×64＝3.13μs。因為每個采樣數(shù)據(jù)間隔時間是48.9μs，所以用設(shè)計的流水線方式工作的6

4點FFT處理器計算其幅度譜的譜線間隔也為48.9 ns。當(dāng)輸入單頻正弦信號的頻率約為638.454 kHz時，其周期為1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz頻率抽樣，3.13μs時間內(nèi)剛好在正弦信號的2個周期內(nèi)抽取64點，輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第3根譜線，其理論計算結(jié)果波形如圖5所示，實驗測試結(jié)果波形及其的局部放大波形如圖6和圖7所示。

　　從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為1μs，F(xiàn)FT變換周期間隔約為3格，即約為3μs，抽取了信號波形的2個周期，64點FFT計算時間也約為3μs。

　　輸入單頻正弦信號的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第2根譜線。由于幅度譜的譜線間隔為48.9 ns，也就是說，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns。從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為100 ns，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns，和理論分析結(jié)果一致。

　　四、結(jié)論
　　
       本文以高組合數(shù)混合基DFT算法為基礎(chǔ)，設(shè)計并用FPGA實現(xiàn)了變換點數(shù)可靈活擴展的流水線FFT處理器。輸入/輸出數(shù)據(jù)速率為20 MHz時，讀/寫RAM工作在40 MHz時鐘，計算出1 024點FFT的運算時間約為52μs。本設(shè)計采用模塊化設(shè)計結(jié)構(gòu)，便于系統(tǒng)調(diào)試和實現(xiàn)，而且各設(shè)計模塊可以重復(fù)利用，避免重復(fù)相同的設(shè)計，從而縮短芯片設(shè)計開發(fā)時間，更易于FFT處理器的結(jié)構(gòu)擴展。整個FFT設(shè)計結(jié)構(gòu)新穎，實現(xiàn)容易，具有一定實用價值。

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