摘　要： 對給定的白噪聲" title="白噪聲">白噪聲序列進行小波" title="小波">小波分解重構(gòu)" title="重構(gòu)">重構(gòu)，去除序列中的框架及近似成分；通過比較原序列與重構(gòu)序列之間自相關(guān)函數(shù)的差異是否顯著來檢驗原假設(shè)；模擬實驗對傳統(tǒng)檢驗方法與小波分析" title="小波分析">小波分析方法進行了比較，實驗表明后者有更強的檢驗效果。
　　關(guān)鍵詞： 白噪聲序列 假設(shè)檢驗" title="假設(shè)檢驗">假設(shè)檢驗 顯著水平 小波分析 自相關(guān)函數(shù)

　　白噪聲序列在應(yīng)用時間序列分析中有著重要的作用，例如在判斷為數(shù)據(jù)建立的統(tǒng)計分析模型是否合理時，對模型的殘差進行白噪聲檢驗是判別模型合理性的重要依據(jù)。另外，在信息安全領(lǐng)域，物理白噪聲在隨機數(shù)產(chǎn)生方面有重要應(yīng)用^[1]，其中包括對白噪聲序列的檢驗問題。因此，如何提高白噪聲序列的檢驗功效，值得研究。
　　由于在時、頻域同時具有良好局部化的特性，使得小波分析(也稱為多分辨分析)在很多領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用。本文應(yīng)用小波分析，通過小波分解系數(shù)的特點抑制白噪聲信號(即序列)中所含的弱相關(guān)信號或者成分來滿足檢驗功效更強的要求。實驗表明，本文提供的白噪聲序列小波分析方法與傳統(tǒng)檢驗方法相比，檢驗功效較高。
1 小波分析原理
　　下面具體介紹本文應(yīng)用Mallat快速小波變換的小波分解重構(gòu)原理^[2]：
　　設(shè){x(n),n=1,2,…，N}是所給待檢驗的序列，經(jīng)Mallat快速小波分解M層(本文小波函數(shù)選擇db3小波，M=6)后，得到M+1組數(shù)據(jù)
　　{d(1,k)},{d(2,k)},…,{d(M,k)},{a(M,k)}
　　其中{d(j,k)}表示細節(jié)成分的系數(shù)序列；j=1,2,…，M表示尺度；k=1,2，…，N/2^j表示序列長度；{a(M,k)}表示信號輪廓或近似成分(本文稱為弱相關(guān)信號或成分)。
　　白噪聲序列經(jīng)Mallat變換分解后的系數(shù)仍是白噪聲序列^[3]，并隨著分解層次的增加而迅速衰減。所以隨著層次的增加，噪聲序列的影響越來越小，而弱相關(guān)信號的影響越來越明顯。同時，在各個層次細節(jié)成分系數(shù)中也可能有弱相關(guān)成分，故對經(jīng)小波分解后的M+1組數(shù)據(jù)可以分別進行如下處理：
　　(1)將{a(M,k)}的絕對值與閾值^[4]比較，大于閾值的系數(shù)賦為零，然后按照Mallat重構(gòu)算法得到重構(gòu)序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
　　(2)對每一層的細節(jié)成分系數(shù)列{d(j,k)}進行自相關(guān)函數(shù)估計，并使用下面檢驗原理中的傳統(tǒng)檢驗方法進行假設(shè)檢驗。對于不滿足原假設(shè)H0的某層系數(shù)列值也要與閾值比較，絕對值大于閾值的系數(shù)賦為零，而其它層系數(shù)列保持不變，然后按照Mallat重構(gòu)算法得到重構(gòu)序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
　　由于(2)中計算量較大，為便于計算說明本文的原理，筆者只采用(1)中的處理方法對原序列進行小波分解重構(gòu)，并設(shè)閾值為零。
2 檢驗原理
　　本文用到的白噪聲序列均假設(shè)為WN(0，δ²)^[5]序列。
2.1 傳統(tǒng)白噪聲檢驗方法^[5]
　　傳統(tǒng)的白噪聲序列檢驗方法只針對待檢驗序列是否滿足原假設(shè)進行檢驗，即：
　　原假設(shè)H₀:{x(n)}是獨立白噪聲
　　否定假設(shè)H₁:{x(n)}是相關(guān)序列

　　是否成立，其中λ_α是給定顯著水平為α，自由度為m的χ²分布臨界值。
2.2 白噪聲檢驗小波分析方法
　　設(shè)給定的序列為{x(n),n=1,2,…,N}，經(jīng)小波變換后所得的序列為{x′(n),n=1,2,…,N}。若原序列是一獨立白噪聲，那么經(jīng)小波分解重構(gòu)后的序列也應(yīng)滿足獨立白噪聲序列條件^[3]，反映在自相關(guān)系數(shù)關(guān)系上應(yīng)大致相等，也就是說這兩個序列自相關(guān)系數(shù)之比應(yīng)十分接近1，即
　　
　　其中, {ρ_k,k=1,2,…,m}是原序列自相關(guān)系數(shù)，{ρ_k′,k=1,2,…,m}是小波分解重構(gòu)后的自相關(guān)系數(shù)。
　　根據(jù)上述分析，可以得到以下的檢驗方法：
　　原假設(shè)H₀：{x(n)}與{x′(n)}的自相關(guān)函數(shù)無顯著差異。
　　否定假設(shè)H₁：{x(n)}與{x′(n)}的自相關(guān)函數(shù)有顯著差異。
　　上面的假設(shè)檢驗表示原序列中是否含有一個趨勢信號或相關(guān)信號，所以以上假設(shè)等同于如下假設(shè)：
　　原假設(shè)H₀：{x(n)}是獨立白噪聲。
　　否定假設(shè)H₁：{x(n)}是相關(guān)序列。

3 模擬結(jié)果
　　本模擬計算中的數(shù)據(jù)來自以下AR(2)模型^[5]的N=512個觀測。
　　X_n=2βcos(θ)X_n-1-β²X_n-2+ε_n
　　對于θ=1.13和不同的β均進行300次獨立重復(fù)試驗。用p表示300次獨立重復(fù)試驗中否定H₀的比例。β=0表示觀測數(shù)據(jù)是白噪聲。本試驗取m=5, α=0.05。
　　　　　　　　β= 0 1/10 1/6
　　傳統(tǒng)檢驗　　p= 4.3% 19.1% 49.0%
　　本文檢驗　　p= 4.5% 20.1% 51.8%
　　　　　　　　β= 1/4 1/3 1/2
　　傳統(tǒng)檢驗　　p= 90.2% 100% 100%
　　本文檢驗　　p= 93.4% 100% 100%
　　不難看出，本文檢驗的效果總體上比傳統(tǒng)的要好，也就是說本文的檢驗功效比傳統(tǒng)檢驗功效高。
　　在白噪聲序列檢驗中，如果序列中有弱相關(guān)信號或成分會被淹沒在噪聲中，無法判斷這些弱相關(guān)成分是噪聲的隨機因素產(chǎn)生的，還是一種相關(guān)成分。小波分析能夠把這部分成分分離，通過比較重構(gòu)后的序列與原序列的自相關(guān)函數(shù)是否有顯著差異來判斷序列的噪聲特性。如果原序列是白噪聲序列,那么弱相關(guān)成分就是由噪聲的隨機因素產(chǎn)生的，反之就判斷為相關(guān)成分。故這種檢驗方法比傳統(tǒng)檢驗方法更有效，模擬實驗也證明了檢驗功效更高。
　　但序列的Mallat小波分解重構(gòu)過程中還有值得探討和改進的地方，例如各層系數(shù)相關(guān)成分的閾值確立及小波函數(shù)的選擇都會對檢驗效果產(chǎn)生影響，尤其是小波分解所產(chǎn)生的邊緣效應(yīng)對檢驗效果的影響還有待進一步研究。
參考文獻
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