0 引言

    在三維集成SiP（System in Package）中，硅基轉(zhuǎn)接板具有互連密度高、散熱性好及與芯片的熱機(jī)械兼容性好等方面的優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為重要的多芯片集成和芯片間互連架構(gòu)技術(shù)之一。SiP中元器件及其相互間互連集成度的日益增長容易導(dǎo)致互連結(jié)構(gòu)之間出現(xiàn)不可忽視的電磁寄生耦合與干擾，而高密度互連網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征使得解析方法很難精確地揭示這些寄生效應(yīng)和預(yù)測(cè)其對(duì)電磁信號(hào)在互連上傳輸特性的影響，因此計(jì)算電磁學(xué)方法將成為首選分析方法。

    與矩量法(Method of Moments，MOM)、有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)、傳輸線法(Transmission-Line Modeling，TLM)等計(jì)算電磁學(xué)方法相比，YEE K S^[1]于1966年首次提出的FDTD法可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域電磁波傳播的直接仿真，在計(jì)算資源的占用、媒質(zhì)參數(shù)的空間分布、目標(biāo)形狀復(fù)雜性的適應(yīng)性和算法實(shí)現(xiàn)的難易度方面具有優(yōu)勢(shì)，更適合于轉(zhuǎn)接板中2.5維、3D化互連電磁場(chǎng)的分布、傳播特性的分析。

    考慮到轉(zhuǎn)接板互連在板平面方向上可以視為二維開放性空間問題，故需要引入吸收邊界條件（Absorbing boundary condition，ABC）的概念，使得在有限大的二維網(wǎng)格空間中就能完成相應(yīng)的電磁場(chǎng)傳播行為仿真^[2]。常用的吸收邊界有：MUR G^[3]通過對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行因式分解，近似得到的二階Mur邊界；MEI K^[4]等提出的超吸收邊界；BERENGER J P^[5]通過在邊界處加入吸收材料提出的PML技術(shù)。吸收邊界條件的設(shè)定對(duì)計(jì)算結(jié)果的正確性和精確性有很大影響。

    本文以三維集成轉(zhuǎn)接板互連結(jié)構(gòu)間的電磁干擾特性分析為背景應(yīng)用，以轉(zhuǎn)接板水平互連層間的二維TE波平面?zhèn)鞑ミ@一電磁干擾常見的傳播模式為主要研究對(duì)象，分析了Mur、PML邊界條件的基本解析公式并導(dǎo)出相應(yīng)的離散算法，編制了用FDTD算法仿真二維TE波傳播的C++軟件代碼，比較了在二階Mur吸收邊界與PML吸收邊界下TE波的傳播特性以及這兩種邊界設(shè)定的有效性。

1 三維集成轉(zhuǎn)接板中TE波的傳播

    三維集成轉(zhuǎn)接板上的互連結(jié)構(gòu)如圖1所示，以下介紹用FDTD算法推導(dǎo)TE波離散數(shù)值解的簡(jiǎn)要步驟。

    二維情況下，假設(shè)所有物理量的表達(dá)式均與z無關(guān)，即=0。以二維TE波為例，在直角坐標(biāo)中麥克斯韋的旋度方程可以表示為：  

式中CA(m)、CB(m)、CP(m)、CQ(m)是介質(zhì)參數(shù)隨坐標(biāo)變化的系數(shù)。Δx與Δy為x、y坐標(biāo)方向的網(wǎng)格剖分步長，Δt為時(shí)間步長。TE波中電場(chǎng)與磁場(chǎng)網(wǎng)格在空間上的分布如圖2所示，在時(shí)間上的分布規(guī)律為：電場(chǎng)點(diǎn)分布于nΔt時(shí)刻而磁場(chǎng)點(diǎn)分布于(n+1/2)Δt時(shí)刻。

    由式(2)～式(4)可得用FDTD法計(jì)算電磁場(chǎng)的基本離散化方式：電場(chǎng)與磁場(chǎng)在時(shí)間和空間上都有半個(gè)步長之差，任意時(shí)刻，某網(wǎng)格點(diǎn)處的電（磁）場(chǎng)量值不僅與前一時(shí)刻的電（磁）場(chǎng)量值有關(guān)，而且與前1/2Δt時(shí)刻與空間上相鄰點(diǎn)的磁（電）場(chǎng)值有關(guān)。

    考慮到計(jì)算機(jī)的有限內(nèi)存，用FDTD法求解電磁場(chǎng)時(shí)要將求解區(qū)域限定在有限空間內(nèi)，這就要在截?cái)噙吔缣幪砑游者吔?，以下是?duì)Mur與PML兩種吸收邊界原理的簡(jiǎn)單敘述。

1.1 Mur吸收邊界條件

    Mur邊界條件是根據(jù)EM^[6]（Engquist-Majda）吸收邊界推導(dǎo)所得的，對(duì)行波因子進(jìn)行分解后的展開式有多階，通過理論分析判別得到：一階與二階的吸收邊界是良態(tài)的，更高階的吸收邊界是病態(tài)的^[6]。一階近似Mur吸收邊界雖簡(jiǎn)單易行,但直角坐標(biāo)系下的Yee網(wǎng)格劃分在角區(qū)域存在較大誤差^[7]，所以本文中用二階Mur邊界條件。若所計(jì)算的區(qū)域是矩形0≤x≤a，0≤y≤b，那么就存在四個(gè)截?cái)噙吔纭?/p>

    如圖3所示，以左截?cái)噙吔鐇=0處的吸收邊界條件為例：

    同理可推導(dǎo)出其余三個(gè)邊界處吸收邊界的離散式。

    其余3個(gè)拐點(diǎn)附近的磁場(chǎng)值可通過替換式(9)中相應(yīng)的坐標(biāo)得到。

1.2 PML吸收邊界條件

    PML技術(shù)通過在FDTD區(qū)域截?cái)噙吔缣幵O(shè)置一種特殊介質(zhì)層，使得該介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)的波阻抗完全匹配，這樣入射波將會(huì)無反射地穿過分界面而進(jìn)入PML^[8]。PML邊界參數(shù)設(shè)置如圖5所示，圖中PML區(qū)域的參數(shù)必須滿足阻抗匹配條件式(10)，右上角介質(zhì)層的網(wǎng)格劃分如圖6所示。

    由于電磁波在PML介質(zhì)中衰減得很快，因此在PML區(qū)域中要使用指數(shù)差分對(duì)式(11)進(jìn)行離散，所得PML區(qū)的計(jì)算公式為：

    同理根據(jù)式(10)可得出磁導(dǎo)率的變化公式。

    PML邊界的吸收性能主要受吸收層厚度及垂直波反射率的影響。理論上說，增大PML吸收層數(shù)N會(huì)使計(jì)算結(jié)果更加精確，但這會(huì)增大計(jì)算開銷；垂直波反射率R(0)越小則計(jì)算結(jié)果的精度越高。

    在文獻(xiàn)[6]中,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明N=4的情況下，最優(yōu)取值為n=2，R(0)=0.001％。

    Mur與PML邊界都是吸收效果較好且較常用的算法，對(duì)邊界處的波都有比較明顯的吸收效果，但對(duì)不同的應(yīng)用背景選擇的吸收邊界條件也不同。

2 基于C++編程的仿真分析

2.1 仿真參數(shù)設(shè)置

    在x軸與y軸方向分別對(duì)轉(zhuǎn)接板上的水平互連結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格剖分，設(shè)其長度為L，寬度為W，簡(jiǎn)化圖如圖7所示。用FDTD法仿真不同吸收邊界條件下TE波在三維集成轉(zhuǎn)接板上傳播的流程圖如圖8所示。

    如圖9所示，設(shè)置100×100網(wǎng)格的自由空間作為驗(yàn)證算例，添加PML吸收邊界時(shí)在四周各添加10個(gè)網(wǎng)格作為介質(zhì)層。為了觀察不同吸收邊界的吸收性能，相應(yīng)設(shè)置了由1 200×1 200網(wǎng)格自由空間構(gòu)成的參考算例，并在四周設(shè)置PEC邊界。自由空間較大使得反射波在600?駐t后不會(huì)返回到取樣點(diǎn)，則參考算例中取樣點(diǎn)的場(chǎng)可作為參考場(chǎng)。

    在驗(yàn)證算例和參考算例的中心位置放置微分高斯脈沖源（如式(19)）用于激發(fā)整個(gè)空間場(chǎng)，示意圖如圖10所示。

式中，τ=10Δt，代表高斯脈沖的寬度；t₀=30Δt，脈沖在t=t₀到峰值。時(shí)間步長Δt=max(Δx)/c，空間步長為max(Δx)=λ_min/20，其中，c是自由空間中的光速，λ_min是各種介質(zhì)中最小波長，λ_min=10^-2 m，空間步長Δx=0.5 mm，時(shí)間步長Δt=1.666 7 fs。

2.2 誤差函數(shù)分析

    為了檢測(cè)吸收邊界條件的有效性，需要考慮加入吸收邊界后某點(diǎn)的磁場(chǎng)值與對(duì)應(yīng)參考算例磁場(chǎng)值大小之間的差異。將觀察點(diǎn)設(shè)置于點(diǎn)P(119，70)，引入誤差函數(shù)式（20），通過計(jì)算P點(diǎn)場(chǎng)值的誤差，可以直觀判斷哪種吸收邊界條件更為合適。

    從圖11中可以看出，加入PML吸收邊界條件后，誤差函數(shù)的變化曲線幾乎一直保持比較穩(wěn)定的狀態(tài)，沒有突變，最大誤差仍然在-100 dB以下。加入Mur吸收邊界條件后誤差曲線在時(shí)間步為300～350及575～580內(nèi)變化劇烈，吸收性能不穩(wěn)定。這表明二維TE波中PML邊界的吸收性能比Mur吸收邊界更穩(wěn)定。

2.3 等相位線分析

    圖12所示為加入Mur吸收邊界條件。從圖12（a）和圖12（b）可以看出：加入PML吸收邊界后等相位線呈現(xiàn)同心圓分布，且可以在足夠長的迭代時(shí)間內(nèi)不發(fā)生數(shù)值發(fā)散。加入Mur吸收邊界以后，等相位線不是完整的同心圓分布，波傳播到網(wǎng)格最外層出現(xiàn)了邊界反射。因此從等相位線的角度出發(fā)，可以認(rèn)為PML邊界設(shè)置可以較好地吸收邊界處的波而幾乎不發(fā)生反射。

    根據(jù)仿真分析，不同的邊界條件有各自的優(yōu)缺點(diǎn)：

    (1)Mur吸收邊界條件：吸收性能相對(duì)較差，算法原理相對(duì)簡(jiǎn)單，所需的內(nèi)存較少。

    (2)PML吸收邊界條件：在合理的參數(shù)設(shè)置下吸收性能較好，但是采用分裂場(chǎng)的形式會(huì)占用較多的內(nèi)存。

    綜上所述：加入PML吸收邊界后，等相位線呈同心圓分布，誤差函數(shù)呈穩(wěn)定狀態(tài)，并且波在傳播過程中基本沒有明顯的邊界反射現(xiàn)象。這說明在處理三維集成轉(zhuǎn)接板互連結(jié)構(gòu)中的電磁干擾等相關(guān)問題時(shí)，PML吸收邊界條件具有較良好的吸收效果。

3 結(jié)論

    本文針對(duì)三維集成轉(zhuǎn)接板水平互連結(jié)構(gòu)間基于FDTD算法的TE電磁波傳播仿真的邊界條件設(shè)置問題進(jìn)行了分析與驗(yàn)證。對(duì)二階Mur邊界與PML邊界這兩種吸收邊界在電磁仿真中吸收電磁波的性能進(jìn)行了分析比較。結(jié)果表明加入Mur吸收邊界條件雖算法簡(jiǎn)單、內(nèi)存占用較少，但吸收效果顯然不如PML吸收邊界。加入PML吸收邊界使結(jié)果更加穩(wěn)定且不會(huì)產(chǎn)生數(shù)值發(fā)散，提高了計(jì)算結(jié)果的精度，可以作為工程中對(duì)三維集成轉(zhuǎn)接板電磁傳播問題進(jìn)行仿真求解的常規(guī)邊界條件設(shè)置。

參考文獻(xiàn)

[1] YEE K.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell′s equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14(3)：302-307.

[2] 閆淑輝.基于時(shí)域有限差分(FDTD)法的通用電磁仿真軟件設(shè)計(jì)[D].成都：電子科技大學(xué)，2003.

[3] MUR G.Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1981，EMC-23(4)：377-382.

[4] MEI K，F(xiàn)ANG J.Superabsorption-a method to improve absorbing boundary conditions[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(9)：1001-1010.

[5] BERENGER J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics，1994，114：185-200.

[6] ENGQUIST B，MAJDA A.Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves[J].Mathematics of Computation，1977，31(139)：629-651.

[7] 張清河.時(shí)域有限差分(FDTD)法中的吸收邊界條件[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科版)，2004(5)：464-466，474.

[8] 施亞妮，李麗娟.FDTD方法吸收邊界條件的研究及應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)仿真，2008(7)：113-116，148.

作者信息:

張?jiān)葡?，繆  旻1，2，胡變香1，韓  波3，李振松1

(1.北京信息科技大學(xué) 信息微系統(tǒng)研究所，北京100101；

2.北京大學(xué) 微米/納米加工技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100871；

3.電信科學(xué)技術(shù)研究院有限公司 無線移動(dòng)創(chuàng)新中心，北京100080)