0 引言

    隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，大量的非線性負(fù)載和電力電子設(shè)備被應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，這提高了生產(chǎn)效率，促進(jìn)了生活便利，但同時也對電網(wǎng)造成了巨大的諧波污染。另一方面，隨著新能源在電力系統(tǒng)中的迅速發(fā)展，各種分布式的電源也相繼產(chǎn)生，比如太陽能發(fā)電、風(fēng)力發(fā)電以及地?zé)崮艿?，這些新能源的發(fā)電設(shè)備并網(wǎng)運行時，同樣也給電力系統(tǒng)帶來了一系列諧波污染，因此諧波污染治理也越發(fā)重要^[1]。諧波污染治理的性能很大程度上又受到諧波檢測環(huán)節(jié)的影響，這就要求諧波檢測過程必須要具備兩個特點：實時性強、準(zhǔn)確度高^[2]。電力系統(tǒng)中常用的諧波檢測的方法主要有傅里葉變換^[3]、小波變換^[4]和希爾伯特-黃變換^[5]等。在治理諧波污染時性能表現(xiàn)不佳，分別體現(xiàn)在易產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)、算法計算量過大和不具有自適應(yīng)性以及容易產(chǎn)生模態(tài)混疊效應(yīng)和負(fù)頻率。

    近年來，Prony算法因其具有高頻率分辨率和高頻率估計精度，在電力系統(tǒng)中獲得了越來越多的關(guān)注。但是，Prony算法對于噪聲較為敏感，易受噪聲信號的影響。電網(wǎng)系統(tǒng)中包含著大量的高斯噪聲，因此如何能夠降低噪聲對模型辨識的影響成為了一個難點。文獻(xiàn)[6]提出了Prony算法與小波分析相結(jié)合的方法，先通過小波函數(shù)對擾動信號進(jìn)行分解，然后利用改進(jìn)的Prony算法對穩(wěn)態(tài)擾動問題進(jìn)行參數(shù)辨識，雖然提高了辨識精度，但是該算法過于依賴對小波基的選擇，濾波效果并不理想。文獻(xiàn)[7]提出了將SVD濾波技術(shù)與Prony算法相結(jié)合的方法，該方法利用SVD的特性濾除噪聲信號，其次利用Prony算法對信號進(jìn)行處理，但是SVD濾波處理過程中太過依賴奇異值有效階次的判斷，同樣不具備自適應(yīng)性。

    本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種基于SVD的改進(jìn)濾波算法，能夠精確地找到電網(wǎng)信號中諧波及間諧波信號分量的階次，同時濾除電網(wǎng)信號中的噪聲信號，只留下“純凈的”電網(wǎng)信號。根據(jù)濾波后的電網(wǎng)信號以及諧波及間諧波信號階數(shù)，利用一種改進(jìn)的Prony算法，結(jié)合線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，計算出信號的頻率、相位和幅值。研究結(jié)果表明，算法對于諧波信號的檢測精確度極高，同時由于所需的采樣數(shù)據(jù)長度小，實時性也較強，能夠很好地滿足實時性和準(zhǔn)確度的要求。

1 電網(wǎng)信號模型

    電網(wǎng)信號主要包含基波各次諧波、間諧波以及各種噪聲信號，因此可以通過以下數(shù)學(xué)表達(dá)式來建立模型：

式中，w_i=2πf_i，p為諧波和間諧波個數(shù)，A_i、f_i、θ_i分別表示第i個諧波或間諧波信號的幅值、頻率和相位，而ω(n)則表示電網(wǎng)系統(tǒng)中的噪聲信號。

    根據(jù)電網(wǎng)的特性，除了基波分量以外，奇次諧波分量對電網(wǎng)的影響所占權(quán)重較大，本文主要選取了奇次諧波中影響較大的3次、5次以及7次諧波作為電網(wǎng)信號的模型^[8]；間諧波主要存在于諧波附近，易受諧波信號影響。因此，本文基于諧波信號選擇了3個間諧波信號。諧波檢測算法的作用是對式(1)的正弦信號進(jìn)行參數(shù)辨識，得到各個諧波和間諧波信號的特性參數(shù)，本文所提算法正是基于此電網(wǎng)信號模型。

2 算法實現(xiàn)

2.1 基于SVD的改進(jìn)濾波算法

    電網(wǎng)信號模型為x(i)=s(i)+w(i)(i=1，2，…，N)。將接收到的電能信號序列x=[x₁，x₂，…，x_N]構(gòu)造成如下的Hankel矩陣的形式：

其中，當(dāng)N為偶數(shù)時，n=N/2，m=N/2+1；當(dāng)N為奇數(shù)時n=(N+1)/2，m=(n+1)/2。

完成對信號序列的Hankel矩陣X的構(gòu)造以后，對X進(jìn)行奇異值分解，可得到：

    信號的完備空間可以劃分為信號子空間和噪聲子空間，并且它們之間相互正交。在奇異值分解理論中，奇異值的前k個值對應(yīng)著信號子空間分量，后q-k個奇異值則對應(yīng)著噪聲子空間分量。因此，稱k為信號的有效階次。

    信號分解的奇異值序列的分布具有其特點：在有效階次k之前，奇異值內(nèi)部差異都相對較小，變化也比較平緩；而在第k+1個奇異值處，奇異值序列出現(xiàn)明顯的階躍式下降；之后奇異值序列的變化再次趨于平緩，不存在明顯波動^[9]。如果將獲得的奇異值序列看作一個信號序列，根據(jù)奇異值序列的這種特性尋找到相應(yīng)的突變點作為奇異點，那么這個突變點的位置就是原信號中有效階次。

    對于電網(wǎng)信號來說，在確定有效階次為k后，如果k的值過小，雖然大部分噪聲信號都被濾除，但是大量的電能信號也已丟失；如果k的值過大，電能信號雖保持完整，但是噪聲信號未能得到很好的濾除，干擾仍較大。因此，如何更好地確定有效階次對于濾波的效果至關(guān)重要。本文在結(jié)合對電網(wǎng)信號的特性分析以及奇異值分解理論后，提出一種奇異點輔助算法，根據(jù)奇異值增長率的變化，確定奇異值突變點，輔助確定奇異值的有效階次。奇異值增長率公式為：

式中，σ_i為第i個奇異值，η_i為第i+1個奇異值同比上一個奇異值的下降率。通過對η_i大小的比較，選擇η_i最大的i處作為奇異點位置。

    對矩陣X進(jìn)行奇異值分解之后，利用式(6)對信號進(jìn)行重構(gòu)：

2.2 改進(jìn)的Prony-ADALINE算法

    Prony算法是一種使用指數(shù)函數(shù)的線性組合來描述等間距采樣數(shù)據(jù)的理論，可以用來估計有理式功率譜密度^[10]。傳統(tǒng)的算法采用的數(shù)學(xué)模型為p個具有任意幅值、相位、頻率與衰減因子的指數(shù)函數(shù)，本文的信號為正弦信號，因此，采樣Prony譜線估計算法^[11]，其數(shù)學(xué)模型為p個實的、無衰減的正弦信號。

2.2.1 Prony譜線估計算法

    Prony譜線估計算法的數(shù)學(xué)模型用離散時間的函數(shù)表示為：

    本文改進(jìn)的算法主要包括以下步驟：

    (1)定義樣本函數(shù)(10)，根據(jù)濾波處理后的信號以及得到的信號的有效階次k(即特征多項式中2p=k)，利用樣本函數(shù)構(gòu)建樣本矩陣，并通過樣本矩陣構(gòu)建法方程(11)：

2.2.2 ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

    ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種結(jié)構(gòu)較為簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)信號處理領(lǐng)域，對于電網(wǎng)信號中的諧波和間諧波信號分析也同樣適用。ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，它的最大優(yōu)勢就是不需要事先對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行大量訓(xùn)練，同時它還具有分析精度高、收斂速度快這一突出特點，因此可以做到對電網(wǎng)信號中的諧波和間諧波信號成分的實時分析。

    根據(jù)三角函數(shù)的特點，對式(8)進(jìn)行三角恒等變換，得到式(13)：

    基于ADALINE模型的檢測原理圖如圖1所示，分為輸入層、求和層和輸出層。其中輸入信號X(n)= [ cos(2πf₁n)，sin(2πf₁n)，…，cos(2πf_pn)，sin(2πf_pn)]，輸入神經(jīng)元數(shù)即等于有效階次2p。對應(yīng)的權(quán)系數(shù)為W(n)=[a₁，b₁，…，a_p，b_p]^T。輸入信號與權(quán)系數(shù)相乘，經(jīng)過求和層，得到單個的輸出向量y(n)。權(quán)值更新算法自動更新權(quán)系數(shù)W(n)，使之不斷收斂到穩(wěn)態(tài)階段，這時的權(quán)系數(shù)即為逼近式(13)中的系數(shù)，實現(xiàn)諧波及間諧波的幅值、相位檢測。

    該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基本特點可總結(jié)為如下三個方面：

    (1)可以根據(jù)變化著的輸入和目標(biāo)輸出實現(xiàn)實時在線訓(xùn)練；

    (2)應(yīng)用自適應(yīng)在線算法調(diào)整各權(quán)值大?。?/p>

    (3)結(jié)構(gòu)簡單，便于硬件實現(xiàn)。

3 仿真分析

    實際電網(wǎng)中，電網(wǎng)信號相對比較復(fù)雜，包含了眾多的諧波、間諧波以及噪聲信號等。本節(jié)主要對電網(wǎng)電壓信號進(jìn)行仿真并分析，建立的信號模型的表達(dá)式如式(14)所示，通過利用MATLAB軟件對信號進(jìn)行仿真分析，用以分析和驗證本文所提算法應(yīng)用在諧波檢測的性能。

式中，ω(t)為加在諧波信號上的噪聲，信噪比為30 dB，各個諧波以及間諧波的具體參數(shù)如表1所示。本次信號采樣點個數(shù)為400，采樣頻率為1 500 Hz，采樣時間為0.27 s。

3.1 濾波算法性能分析

    對于采樣的電網(wǎng)信號，根據(jù)式(2)構(gòu)造Hankel矩陣X，對其進(jìn)行奇異值分解，得到奇異值序列σ。根據(jù)本文提出的奇異值輔助算法，通過對奇異值序列的運算，得到如圖2所示的奇異值增長率曲線。

    圖2中橫坐標(biāo)表示的為奇異值序列，縱坐標(biāo)為根據(jù)輔助算法計算出的奇異值增長率。由圖2可知，奇異值增長率在橫坐標(biāo)為0～14區(qū)間變化較大；在超過14后，增長率降低，接近于0，變化趨于穩(wěn)定。這是因為各次諧波分量的能量差距較大導(dǎo)致。增長率在奇異值序列為2時達(dá)到80%以上，是由于基頻信號與其他諧波成分能量相差過大。當(dāng)奇異值序列取值為14時，此時的增長率接近于1，達(dá)到最大值。對比數(shù)據(jù)可知，該處即為有效階次，通過該輔助算法確定的有效階次與實際的完全一致。

    根據(jù)已經(jīng)得到的奇異值的有效階次，對信號進(jìn)行SVD濾波處理，濾波結(jié)果如圖3所示。圖3中分別是未加噪聲的原始諧波信號、加噪聲的諧波信號以及SVD濾波后的諧波信號的局部波形圖。

    從圖3中原始信號、包含噪聲信號以及濾波后信號的對比可看出，濾波后的信號波形幾乎與原始信號完全重合。這是因為本文提出的算法能夠準(zhǔn)確地確定信號的有效階次，進(jìn)而能夠有效濾除噪聲成分，降低噪聲對諧波檢測算法影響的同時，又沒有損失信號中的有效成分，為Prony譜線估計算法提供了一個“純凈”的電能信號。

3.2 諧波檢測算法性能分析

    為了驗證本文方法的有效性，通過采樣本文所提算法與文獻(xiàn)[12]中的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)+改進(jìn)Prony算法進(jìn)行對比，其中，算法1為本文算法，算法2為文獻(xiàn)中所提算法。兩種算法對于信號特性參數(shù)中頻率的估計結(jié)果如表2所示，對于幅值和相位特性參數(shù)的估計則通過圖4以相對誤差的形式給出。

    表2是兩種算法對于電網(wǎng)信號對頻率估計的計算數(shù)值結(jié)果，兩種算法對于諧波分量的頻率估計誤差已經(jīng)很小，接近實際頻率值，估計精確度極高。其中在對于間諧波分量的頻率進(jìn)行計算時發(fā)現(xiàn)，算法2在對于1.3次間諧波的頻率進(jìn)行計算時，計算值與實際參數(shù)值相差0.093 4 Hz，而算法1的計算值與實際參數(shù)值誤差則僅為0.000 8 Hz，在3.3次間諧波分量處算法2的計算誤差同樣遠(yuǎn)大于算法1，而在6.4次間諧波處兩種算法的計算誤差逐漸降低，趨于平緩。

    圖4表示的是兩種算法對于幅值和相位這兩個參數(shù)計算數(shù)值的相對誤差。由圖可知，算法1對于幅值的計算在1.3以及3.3次諧波處的相對誤差遠(yuǎn)小于算法2的相對誤差，且計算結(jié)果滿足文獻(xiàn)[13]中規(guī)定的A類測量儀器要求的相對誤差小于5%。在對于相位計算過程中，算法1計算的相對誤差最高也僅為1.5%，檢測精確度比算法2更高。

4 結(jié)論

    本文針對Prony算法對噪聲信號敏感的問題，提出了一種基于SVD改進(jìn)算法。采用了自適應(yīng)的輔助算法幫助奇異值序列找到有效階次，替代了傳統(tǒng)的奇異值曲線以及奇異熵增量等經(jīng)驗性的方法，更好地濾除噪聲信號。同時，基于有效階次，將SVD更好地與Prony算法結(jié)合在一起，使用簡單的線性方程組的求解去替代最小二乘法，降低了算法運算量。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真驗證，仿真結(jié)果表明該方法準(zhǔn)確、有效，具有一定的工程應(yīng)用價值。

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作者信息:

應(yīng)  俊1，2，朱云鵬1，2，賀  超2

(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶400065；2.重慶郵電大學(xué) 光通信與網(wǎng)絡(luò)重點實驗室，重慶400065)