0  引言

隨著大數(shù)據(jù)、云計算等技術的迅猛發(fā)展，聚類分析已成為數(shù)據(jù)挖掘的主要研究手段之一。為符合人類的認知，研究員將模糊集理論引入聚類分析中，提出了模糊C均值聚類算法(Fuzzy C-means Clustering Algorithm，F(xiàn)CM)。經典FCM 算法由于是一種局部最優(yōu)搜索算法，存在對初始聚類中心敏感、易于陷入局部最優(yōu)解的缺陷，限制了算法的應用^［1-2］。因此，學者嘗試通過各種智能算法對經典FCM 算法進行改進。粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)作為群體智能算法的代表，依靠個體之間的簡單交互作用在群體內自組織搜索，具有很強的學習能力和適應性^［3］。一些學者利用PSO算法克服傳統(tǒng)FCM算法的缺陷，將PSO算法與FCM算法融合已成為近年來的研究熱點^［4］。

文獻［5］針對FCM算法用于高維數(shù)據(jù)樣本聚類時效果較差的不足，提出一種基于粒子群的FCM聚類算法。該算法在滿足FCM算法對隸屬度限制條件的前提下，根據(jù)樣本與聚類中心間距離重新分布了隸屬度，并通過比較樣本與各聚類中心距離加速最優(yōu)粒子收斂。文獻［6］對初始聚類中心和模糊加權指數(shù)進行粒子編碼，通過粒子群優(yōu)化算法搜索最優(yōu)的適應度值及模糊加權指數(shù)，經人工數(shù)據(jù)集與UCI數(shù)據(jù)集實驗，證明該方法比傳統(tǒng)的FCM算法和粒子群聚類算法的聚類準確性和穩(wěn)定性都有提高。文獻［7］將基于直覺模糊的粒子群算法（IFPSO）和FCM算法混合，利用猶豫度屬性參數(shù)尋找目標函數(shù)與聚類中心的相似性，對高維數(shù)據(jù)集進行聚類分析取得較好效果。文獻［8］提出一種基于慣性指數(shù)權重的粒子群聚類算法（ACL-PSO）。將改進的PSO算法與FCM算法相結合，改善FCM算法易于陷入局部最優(yōu)解的缺陷，對UCI數(shù)據(jù)庫中標準數(shù)據(jù)集進行測試，結果顯示了該算法的有效性。 

為克服FCM算法缺陷，提高聚類質量，本文對基本粒子群聚類算法進行改進，并與FCM算法結合，提出了一種改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類算法（Improved Fuzzy C-mean Clustering Algorithm Based on Particle Swarm Optimization，IFCM-PSO）。首先通過選擇合理的粒子初始化空間，降低對初始聚類中心的敏感度，提高收斂速度；其次通過優(yōu)化參數(shù)粒子運動最大速度以及引入環(huán)形拓撲結構的鄰域，解決粒子群聚類算法易早熟收斂的缺陷。選取UCI 數(shù)據(jù)庫中3 個真實數(shù)據(jù)集IRIS、WINE和Breast Cancer Wisconsin (BCW)進行仿真實驗，以驗證該算法的有效性。

1  模糊C均值聚類算法（FCM）

分為L個類簇的數(shù)據(jù)樣本集合 X = {x₁,x₂,…,x_n} ∈ R^p，n為樣本個數(shù)，p為樣本空間維數(shù)，L介于2~n之間。FCM算法采用誤差平方和函數(shù)作為目標函數(shù)，其定義式為：

其中，d_ij=||x_j－v_i為||樣本與聚類中心間距離，通常為歐式距離；m為模糊加權指數(shù)；u_ij表示數(shù)據(jù)集X 中的第j個樣本對第i類的隸屬程度（0<u_ij<1）；v_i表示各個聚類中心。

隸屬度uij應滿足約束條件： 

FCM算法是以誤差平方和為準則函數(shù)的一種逐點迭代聚類算法。通過式(2)和式(3)迭代計算隸屬度矩陣U和聚類中心V，使目標函數(shù)J（U，V）的取值不斷減小。當準則函數(shù)會聚時，獲得數(shù)據(jù)樣本的最終聚類結果，即模糊劃分后的隸屬度矩陣U和聚類中心V。

2  基本粒子群聚類算法

2.1 粒子群優(yōu)化算法

在粒子群優(yōu)化算法中，每個粒子s_i抽象為一個個體，種群就是由這些粒子構成的，所求問題的解就是粒子在空間中的最優(yōu)位置。在每次迭代計算過程中，根據(jù)所有粒子的適應值評價每個粒子的極值當前最優(yōu)位置p_i和群體全局最優(yōu)位置g。依靠兩個位置極值，粒子更新其移動速度和位置，直至收斂到空間位置的最優(yōu)解。

目前普遍采用的粒子速度和位移更新形式為：

其中，c₁、c₂為學習因子，一般取c₁ = c₂；r₁、r₂是［0，1］之間的隨機數(shù)；w為慣性權重，取值限定在［w_min，w_max］之間。在迭代過程中，慣性權重通常采用線性遞減方式由最大值變?yōu)樽钚≈?，即?/span>

其中，iter為當前迭代次數(shù)，iter_totle為最大迭代次數(shù)。

2.2 FCM-PSO算法

為了實現(xiàn)傳統(tǒng)聚類方法缺陷的突破，研究人員嘗試將粒子群優(yōu)化算法與傳統(tǒng)聚類算法相結合，通過PSO算法的全局尋優(yōu)能力和分布式隨機搜索特性解決傳統(tǒng)聚類算法易陷入局部最優(yōu)和對初值敏感的問題。將聚類作為一種優(yōu)化問題實現(xiàn)對數(shù)據(jù)集的近似最優(yōu)劃分?；玖Ｗ尤壕垲愃惴ǖ牧鞒倘缦拢?/span> 

（1）給定聚類的數(shù)目，初始化聚類中心矩陣，并賦值給各個粒子，隨機產生粒子的初始速度。 

（2）對每個粒子計算隸屬度，更新所有的聚類中心，計算各個粒子的適應值，更新個體極值。 

（3）根據(jù)各個粒于的個體極值，找出全局極值和全局極值位置。 

（4）根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的速度公式更新粒子的速度，并把它限制在最大速度內。 

（5）根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的位置公式更新粒子的位置。

（6）若不滿足終止條件，返回步驟（2）繼續(xù)迭代計算；若滿足終止條件，則輸出最優(yōu)粒子的位置即最優(yōu)分類中心矩陣。

目前，將FCM算法與PSO算法相融合的聚類算法（Fuzzy C-Mean Clustering Algorithm Based on Particle Swarm Optimization，F(xiàn)CM-PSO）已成為基本粒子群聚類算法的一種主要研究形式^［9］。該方法將每個粒子表示為一種聚類中心的選取方式，應用FCM算法的目標函數(shù)計算各粒子的適應值，作為對應聚類中心聚類效果的評判依據(jù)，算法收斂后輸出粒子的全局最優(yōu)位置，即最優(yōu)聚類中心。

3  改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類算法

3.1 粒子群聚類算法的改進

（1）PSO算法通常將粒子初始值均勻分布于［0，1］之間，而非在粒子的最優(yōu)解的附近空間，這將使粒子搜尋最優(yōu)解的迭代時間增加，聚類的效果變差^［10］。本文將樣本聚類中心作為種群個體，因此粒子的最優(yōu)解空間即為樣本的分布空間。將粒子的初始位置隨機分布于取值范圍［X_min，X_max］，X_min、X_max分別為樣本每維最小值和最大值組成的向量。這樣初始化的粒子在接近最優(yōu)解的搜索空間開始進化運算，可有效縮短收斂時間，提高聚類質量。

（2）最大速度vmax決定粒子在一次迭代計算中的最大移動距離，vmax過大則易使粒子錯過最優(yōu)解，過小則會使粒子易陷入局部最優(yōu)解。因此，通常將粒子最大速度設為一個常數(shù)。然而，在樣本各維取值存在較大量綱差異時，由于各維空間取值范圍不同，將粒子的vmax在樣本各維空間均設定為一個常數(shù)，顯然易出現(xiàn)錯過最優(yōu)解或陷入局部最優(yōu)解的情況，結果影響算法的全局收斂性。本文對粒子在樣本空間每一維都定義一個最大速度，最大速度vmax根據(jù)樣本每維變化的取值范圍設定。

其中，λ為常數(shù)。

（3）在實際應用中，PSO算法仍易出現(xiàn)早期迭代震蕩及早熟收斂的情況。因此，研究人員嘗試使用局部鄰居的概念，將鄰域也作為粒子進化的一個調節(jié)源，降低早熟收斂情況的發(fā)生概率。 

在PSO算法中，粒子群的信息共享范圍即為粒子的鄰域拓撲結構。環(huán)形鄰域拓撲結構使用局部鄰居的概念，每個粒子只與最近的鄰居溝通，較好地協(xié)調粒子本身和群體之間的關系。本文通過引入環(huán)形拓撲結構鄰域改善PSO聚類算法性能。在初始階段，鄰域就是每個粒子自身，隨迭代次數(shù)增加，每個粒子只與最近鄰居溝通，鄰域逐步擴展到包含所有粒子^［11］。新的速度更新策略調整為：

其中，p_l為粒子鄰域極值。

3.2 改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類

綜上分析，本文提出的IFCM-PSO算法將聚類中心作為種群中粒子的位置，將FCM算法目標函數(shù)作為適應函數(shù)，終止條件為最優(yōu)粒子目標函數(shù)適應值變化量小于閾值或迭代次數(shù)達到設定值itertotle，算法歸納如下： 

（1）設定聚類初始參數(shù)：聚類數(shù)，種群數(shù)，最大速度系數(shù)，迭代誤差。 

（2）在取值范圍［Xmin，Xmax］內初始化聚類中心矩陣，并賦值給各粒子。 

（3）根據(jù)式(1)計算初始種群中每個個體的適應值。 

（4）根據(jù)公式(9)計算粒子移動速度，根據(jù)公式(6)更新粒子的位置。

（5）計算種群中個體粒子的適應值,若滿足終止條件, 則將粒子全局最優(yōu)位置作為最優(yōu)解輸出；否則返回步驟（3）繼續(xù)迭代計算。

4  實驗與結果分析

為了驗證算法的性能，選擇來自機器學習數(shù)據(jù)庫UCI中的3個真實數(shù)據(jù)集進行實驗，分別為IRIS、WINE和Breast Cancer Wisconsin(BCW)。以上3個數(shù)據(jù)集經常被用于測試聚類算法的有效性，數(shù)據(jù)集的詳細信息如表1所示。

表 1  數(shù)據(jù)集信息

4.1 算法有效性測試

對選擇的3個數(shù)據(jù)集分別采用FCM算法、FCM-PSO算法以及本文的IFCM-PSO算法進行聚類仿真實驗。實驗參數(shù)為：FCM-PSO算法的粒子種群數(shù)為20，最大迭代次數(shù)為500，最優(yōu)解改變量閾值為0.001；IFCM-PSO算法的粒子種群數(shù)為20，允許的最大速度系數(shù)λ=0.15,最大迭代次數(shù)為100，最優(yōu)解改變量閾值為0.001。數(shù)據(jù)集分別對3種算法進行10次仿真運算，各指標為10次計算的平均值,聚類結果如表2所示。

表 2  數(shù)據(jù)集聚類結果

由表2可知，對3個數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法迭代次數(shù)最少，表明收斂最快，但由于自身算法的缺陷使得聚類準確率較差；FCM-PSO算法對IRIS和BCW兩個數(shù)據(jù)集的聚類準確率較FCM算法高，但在3種算法中迭代次數(shù)最多，收斂速度最慢；本文的IFCM-PSO算法對3個數(shù)據(jù)集在迭代100次后均獲得了最高的準確率，表明該算法在聚類速度和準確率方面的綜合性能最好。

4.2 算法結果分析

對應3個數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法、FCM-PSO算法和IFCM-PSO算法各選取與聚類結果平均值最接近的一次聚類運算目標函數(shù)迭代曲線進行分析，目標函數(shù)值迭代曲線如圖1所示。

圖 1  目標函數(shù)值迭代曲線圖

由圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)，對IRIS數(shù)據(jù)集聚類時，F(xiàn)CM算法函數(shù)值下降迅速，很快收斂；FCM-PSO算法目標函數(shù)值在迭代100次后仍震蕩，未見明顯收斂；而IFCM-PSO算法由于初始化取值接近最優(yōu)解，收斂較快，目標函數(shù)值最小。

圖1（b）顯示，對WINE數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法很快收斂，F(xiàn)CM-PSO算法迭代約30次后收斂，但目標函數(shù)未見明顯下降，表明出現(xiàn)早熟收斂；IFCM-PSO算法在迭代100次后基本收斂，目標函數(shù)值與FCM算法目標函數(shù)值接近。 

圖1（c）顯示對Breast Cancer Wisconsin數(shù)據(jù)集雖然FCM-PSO算法和本文的IFCM-PSO算法均出現(xiàn)震蕩，但最終本文的IFCM-PSO算法震蕩幅度較小，收斂效果更好。 

通過以上3種算法對應3個數(shù)據(jù)集的目標函數(shù)曲線比較可以發(fā)現(xiàn)：本文的IFCM-PSO聚類算法由于在聚類初始化取值、最大速度取值方面進行了改進，并引入了環(huán)形鄰域輔助進化，使該算法有效克服了FCM算法對初始值敏感、易陷入局部最優(yōu)解及基本粒子群聚類算法迭代初期震蕩、早熟收斂的問題，因而獲得了最好的聚類效果。

5  結束語

本文針對模糊C均值聚類算法存在的主要問題，利用改進的粒子群聚類算法，提出了一種基于粒子群優(yōu)化的模糊C均值聚類算法。通過對粒子初始化空間和粒子運動最大速度兩個參數(shù)的優(yōu)化設置，并引入環(huán)形拓撲結構的鄰域，提高了粒子群聚類算法的聚類效果。仿真結果表明該算法在聚類準確性和收斂速度方面均優(yōu)于模糊C均值聚類（FCM）算法和基本粒子群聚類（FCM-PSO）算法。

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（收稿日期：2018-04-29）

作者簡介：

王宇鋼(1977-)，男，博士研究生，講師，主要研究方向：機械制造自動化。

*基金項目：遼寧省自然科學基金資助項目（20170540445）