馬健超1,2，陳國棟1,2，周霆1,2

　?。?.福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州 350116；2.福州大學 計算機圖像圖形研究所，福建 福州 350116）

　　摘要：虛擬手術(shù)系統(tǒng)研究是計算機圖形學的一個重要領(lǐng)域，為了提高肌肉纖維紋理合成的真實感與實時性，文章采用了基于場向參數(shù)化的方法，并結(jié)合最光滑方向場進行了三維模型上的肌肉纖維紋理映射與合成，通過布置奇異點，模擬肌肉纖維損傷的狀態(tài)。該系統(tǒng)實現(xiàn)了場向參數(shù)化的可視化及肌肉纖維紋理合成的簡單交互，實驗結(jié)果表明，系統(tǒng)的實時性與真實感均得到提高。

　　關(guān)鍵詞：虛擬手術(shù)；場向參數(shù)化；最光滑方向場；紋理合成

　　中圖分類號：TP391.41文獻標識碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.09.006

　　引用格式：馬健超，陳國棟，周霆.基于場向參數(shù)化的肌肉纖維紋理合成研究［J］.微型機與應(yīng)用，2017,36（9）：18-21.

0引言

　　隨著現(xiàn)代醫(yī)學技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展，借助計算機圖形技術(shù)分析處理醫(yī)學問題成為了醫(yī)學研究和計算機圖形技術(shù)的熱點，虛擬手術(shù)就是其中一個重要的學科發(fā)展方向，其具有沉浸性、交互性等特點［1］。

　　在計算機圖形學中，紋理的應(yīng)用是增強真實感的有效方法，對于三維表面紋理合成，實現(xiàn)的目標是將二維紋理映射到三維表面，并且不產(chǎn)生走樣和扭曲?，F(xiàn)有方法通常是把表面領(lǐng)域通過參數(shù)化方法展平，然后沿著表面局部坐標系進行采樣，將采樣得到的平面領(lǐng)域與樣本紋理的領(lǐng)域進行比較［2］。Praun［3］等人提出用重疊紋理技術(shù)來合成三維表面紋理，該算法需要較多的人工干預；Wei［4］等人把表面紋理的顏色信息存儲在模型的頂點上，根據(jù)松弛算法生成方向場來定義三維表面局部坐標系，但合成速度不理想；Turk［5］等人使用密集模型保存豐富紋理細節(jié)，對每個目標領(lǐng)域進行局部參數(shù)化，合成速度較慢。這些方法都從圖像特征的統(tǒng)計相似性來解決問題，但不能很好地繪制出肌肉纖維紋理的特點。骨骼肌由肌腹和肌腱構(gòu)成，肌腹由大量的橫紋纖維構(gòu)成，不同部位間纖維方向差異較大，而肌腱由腱腱纖維構(gòu)成［6］，肌肉損傷的表現(xiàn)為肌肉纖維沿筋膜面羽毛狀擴展，或向鄰近肌肉擴展［7］。

　　為了提高虛擬手術(shù)中肌肉纖維仿真的真實感和實時性，本文從幾何學的角度來看待這個問題，采用最光滑方向場與場向參數(shù)化相結(jié)合，在Ray［8］等人的全局場面參數(shù)化方法的基礎(chǔ)上，允許加入新的奇異點，以此來仿真肌肉損傷，并省略了旋度校正和單位化約束，使用一個簡單的凸二次能量來規(guī)劃問題，算法速度得到提升，通過簡單的交互，可以實時改變最光滑方向場的方向，從而得到三維模型上不同方向的肌肉纖維紋理，可應(yīng)用到虛擬手術(shù)中。

　　本文實現(xiàn)的整體算法流程如圖1所示，通過讀取三維網(wǎng)格模型，如OBJ格式，使用重新定義的狄利克雷能量來獲取最光滑方向場，使用該方向場進行參數(shù)化，得到相應(yīng)的紋理坐標，最后使用模型加載庫Assimp及OpenGL等開源庫進行紋理的合成。

1最光滑方向場

　　1.12-方向場

　　本文中的方向場指的是單位長度的矢量場，方向場的度n指的是曲面上每一點有n等間隔分布的方向場。如圖2所示，左圖為n為1時，即傳統(tǒng)意義上的場;右圖為n為2時，稱為2方向場［9］，每一點由兩個方向相反的單位矢量組成。這些方向場通常存在奇異點，即方向場在該點無法光滑地變化，注意，本文產(chǎn)生的方向場將自動地布置奇異點的個數(shù)與位置。

　　本文將曲面M上的一點的切空間視為復數(shù)域C的副本，其上的切矢量可用復數(shù)乘以一個基矢量來表示，若以實軸為基矢量，再通過平方，得到一個不需要考慮單位約束的方向場的表示方法，為：

　　u=z2=ei2kπ,k=0,1(1)

　　1.2光滑能量

　　通過使用狄利克雷能量來測量2方向場ψ的光滑度［10］，表示協(xié)變導數(shù)，也就是曲面上的列維奇維塔聯(lián)絡(luò)，表示為：

　　但方向場中，在奇異點處該能量變得無限大，導致該公式失去意義，而每一個2方向場可寫成一個比例因子與單位方向場的乘積，即：

　　ψ=aφ(3)

　　將所有的ψ中最小的狄利克雷能量定義為2方向場的能量，即式(4)，此時奇異點處的能量將變?yōu)榱?，從而解決了上述的問題。

　　遍歷所有方向場，從而得到全局最小化的方向場，也就是最光滑方向場，由于經(jīng)過了縮放的2方向場的集合與2矢量場的集合是沒有區(qū)別的，所以可以替而求解。

　　這意味著一個最小特征值的問題，三維網(wǎng)格上所有方向場ψ都是分段線性的，將其表示為基底的復線性組合，V代表點集。

　　式(5)的問題轉(zhuǎn)化為求解特征向量的問題。等式(7)中，A是一個相對于分段線性基底Ψi的埃爾米特矩陣，M是埃爾米特質(zhì)量矩陣，使用逆冪迭代法來求解，得出最光滑方向場。

　　Au=λMu(7)

　　2場向參數(shù)化

　　2.1坐標函數(shù)

　　首先需要選擇參數(shù)化后的坐標函數(shù)的表達形式，Ray［8］等人和Zhang［11］等人提出使用復數(shù)域的矢量值函數(shù)，其角度分量提供最終的坐標，但每一點有一個四階的懲罰項，導致了非凸規(guī)劃問題，所以本算法忽略了這一項，同樣使用一個復數(shù)域的矢量值函數(shù)ψ，用其幅角α作為參數(shù)化后的坐標，為：

　　α=argψ(8)

　　設(shè)定最光滑方向場為X，每點的單位化函數(shù)為：

　　φ=eiα(9)

　　角α只沿著方向X以速率ν來變化，通過微分，得到

　　dφ=iωφ(10)

　　這意味著通過求解該等式可以得到角速度ω，但需要方向場總是可積的，因此考慮它的L2殘差：

　　其中算子c=d－iω恰好是曲面M上的一個聯(lián)絡(luò)，ε可以被認為是在一個復變函數(shù)上的狄利克雷能量，所以定義單位化函數(shù)φ能量為比例函數(shù)a下，所有可能的最小的狄利克雷能量：

　　在單位化函數(shù)φ上的能量極小化是等價于在所有復變函數(shù)ψ上的狄利克雷能量極小化：

　　因此對應(yīng)為一個標準的求解特征值的問題，ψ為特征函數(shù)，Δs為薛定諤算子。

　　Δsψ=λψ(14)

　　2.2不可定向特征

　　方向場中存在不可定向的點，即在奇異點有不可定向的特征，引進Kalberer［12］等人提出的二次覆蓋的概念。除了奇異點之外，二次覆蓋看起來就像原曲面的副本，但算法中并沒有實際地去構(gòu)造二次覆蓋，只是用這一思想來解決奇異點的問題。圖3為二次覆蓋于原曲面的示意圖，MD為二次覆蓋，M為原曲面，τ稱為片交換函數(shù)，ρ將二次覆蓋映射回原曲面，曲面M上的線場，在MD上任意選擇其中一個方向的場。

　　2.3離散化

　　三角網(wǎng)格上，每一個頂點i∈V，用單位切矢量Xi和目標線頻率νi∈R+共同定義了矢量Zi=νiXi，離散化算法的具體步驟如下：

　　輸入：二維單純復形K（三角網(wǎng)格）。

　　過程：

　?。?）將Z投影到每一條邊上，得到角位移ω；

　?。?）構(gòu)建類拉普拉斯矩陣A，元素由ω決定；

　?。?）求矩陣A最小特征值對應(yīng)特征向量ψ 。

　　輸出：每一個面上，通過ψ和ω得到計算紋理坐標α。

　　首先求得角位移ωij，即邊矢量與輸入矢量場的內(nèi)積

　　的平均值。

　　ωij=∫ijω=12(〈eij,Zi〉+〈eij,Zj〉)(15)

　　然后每個三角形構(gòu)建類余切拉普拉斯矩陣，即薛定諤算子的離散化。該矩陣A是正定對稱，與余切拉普拉斯矩陣有相同結(jié)構(gòu)，對于每個正則邊ij∈E，非對角塊為：

　　Aij=－wij［eiωij］,sij=－1

　?。瓀ij［eiωij］,sij=+1

　　Aji=ATij(16)

　　矩陣A的對角塊為：

　　Aii=∑ij∈E［ωij］(17)

　　塊對角集總質(zhì)量矩陣為B，用Aijk表示三角形ijk的面積，對角元素為關(guān)聯(lián)三角形總面積的三分之一。

　　Bii=13∑ijk∈FAijk(18)

　　存在ψi=ai+bii的某個值來使ε最小，用ai,bi∈R值交替組成的一個矢量x，通過求解式(19)的最小特征值對應(yīng)的特征向量x，使用喬里斯基分解矩陣A，然后應(yīng)用逆冪法來求解。

　　Ax=λBx(19)

　　求得ψ后，如果僅通過式(8)來求最終的坐標函數(shù)α，將產(chǎn)生畸變與扭曲，因此采用旋轉(zhuǎn)形式進行調(diào)整，最終坐標為：

　　αjki:=arg(ψi)

　　αkij:=arg(ψi)+σij

　　αijk:=arg(ψi)+σik(20)

3結(jié)果與分析

　　3.1編程環(huán)境與開源庫

　　本課題使用系統(tǒng)為Window 7，編程環(huán)境為VS2012，處理器為2.40 GHz，內(nèi)存8 GB，顯卡為AMD Radeon 6550M。采用了開源庫SuiteSparse來實現(xiàn)對稀疏矩陣的運算，選用了模型加載庫Assimp，選用的三維模型格式是OBJ格式，還有OpenGL及其擴展庫GLUT和GLEW處理窗口的創(chuàng)建、基本的交互，使用著色語言GLSL編寫了頂點著色器和片段著色器。

　　3.2紋理合成結(jié)果與分析

　　圖4展示了整個紋理合成的過程，使用模型的面片數(shù)為6 142片，（a）為導入模型后顯示的三角網(wǎng)格模型；（b）為場向參數(shù)化的可視化，可看到奇異點（分叉點）；（c）為模型表面紋理合成后的效果；（d）為紋理合成的細節(jié)圖，可以看到紋理的方向與方向場一致；（e） 為所使用的紋理圖片。圖5為圖4的2方向場經(jīng)過旋轉(zhuǎn)90°后的可視化結(jié)果，從右圖可以看到肌肉纖維紋理的方向已經(jīng)發(fā)生了改變，但是同樣與方向場方向保持一致。

　　圖6展示的是參數(shù)化中奇異點與紋理合成后細節(jié)的對比，使用的模型的面片數(shù)為15 418片，可以看到紋理在奇異點處發(fā)生了分叉，但總體還是保持連續(xù)的，以此來模擬肌肉的輕微損傷，左圖為場向參數(shù)化的可視化，右圖為奇異點處的紋理細節(jié)。

　　通過對不同面片數(shù)的模型進行實驗，得到了以下的對比數(shù)據(jù)，表1表明了面片數(shù)從1 K~16 K的幾種情況下，紋理合成所需要的時間基本控制在0.5 s以內(nèi)，這樣的性能是符合進行實時操作和交互的。表2通過與其他算法的對比，列出了部分數(shù)據(jù)，表明了本文所使用的算法性能得到提升，計算所需時間平均縮短為算法1的35.2%。

4結(jié)論

　　本文基于場向參數(shù)化的方法，結(jié)合了最光滑方向場，并使用了一系列開源庫，實現(xiàn)了對肌肉纖維紋理的合成，最終的系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)實時操作與交互，在保證真實感的同時，也證明了所使用算法的性能有較大的提高，為虛擬手術(shù)中肌肉手術(shù)的場景的進一步研究提供了條件。

　　參考文獻

　?。?］ 邢英杰, 張少華, 劉曉冰. 虛擬手術(shù)系統(tǒng)技術(shù)現(xiàn)狀［J］. 計算機工程與應(yīng)用, 2004, 40(7):88-90.

　?。?］ 韓建偉. 基于樣本的三維表面紋理快速合成技術(shù)［D］. 杭州：浙江大學, 2009.

　?。?］ PRAUN E,FINKELSTEIN A,HOPPE H. Lapped textures［C］. Proceeding of ACM SIGGRAPH 2000.New York,USA:ACM Press/AddisonWelsey Publishing Co.2000:465-470.

　　［4］ WEI L,LEVOY M. Texture synthesis over arbitrary manifold surfaces［C］.Proceedings of ACM SIGGRAPH 2001.New York,USA:ACM,2001:355-360.

　?。?］ TURK G. Texture synthesis on surfaces［C］. Proceedings of ACM SIGGRAPH 2001.NY, ACM,2001:347-354.

　　［6］ 席占國, 喬亞亞, 沈素紅. 超聲診斷肌肉損傷的臨床價值［J］. 醫(yī)藥前沿, 2014(18):206207.

　?。?］ 劉亞娟, 冉艮龍, 葉倫,等. 大腿肌肉損傷的MRI診斷［J］. 西南國防醫(yī)藥, 2015, 25(11):1222-1224.

　　［8］ RAY N. Periodic global parameterization［J］. Acm Transactions on Graphics, 2006, 25(4):1460-1485.

　?。?］ VAXMAN A, CAMPEN M, DIAMANTI O, et al. Directional field synthesis, design, and processing［C］． SIGGRAPH Asia， 2016:1-30.

　?。?0］ LIU B B, WENG Y L, WANG J N, et al. Orientation field guided texture synthesis［J］. Journal of Computer Science and Technology, 2013, 28(5):827-835.

　?。?1］ ZHANG M, HUANG J, LIU X, et al. A wavebased anisotropic quadrangulation method［J］. Acm Transactions on Graphics, 2010, 29(4):157-166.

　　［12］ KLBERER F, NIESER M, POLTHIER K. Stripe Parameterization of Tubular Surfaces［M］. Topological Methods in Data Analysis and Visualization, 2010.