謝宇迪，蔣新昕

　?。ㄟ|寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 ,遼寧 大連116029）

       摘要：給出一類在非均勻節(jié)點(diǎn)情形下帶參數(shù)的三角B樣條基函數(shù)，討論了這類基函數(shù)的性質(zhì)以及在重節(jié)點(diǎn)情形時(shí)的變化,并利用這類基函數(shù)構(gòu)造了相應(yīng)的三角B樣條曲線，這類曲線具有與二次非均勻B樣條曲線相似的性質(zhì)。在控制頂點(diǎn)不變的情況下，可以通過改變形狀參數(shù)取值來調(diào)節(jié)曲線的形狀。此外，它還能精確表示圓、橢圓等曲線。

　　關(guān)鍵詞：非均勻B樣條；基函數(shù)；曲線設(shè)計(jì)

　　中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.07.014

　　引用格式：謝宇迪，蔣新昕.非均勻節(jié)點(diǎn)情形下的一類三角B樣條曲線［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36（7）：46-49.

0引言

　　三角樣條曲線在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中被廣泛地應(yīng)用［1］，SCHOENBERG I J［2］首次提出三角樣條的概念, 韓旭里教授在三角樣條函數(shù)的研究中，提出并討論了分段的二次三角多項(xiàng)式曲線、三次三角多項(xiàng)式曲線及帶有參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式曲線［35］的性質(zhì)和應(yīng)用 ；文獻(xiàn)［6］提出了k(k≥2)階的帶形狀參數(shù)三角多項(xiàng)式均勻B樣條曲線，可以精確表示圓、橢圓等一些曲線；文獻(xiàn)［7］提出了帶多形狀參數(shù)的非均勻三角多項(xiàng)式曲線，它是同類型單形狀參數(shù)曲線的推廣。

　　本文給出了另一類基于四點(diǎn)分段的帶參數(shù)非均勻二次三角B樣條曲線，當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，此類曲線即成為文獻(xiàn)［8］中的均勻二階三角B樣條曲線，對(duì)于給定控制點(diǎn)，利用參數(shù)的不同取值可以局部或整體地控制曲線形狀，而無須通過改變控制點(diǎn)調(diào)整曲線的形狀，此外，還給出了該曲線表示橢圓和圓的方法。通過實(shí)例表明，所給曲線具有結(jié)構(gòu)簡單、使用靈活的優(yōu)點(diǎn)，為曲線設(shè)計(jì)提供了一種有效的方法。

1帶形狀參數(shù)二階三角B樣條基函數(shù)

　　定義1任給節(jié)點(diǎn)u0<u1<...<un+4，Δui=ui+1－ui，稱U={u0 ,u1,...un+4}為節(jié)點(diǎn)向量，設(shè)－1≤λi,μi≤1，則稱：

　　為第i個(gè)帶形狀參數(shù)μi,λi+1,μi+2,λi+3的非均勻二階三角B樣條基函數(shù)。其中

　　性質(zhì)4：在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)需要利用重節(jié)點(diǎn)技術(shù)，與單形狀參數(shù)情況類似，當(dāng)基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)k≤4時(shí)，這時(shí)只要把對(duì)應(yīng)的區(qū)間縮小為0，并去掉基函數(shù)的相應(yīng)段即可。例如當(dāng)ui+3=ui+4時(shí)，Δui+3=0，進(jìn)行如下定義：

　　容易證明重節(jié)點(diǎn)時(shí)多形狀參數(shù)的基函數(shù)的連續(xù)性有如下定理：

　　定理1如果u=uj是基函數(shù)bi(u)的k(k=2,3,4;j=i+1,i+2,i+3,i+4)重節(jié)點(diǎn),則基函數(shù)的支撐區(qū)間從4減少為5-k段，k=2,3時(shí)基函數(shù)連續(xù)，k=4時(shí)不連續(xù)。

　　圖1表示重節(jié)點(diǎn)時(shí)的基函數(shù)，這里的節(jié)點(diǎn)u=0為三重節(jié)點(diǎn)，可知由于參數(shù)的取值不同，多形狀參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式基函數(shù)（虛線）呈現(xiàn)不對(duì)稱，單形狀參數(shù)的基函數(shù)（實(shí)線）對(duì)稱。

2基函數(shù)的連續(xù)性

　　定理2設(shè)節(jié)點(diǎn)向量U={u0 ,u1,...un+4}滿足u0<u1<...<un+4，則由式（1）定義的基函數(shù)bj(u)∈C1(－∞,+∞)。

　　證明：顯然bi(u+i)=0，b′i(u+i)=0，bi(u－i+4)=0，b′i(u－i+4)=0，這里僅討論在u=ui+1處的連續(xù)性，在u=ui+2，u=ui+3處可以采用同樣的方法處理。

　　所以該定理的結(jié)論成立。

　　圖2表示均勻節(jié)點(diǎn)下的基函數(shù)的圖像。其中實(shí)線表示形狀參數(shù)λi=μi=1時(shí) ，即單形狀參數(shù)的情形；虛線表示均勻節(jié)點(diǎn)下多形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，虛線對(duì)應(yīng)的λi=（0.4,1,1,0.8,0.3,0），i=1,2,3,4,5 ;μi=(0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1),i=0,1,…4。

　　圖3表示形狀參數(shù)λi、μi對(duì)非均勻節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)的影響。其中節(jié)點(diǎn)向量為U={0,2,5,6,8,12,13,15,20,27}，實(shí)線表示單形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，虛線表示多形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，形狀參數(shù)的取值與圖2相同。由此可見，多參數(shù)對(duì)基函數(shù)的影響使其左右發(fā)生變化，故可作局部調(diào)控。

3二次三角B樣條曲線

　　定義2任給R2或R3中的控制點(diǎn)p0,p1,...pn，節(jié)點(diǎn)向量 U=(u0,u1,...,un+4)及形狀參數(shù)－1<λi,μi≤1，則：

　　稱為多形狀參數(shù)的二次非均勻三角B樣條曲線，其中bi(u)由式（1）所定義。 當(dāng)ui<ui+1（i=2,3,…n）時(shí)，曲線r(u)對(duì)應(yīng)于［ui,ui+1］上的一段曲線可以表示為：

　　由基函數(shù)的定義可知，式（4）定義的曲線實(shí)際上含有4個(gè)形狀參數(shù)μi、λi+1、μi－1、λi，利用這些參數(shù)可以達(dá)到整體及局部可調(diào)，以下分兩種情況討論：

　?。?）當(dāng)μi=λi=μi－1=λi+1=μ時(shí)，即為單參數(shù)曲線，αi、βi與形狀參數(shù)無關(guān)，μ增大時(shí)，曲線越靠近線段Pi－2Pi－1，μ起整體調(diào)控的作用。圖4的曲線從上到下μ=1、0.5、0。

　?。?）當(dāng)λi≠μi－1且μi≠λi+1時(shí)，這時(shí)αi、βi與形狀參數(shù)有關(guān)，當(dāng)λi=－1，μi=－1 時(shí)曲線段為直線段Pi－3Pi。圖5中,曲線2的μ1=－0.5,λ2=0.8,μ3=－1,λ4=0.2,可見曲線右端變而左端不變；曲線3的μ1=1,λ2=－1,μ3=1,λ4=0.5，曲線左端變而右端不變；曲線1參數(shù)取μ1=0.5,λ2=λ4=0.8,μ3=－1，可見多參數(shù)比單參數(shù)更具靈活可調(diào)控性。

4橢圓及整圓的表示

　　定理3如果給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi－3(－a,－b)，Pi－2(－a,b)，Pi－1(a,b)，Pi(a,－b)，其中a、b是均不為0的實(shí)數(shù)，節(jié)點(diǎn)等距，且令λi=μi=0，當(dāng)u∈［ui,ui+1］時(shí)，ri(u) 為一段橢圓弧。

　　證明： 根據(jù)式（4）

　　ri(u)=βi4(1－costi)Pi－3+［12－αi4(1－sinti)］pi－2+

　?。?2－βi4(1－costi)］pi－1+αi4(1－sinti)pi

　　經(jīng)計(jì)算，有

　　這即為橢圓的四分之一參數(shù)方程。

　　推論1對(duì)于二次三角B樣條曲線，如果控制頂點(diǎn)為P0(－a,－b),P1(－a,b),P2(a,－b)，P3(a,－b)，P4(－a,－b)，P5(－a,b)，P6(a,b)，則ri(u) 為一段橢圓。若a=b，則為整圓。圖6為橢圓。　

5實(shí)例應(yīng)用

　　開區(qū)間和閉曲線的構(gòu)造是曲線設(shè)計(jì)中的基本內(nèi)容，為保證生成開的二次三角B樣條曲線，只要令p0=2p1－p2，pn+1=2pn－pn－1 ，可構(gòu)造插值于p1和pn且在u1和un處分別以p2－p1和pn－pn－1為切向量的開三角B樣條曲線。圖7表示單形狀參數(shù)，λi=μi=0,0.5;圖8表示多形狀參數(shù)，實(shí)線對(duì)應(yīng)λi=(0.4,0,0,0,－0.5,0,0.8)，i=2,3,...,8，μi=(0.5,0.8,0,2,0.4,0.5,－0.2,0)，i=1,2,...,7。

　　為了生成閉的二次三角B樣條曲線，可增設(shè)控制點(diǎn)pn+1+j=pj(j=0,1,2)。令節(jié)點(diǎn)步長Δun+1+j=Δuj(j=0,1,2,3)，及形狀參數(shù)λn+1+j=λj，μn+1+j=μj,(j=0,1,2,3)，于是閉曲線的表達(dá)式可寫成r(u)=∑n+3i=0bi(u)pi,u∈［u3,un+3］。圖9表示單形狀參數(shù)下的閉曲線，λ=μ=0、0.5、1，其中實(shí)線為單形狀參數(shù)λ=μ=0；圖10表示多形狀參數(shù)下的閉曲線，其中實(shí)線中的λi,μi與圖8一樣。

6結(jié)論

　　本文給出了在非均勻節(jié)點(diǎn)情形下多參數(shù)的一類二階三角B-樣條曲線，該曲線是基于四點(diǎn)分段，即曲線每一段只與4個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。同時(shí)它也具有二次B樣條曲線的許多重要性質(zhì)，如連續(xù)性、凸包性、幾何不變性等。并且通過參數(shù)的取值不同可以達(dá)到整體或局部形狀調(diào)控，應(yīng)用重節(jié)點(diǎn)的技巧可以生成以此類基函數(shù)構(gòu)造的開曲線和閉曲線。此外，它還可以表示橢圓及圓等圓錐曲線。

　　參考文獻(xiàn)

　?。?］ 李成剛,馮靜,凌玲.基于WPF交互式繪圖系統(tǒng)的開發(fā)［J］.微型機(jī)與應(yīng)用,2011,30（6）:50-52.

　?。?］ SCHOENBERG I J. On trigonometric spline interpolation［J］.J.Math.M.,1964,13（5）:795-825.

　　［3］ Han Xuli. Piecewise quadratic trigonometric polynomial curves［J］.Mathematics of Computation, 2003,72(243):1369-1377.

　?。?］ Han Xuli. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter［J］.Computer Aided Geometric Design,2004,21(6):535-548.

　?。?］ 吳曉勤,韓旭里.帶參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式樣條曲線［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2006,27（1）：93-97.

　　［6］ 王文濤,汪國昭.帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條［J］.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2005,28（7）：1192-1198.

　　［7］ 謝進(jìn)，鄔弘毅，鄧四清，等.多形狀參數(shù)的二次非均勻三角多項(xiàng)式曲線［J］.工程圖學(xué)報(bào)，2007,28（5）：291-295.

　　［8］ 王晶昕,王迪.均勻結(jié)點(diǎn)情形下的兩類二階三角B樣條曲線［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014,37(3):297-303.