文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A
DOI:10.16157/j.issn.0258-7998.2017.01.037
中文引用格式: 宋長明,惠慶磊,程?hào)|旭. 基于字典學(xué)習(xí)和加權(quán)TV的MRI重構(gòu)算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用,2017,43(1):141-144.
英文引用格式: Song Changming,Hui Qinglei,Cheng Dongxu. A novel MR image reconstruction algorithm based on dictionary learning and weighted total variation[J].Application of Electronic Technique,2017,43(1):141-144.
0 引言
核磁共振圖像(Magnetic Resonance Image,MRI)具有無輻射、高分辨率、多平面成像等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于臨床診斷。然而,緩慢的掃描速度會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)偽影的產(chǎn)生,致使圖像變得模糊和失真,因此研究如何在保證高質(zhì)量圖像的情況下提高成像速度具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。壓縮感知(Compressive Sensing,CS)理論是DONOHO D L、CAND?魬S E J和TAO T等[1-3]在2006年提出的一種全新的信號(hào)采樣和處理理論。CS理論提供了一個(gè)利用少量測量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)稀疏信號(hào)重建的框架,極大地減少傅里葉變換域的采樣數(shù)據(jù),縮短掃描時(shí)間,提高成像速度。
在MRI領(lǐng)域,CS理論得到極大的認(rèn)可。LUSTIG M等[4]利用MRI在小波域的稀疏性和空間域的變分約束,將CS理論成功應(yīng)用于心臟成像、腦成像、快速三維血管造影等,并取得良好的重建效果。在Lusting等人的研究基礎(chǔ)上,DABOV K等[5]在對局部相似性研究的基礎(chǔ)上,提出一種新的塊匹配重建算法。AK?覶AKAYA M等[6]利用塊匹配的重建算法對中心采樣的心臟圖像進(jìn)行重建,實(shí)現(xiàn)了在4倍采樣的MRI的精確重建。RAVISHANKAR S等[7]利用K-SVD思想,提出一種基于自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)的MRI重建算法,重建效果得到進(jìn)一步提高。RAJWADE A和LINGALA S G等[8,9]提出的具有盲字典學(xué)習(xí)的高光譜成像和動(dòng)態(tài)MRI算法自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典,獲得了良好的重構(gòu)性能。
字典學(xué)習(xí)[10]可以有效表征圖像的特征信息,全變分(Total Variation,TV)正則項(xiàng)[11]可以保持圖像邊緣信息。然而,在字典學(xué)習(xí)過程中稀疏編碼會(huì)產(chǎn)生混亂信息熵,影響字典學(xué)習(xí)效率,TV單向梯度處理平滑區(qū)域會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)。針對以上問題,本文引入熵約束和加權(quán)的TV正則項(xiàng),充分利用圖像的先驗(yàn)信息,構(gòu)建圖像重構(gòu)模型。
1 壓縮感知基本理論
基于稀疏表示理論,CS理論將信號(hào)采樣和壓縮合并進(jìn)行,通過非自適應(yīng)線性投影有效獲取信號(hào)的特征信息,并利用求解最優(yōu)化問題高概率精確重構(gòu)原信號(hào),緩解了數(shù)據(jù)的采集、存儲(chǔ)、傳輸和分析的壓力。一般地,對于原始信號(hào)為x∈CN,給定測量值y=Φx∈CM,其中Φ∈CM×N(M<N)是非滿秩測量矩陣,存在無窮多個(gè)可行解x,若Φ滿足約束等距條件,則可確保重構(gòu)解唯一。信號(hào)重構(gòu)過程轉(zhuǎn)換為最小化L0范數(shù)模型,即:
其中||·||0是零范數(shù),表示x中非零元素的個(gè)數(shù)。求解式(1)不僅是一個(gè)NP難問題,而且極易受到噪聲的影響。針對此問題,研究者采用凸的L1范數(shù)代替非凸的L0范數(shù),即:
選擇一個(gè)合適的拉格朗日乘子λ,式(2)可轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題:
采用Bregman算法、對偶算法以及交替迭代乘子法等算法均可有效求解式(3)。最近研究表明,圖像信息中包含了大量的自相關(guān)結(jié)構(gòu),具有高度結(jié)構(gòu)化稀疏性以及低秩特性,利用這種非局部相似特性構(gòu)建的低秩結(jié)構(gòu)化稀疏模型[12]顯示出更為優(yōu)異的圖像重構(gòu)效果。
2 圖像重構(gòu)模型的提出
由于字典學(xué)習(xí)過程中稀疏系數(shù)索引會(huì)產(chǎn)生較高的信息熵,影響原子學(xué)習(xí)效率。而單一的TV正則項(xiàng)又會(huì)對圖像邊緣紋理過平滑,產(chǎn)生階梯效應(yīng)。為此,基于熵約束和加權(quán)TV正則項(xiàng)提出一種新的圖像重構(gòu)模型,如下所示:
其中E(T,u)是字典學(xué)習(xí)正則項(xiàng),G(u)是加權(quán)TV正則項(xiàng),y=Φu是數(shù)據(jù)約束項(xiàng)。
2.1 基于熵約束的字典學(xué)習(xí)正則項(xiàng)
稀疏表示是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素,為克服傳統(tǒng)變換不能有效表示輪廓、紋理、振蕩等高維幾何特征的缺點(diǎn),稀疏表示的研究從正交基擴(kuò)展到過完備字典。式(4)中的第一項(xiàng)E(T,u)是字典學(xué)習(xí)約束項(xiàng),字典學(xué)習(xí)方法一般可通過優(yōu)化下式獲?。?/p>
在稀疏編碼過程中會(huì)得到非零系數(shù)和相對應(yīng)的位置索引,這些索引值有很大的隨機(jī)性,導(dǎo)致其信息熵非常高,降低了字典學(xué)習(xí)效率。為此,引入熵的約束,以提高字典學(xué)習(xí)效率。對保真項(xiàng)、稀疏度以及原子選擇的熵作聯(lián)合優(yōu)化,構(gòu)造新的優(yōu)化函數(shù):
2.2 加權(quán)各向同性與異性的TV正則項(xiàng)
TV模型廣泛應(yīng)用于圖像去噪、修復(fù)、超分辨率等,其各向同性、各向異性的數(shù)學(xué)表達(dá)如下:
其中Dx、Dy分別表示水平和垂直方向上的導(dǎo)數(shù)。
對于分段常數(shù)函數(shù)或光滑區(qū)域,其每個(gè)像素點(diǎn)的梯度是1-稀疏,通過L1范數(shù)可以很好地重構(gòu),然而,對于邊緣信息豐富的區(qū)域,梯度并非1-稀疏,其效果并不理想,它會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)。針對這種非稀疏的梯度向量,結(jié)合各向同性與各向異性,用加權(quán)的TV正則項(xiàng)代替單一的TV項(xiàng),即:
其中γ∈[0,1]。其優(yōu)點(diǎn)在于具有Lipschitz正則性,并且在求解時(shí)用現(xiàn)有的算法可充分確保其收斂性。
2.3 基于字典學(xué)習(xí)和加權(quán)TV的重構(gòu)模型
結(jié)合上述字典學(xué)習(xí)和TV模型,構(gòu)建如下重構(gòu)模型:
式(9)第一項(xiàng)保證圖像塊可以用過完備字典稀疏表示,Rj∈Rn×N表示提取圖像u的第j塊的二值矩陣,那么所有圖像塊的組合能覆蓋整個(gè)圖像,可能有重疊部分,這里的圖像塊大小和過完備字典中的原子大小必須是一致的,才能保證每個(gè)圖像塊都能被字典中的原子線性表示。第二項(xiàng)是字典原子熵約束項(xiàng),提高字典學(xué)習(xí)效率。第三項(xiàng)是基于加權(quán)的TV正則項(xiàng),有效保留圖像邊緣信息,可抑制階梯效應(yīng)。前三項(xiàng)起到去除采樣過疏導(dǎo)致偽影和保留圖像局部結(jié)構(gòu)的作用。第四項(xiàng)是數(shù)據(jù)保真項(xiàng),用于增強(qiáng)k空間的數(shù)據(jù)保真度,其中是感知矩陣,P是采樣矩陣,是傅里葉變換。
3 模型求解
本文采用交替最小化方法求解式(9)。首先固定u,獲得學(xué)習(xí)字典和稀疏系數(shù)。然后,固定字典和系數(shù),依據(jù)測量數(shù)據(jù)更新重構(gòu)圖像u。
(1)字典學(xué)習(xí)階段對應(yīng)的子問題目標(biāo)函數(shù)為:
采用K-SVD方法求解,其相應(yīng)的OMP算法需要修改,在每次迭代計(jì)算殘差時(shí)應(yīng)加入選擇原子熵,即:
(2)更新重構(gòu)階段對應(yīng)的子問題目標(biāo)函數(shù)為:
上述能量泛函是凸的,通過交替迭代轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于u、d的兩個(gè)子問題。
對u問題,利用變分法直接求導(dǎo),引入周期性邊界條件,并使用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行求解,可得:
4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析
實(shí)驗(yàn)環(huán)境為MATLAB 2011a版本,為了能夠有效對比重構(gòu)圖像的不同特征,選取光滑和紋理區(qū)域差異較大的兩張腦部圖像,尺寸為256×256,并采用兩種不同的采樣方式,如圖1所示。實(shí)驗(yàn)中待重構(gòu)數(shù)據(jù)是模擬對原始圖像的二維離散傅里葉變換,采樣得到。本文與字典模型、TV模型作對比,以信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)作為指標(biāo)衡量重構(gòu)效果。圖像塊大小為8×8,字典原子維數(shù)M=64,個(gè)數(shù)K=256,以離散余弦變換字典為初始字典,平衡參數(shù)α=1,β=1,稀疏度T0=10,λ=140,分別取γ=0.5、1,迭代10次。
利用零填充、TV、字典學(xué)習(xí)3種不同算法,分別對兩幅不同特征的MRI圖像在16%和25%采樣率下進(jìn)行了多組實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、圖3所示。不同圖像重構(gòu)下SNR、PSNR、SSIM指標(biāo)對比見表1、表2。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看,TV算法會(huì)對圖像邊緣信息過平滑,丟失紋理細(xì)節(jié)信息。同時(shí),為了對比本文算法在不同采樣矩陣下的恢復(fù)效果。綜合數(shù)據(jù)看,L1-L2恢復(fù)效果優(yōu)于L1-0.5L2的效果,本文算法重構(gòu)的圖像比TV或字典模型PSNR平均高出1~2 dB,在平滑區(qū)和邊緣紋理區(qū)處理結(jié)果都優(yōu)于單純的TV和字典算法。
5 結(jié)論
本文基于圖像塊稀疏性提出一個(gè)自適應(yīng)的字典學(xué)習(xí)框架,該框架直接由采樣的空間數(shù)據(jù)獲得,對圖像樣本具有自適應(yīng)性,又結(jié)合加權(quán)TV正則項(xiàng),充分地利用各自的優(yōu)點(diǎn),有效消除噪聲,保留圖像邊緣紋理,增強(qiáng)局部結(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文對噪聲具有魯棒性,在無噪聲和有噪聲的情況下均具有良好的性能。在高度欠采樣下,圖像的各種特征有很好的重構(gòu)效果,算法經(jīng)過少量的迭代就可以收斂,對參數(shù)的選取同樣具有魯棒性。下一步將從參考圖像出發(fā),選擇合適初始字典,考慮低秩流形結(jié)構(gòu)和塊稀疏字典兩者相結(jié)合,使MRI重構(gòu)圖像具有更豐富的結(jié)構(gòu)信息。
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作者信息:
宋長明,惠慶磊,程?hào)|旭
(中原工學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州450007)