0 引言

　　我國(guó)現(xiàn)役飛機(jī)中，直流電源系統(tǒng)占有重要的地位。該電源系統(tǒng)中對(duì)過壓保護(hù)電路的延時(shí)特性有特殊要求，即反延時(shí)特性，電源過壓值越高，延時(shí)保護(hù)時(shí)間越短。為滿足反延時(shí)特性的要求，參考文獻(xiàn)[1]提出了通過延時(shí)電路并聯(lián)的實(shí)現(xiàn)方法，根據(jù)反延時(shí)的要求確定并聯(lián)的支路數(shù)目，由此得到一種反延時(shí)電路。

　　過壓保護(hù)電路是直流電源系統(tǒng)安全運(yùn)行的保障。針對(duì)其反延時(shí)特性提出的反延時(shí)電路的可靠性分析是必要的。電路中電子元器件的壽命服從指數(shù)分布[2]。對(duì)于指數(shù)分布，在定時(shí)、定數(shù)截尾數(shù)據(jù)無缺失的情形下，理論和具體的應(yīng)用方法均比較成熟。曹晉華，程侃[3]的《可靠性數(shù)學(xué)引論》對(duì)無數(shù)據(jù)缺場(chǎng)合進(jìn)行了全面的總結(jié)。真實(shí)試驗(yàn)環(huán)境下，試驗(yàn)機(jī)理、觀測(cè)手段及記錄手段不當(dāng)?shù)葧?huì)導(dǎo)致部分樣本的丟失，在不能再次進(jìn)行試驗(yàn)的情形下，對(duì)不完全樣本的可靠性分析，具有一定的研究?jī)r(jià)值。在定數(shù)截尾有缺失的情形下，參考文獻(xiàn)[4]給出了單、雙參數(shù)指數(shù)分布中參數(shù)的最佳線性無偏估計(jì)及近似極大似然估計(jì)；參考文獻(xiàn)[5]給出了指數(shù)分布基于定數(shù)截尾有缺失樣本的Bayes估計(jì)，并給出了一種近似算法，但計(jì)算稍有復(fù)雜。參考文獻(xiàn)[6]結(jié)合參數(shù)的最佳線性無偏估計(jì)導(dǎo)出了單參數(shù)指數(shù)分布的Bayes估計(jì)。

　　對(duì)于參考文獻(xiàn)[1]中的反延時(shí)電路，參考文獻(xiàn)[7]在定時(shí)無替換數(shù)據(jù)無缺失的情形下，給出了可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)及極大似然估計(jì)。鑒于真實(shí)的試驗(yàn)環(huán)境，本文結(jié)合參數(shù)的最佳線性無偏估計(jì)，在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失的情形下，給出反延時(shí)電路可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)，并結(jié)合矩估計(jì)法給出了超參數(shù)的估計(jì)。

1 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

　　反延時(shí)電路中每個(gè)電子元器件的壽命均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：

　　反延時(shí)電路圖在參考文獻(xiàn)[1，7]中已給出，參考文獻(xiàn)[7]給出了對(duì)應(yīng)的可靠性工程圖，如圖1所示。

　　選取反延時(shí)電路系統(tǒng)中單個(gè)電子元器件的失效率r(t)、系統(tǒng)可靠度Rs(t)及平均壽命MTTFs作為可靠性指標(biāo)。由參考文獻(xiàn)[7]可知，當(dāng)有m種延時(shí)要求時(shí)，單個(gè)部件失效率[7]：

2 Bayes估計(jì)

　　在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)有缺失的情形下討論可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)。隨機(jī)抽取n個(gè)反延時(shí)電路系統(tǒng)中的電子元器件進(jìn)行試驗(yàn)。當(dāng)電子元器件的失效數(shù)達(dá)到r時(shí)便停止試驗(yàn)。得到的失效時(shí)刻依次為0≤t1≤t2≤…≤tr(r≤n)，但最終只獲得了k(k<r)個(gè)觀察值，由參考文獻(xiàn)[5]可知t的似然函數(shù)形式復(fù)雜，求解可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)十分困難，為此本文采用參考文獻(xiàn)[6]中基于最佳線性無偏估計(jì)的近似方法來求得的后驗(yàn)密度函數(shù)。

　　2.1 基于最佳線性無偏估計(jì)的后驗(yàn)密度函數(shù)

　　已知t1，t2，…，tr獨(dú)立同分布，且服從分布F(t|)=1-exp(-t)，t≥0，令t0≡0，則0≡t0≤t1≤t2…≤tr為其順序統(tǒng)計(jì)量。設(shè)：

　　Mj=(n-j+1)(tj-tj-1)(5)

　　對(duì)(5)變形可得：

　　由此可知指數(shù)分布的順序統(tǒng)計(jì)量可以表示成：

　　由參考文獻(xiàn)[3]可知，M1，…，Mr獨(dú)立同分布t≥0，則：

　　其中r0=0，i=1，2，…，k，且由上述條件可知X1，X2，…，Xk是相互獨(dú)立的，從而利用參考文獻(xiàn)[8]中Gauss-Markov定理可以得到的最佳線性無偏估計(jì)(BLUE)為：

　  的先驗(yàn)分布為伽馬分布，即：

　　則的后驗(yàn)分布為：

　　2.2 可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)

　　單個(gè)電子元器件的失效率在平方損失下的Bayes估計(jì)為：

　　系統(tǒng)的可靠度為：

　　上式展開后每一項(xiàng)均可表示為Ae-Bt，A、B為常數(shù)，即，當(dāng)m給定，Ai，Bi均是已知的常數(shù)。因此令P(A，B)=Ae-B?姿t，則P(A，B)在平方損失下的Bayes估計(jì)為：

　　則系統(tǒng)的可靠度Rs(t)在平方損失下的Bayes估計(jì)為：

　　對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)平均壽命的近似Bayes估計(jì)為：

　　當(dāng)m給定后便可計(jì)算出Ai和Bi，帶入式(22)、(23)，便可以得到系統(tǒng)可靠度及平均壽命的Bayes估計(jì)。

　　2.3 超參數(shù)估計(jì)

　　式(19)、(22)、(23)中均含有未知參數(shù)，即超參數(shù)，則3個(gè)可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)不能直接應(yīng)用。丟失數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)小于樣本總量，因此在有數(shù)據(jù)缺失的情況下，通過矩估計(jì)法來近似估計(jì)超參數(shù)。先計(jì)算t的一階矩和二階矩：

帶入式(19)、(22)、(23)中，得到可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)。

3 數(shù)值模擬

　　為觀察本文方法的估計(jì)效果，針對(duì)并聯(lián)6個(gè)支路的反延時(shí)電路系統(tǒng)，將可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)與應(yīng)用參考文獻(xiàn)[4]方法所得的極大似然估計(jì)（MLE）進(jìn)行了數(shù)值模擬比較。根據(jù)GB/T1772[2]中規(guī)定的電子元器件失效率等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，在模擬中，取的真值為=2×10-5(1/h)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)可靠度Rs(24 000h)為0.668 4。取n=30，70兩種情況，k為數(shù)據(jù)缺失個(gè)數(shù)，r為失效數(shù)。為排除偶然因素的影響，對(duì)于每種組合隨機(jī)模擬10 000次，并取所得估計(jì)值的均值作為最終的估計(jì)結(jié)果。

　　利用蒙特卡羅方法模擬產(chǎn)生服從指數(shù)分布的樣本數(shù)據(jù)，再依據(jù)k，r的取值，得到最終的截尾樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)2.2、2.3節(jié)所得結(jié)果計(jì)算出可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)，如表1、表2所示，相對(duì)偏差對(duì)比如圖2所示。

　　結(jié)合上述圖表可以看出：(1)單個(gè)電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差均小于MLE的相對(duì)偏差，可見Bayes估計(jì)的估計(jì)精度要高于MLE；(2)當(dāng)截尾樣本數(shù)據(jù)容量一定時(shí)，隨著數(shù)據(jù)缺失個(gè)數(shù)k增加，單個(gè)電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計(jì)和MLE的相對(duì)偏差逐漸增大，估計(jì)精度降低；且k對(duì)MLE的影響大于Bayes估計(jì)；(3)r增加時(shí)，電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計(jì)和MLE的相對(duì)偏差逐漸減小，估計(jì)精度升高。

　　通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Bayes估計(jì)的估計(jì)效果要優(yōu)于MLE。這是因?yàn)锽ayes估計(jì)結(jié)合了有效的先驗(yàn)信息，且受數(shù)據(jù)缺失個(gè)數(shù)的影響要小于MLE。

4 結(jié)論

　　本文討論了定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失的情形下，反延時(shí)電路可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)。通過數(shù)值模擬，將Bayes估計(jì)與相應(yīng)的MLE進(jìn)行了分析對(duì)比。結(jié)果表明Bayes估計(jì)的相對(duì)偏差均要小于所對(duì)應(yīng)的MLE的相對(duì)偏差，且受數(shù)據(jù)缺失個(gè)數(shù)的影響要小于MLE。所以在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)有缺失的場(chǎng)合下，對(duì)反延時(shí)電路系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，可選用Bayes估計(jì)，并且在真實(shí)的試驗(yàn)環(huán)境下，應(yīng)避免數(shù)據(jù)的大量缺失。

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