甄鵬華，于振梅
(山東女子學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院， 山東 濟南 250300)
摘要：數(shù)字電子計算機是一個離散結(jié)構(gòu)，它只能處理離散的或離散化了的數(shù)量關(guān)系，因此，無論計算機科學(xué)本身，還是與計算機科學(xué)及其應(yīng)用密切相關(guān)的現(xiàn)代科學(xué)研究領(lǐng)域，都面臨著如何對離散結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以及如何將已用連續(xù)數(shù)量關(guān)系建立起來的數(shù)學(xué)模型離散化，從而由計算機加以處理的問題。實際上，可以將離散數(shù)學(xué)理解為對計算機問題的抽象，離散性可以在算法設(shè)計和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)。計算機中也有其他的問題表現(xiàn)出了離散性，所以，計算機科學(xué)對離散數(shù)學(xué)的研究不應(yīng)太過局限，這些表現(xiàn)都可以歸結(jié)為計算機所采用的二進制。
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；算法設(shè)計；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；離散性；二進制
中圖分類號：TP301文獻標識碼：ADOI： 10.19358/j.issn.16747720.2016.22.005
引用格式：甄鵬華,于振梅. 計算機科學(xué)中的算法設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性［J］.微型機與應(yīng)用，2016,35（22）：18-21.
0引言
計算機科學(xué)(Computer Science)是一門日新月異的學(xué)科。計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的研究人員時刻站在國際先進科技的前沿，學(xué)習(xí)新知識，并向創(chuàng)造新知識而努力。
但是計算機科學(xué)中亦有許多基礎(chǔ)科學(xué)中的理論支持，其與計算機的實際相結(jié)合，構(gòu)成了計算機科學(xué)中最基礎(chǔ)的理論。計算機問題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問題，將計算機問題抽象成數(shù)學(xué)問題，是一種合適的解決方式。
隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的快速發(fā)展，作為其支柱的計算機行業(yè)越來越受到人們重視。然而，人們更加注重程序結(jié)果而不是算法，更疏于關(guān)心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
本文提出了對算法設(shè)計和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性體現(xiàn)的思路，給抽象解決計算機問題做一種具體化解釋，以期給讀者建立一種從連續(xù)性到離散性的思維。
1算法
本節(jié)主要以算法來表述計算機中的離散性問題。本節(jié)概括了算法的基本概念，并以兩個算法設(shè)計的方法來表述離散性的表現(xiàn)。該節(jié)算法均以C語言描述。
1.1算法的基本概念
算法(algorithm)是指解題方案的準確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機制［1］。也就是說，能夠?qū)σ欢ㄒ?guī)范的輸入，在有限時間內(nèi)獲得所要求的輸出。
當然，對于流程型的程序確實對算法的要求不高，但對于人工智能、人機交互、圖形圖像識別、音視頻識別、虛擬現(xiàn)實、現(xiàn)實增強、社會工程學(xué)、數(shù)據(jù)挖掘、大數(shù)據(jù)分析、大型網(wǎng)絡(luò)拓撲、云計算等領(lǐng)域來說，算法是其關(guān)鍵。
現(xiàn)在流行于手機的各種美圖軟件中，亦存在較不錯的算法設(shè)計。軟件如何識別出人臉？如何分析眼睛、鼻子、嘴巴等的位置？如何對其進行一定的“美圖”而不至于讓人無法分辨？
由計算機科學(xué)之父、人工智能之父阿蘭·圖靈(Alan Turing)帶領(lǐng)的小組，在二戰(zhàn)中幫助盟軍設(shè)計了破譯德國的密碼系統(tǒng)Enigma的機器。設(shè)計機器的過程，可以稱作設(shè)計算法的過程。圖靈實際是領(lǐng)導(dǎo)小組成員設(shè)計出一個快速解密德國納粹密碼系統(tǒng)的算法，并為這個算法設(shè)計了機器。
可見，算法其實是程序的根本。世界頂尖的科技企業(yè)和高等院校進行的各種科學(xué)性研究，只要涉及計算機或與程序相關(guān)，其中一大重點便是在研究算法。無論對于多么龐大的一個系統(tǒng)，設(shè)計其算法是最基礎(chǔ)也是關(guān)鍵的第一步。
1.2算法體現(xiàn)的離散性
算法設(shè)計中可以體現(xiàn)出計算機科學(xué)中常見的不連續(xù)的特性，即離散性。
1.2.1算法設(shè)計常用的方法
算法設(shè)計的方法有很多，亦有很多相關(guān)文獻。此處主要介紹最簡單的兩種方法［2］，并在后面以此為例。
?。?）遞推法：遞推是序列計算機中的一種常用算法。它是按照一定的規(guī)律來計算序列中的每個項，通常是通過計算機前面的一些項來得出序列中的指定項的值。其思想是把一個復(fù)雜的龐大的計算過程轉(zhuǎn)化為簡單過程的多次重復(fù)，該算法利用了計算機速度快和不知疲倦的機器特點。
?。?）遞歸法：程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸(recursion)。一個過程或函數(shù)在其定義或說明中有直接或間接調(diào)用自身的一種方法，它通常把一個大型復(fù)雜的問題層層轉(zhuǎn)化為一個與原問題相似的規(guī)模較小的問題來求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復(fù)計算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在于用有限的語句來定義對象的無限集合。一般來說，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不滿足時，遞歸前進；當邊界條件滿足時，遞歸返回。
1.2.2兩種方法的離散性體現(xiàn)
遞推法中，計算機用一種比較“傻”的方法來進行一個復(fù)雜的運算。如算法1，以一個求最大值的算法來解釋。
算法1求最大值
int max(int *array, int size)
{
int mval = *array;
int i;
for (i = 1; i < size; i++)
if (array［i］ > mval)
mval = array［i］;
return mval;
}
可見對于計算機來說，它會不斷地用已知最大的數(shù)去和數(shù)組中下一個數(shù)字作比較，直到結(jié)束，即使有很多很多數(shù)字。而人類比較數(shù)字大小的方式就不同了，如果數(shù)字非常多，則可能會先看看數(shù)字都是幾位的，挑出位數(shù)最高的，如果不止一個,則再去逐個比較。這是一種連續(xù)性的思維模式。這正是人類習(xí)慣的連續(xù)性思維，初等數(shù)學(xué)都是建立在連續(xù)的基礎(chǔ)上，也亦有了幾何的出現(xiàn)。然而對于計算機來說，要有這種連續(xù)的思維是很困難的，要設(shè)計出更加復(fù)雜的算法，才能“模擬”出人類的這種連續(xù)性思維。當然，亦有可能是因為人類的大腦這個“CPU”比較高級，自身的算法就足夠復(fù)雜，所以人類才擁有連續(xù)性思維。對于設(shè)計出更復(fù)雜的算法和更快速的計算機來“模擬”人腦的思維模式，也有相關(guān)研究，亦有不少相關(guān)文獻，這不是本文重點。
遞歸法有時可以簡化算法，以求兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為例，如算法2，其改用遞歸算法后如算法3。
算法2求最大公約數(shù)
void swapi(int *x, int *y)
{
int tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
int gcd(int m, int n)
{
int r;
do
{
if (m < n)
swapi(&m, &n);
r=m%n;
m=n;
n=r;
} while (r);
return m;
}
算法3遞歸法求最大公約數(shù)
int gcd(int a,int b)
{
if(a%b)
return gcd(b,a%b);
return b;
}
形象地說遞歸法就是“自己調(diào)用自己”。一種離散性的表現(xiàn)與之前的例子類似，這里不再重復(fù)。這里講的是程序運行表現(xiàn)的離散性。計算機會在棧中運行程序，棧的特點就是“后進先出”。在運行這個遞歸的算法時，需要返回值時返回一個“自己”，只不過參數(shù)不同。直到返回一個確定的值，再層層返回，如圖1所示。
可見，對于該算法，計算機每遞歸計算一次，就要向內(nèi)存中Push一次，直到計算完成，再一次一次Pop出。這是一種計算的離散性體現(xiàn)，這亦不會是人類的連續(xù)性的思維方式。
2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
本節(jié)主要以數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表述計算機中的離散性問題。本節(jié)概括了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本概念，并提出了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性的基本理解。
2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本概念
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是計算機科學(xué)的經(jīng)典學(xué)科。字面上來說，就是研究數(shù)據(jù)元素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。根據(jù)數(shù)據(jù)元素之間關(guān)系的不同特性，一般來說可分為四類基本結(jié)構(gòu)：集合、線性結(jié)構(gòu)、樹形結(jié)構(gòu)、圖狀結(jié)構(gòu)或網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)［3］，如圖2所示。這正是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的元素具有的離散性特征。
Nicklaus Wirth憑借“算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)=程序”這一公式獲得了計算機科學(xué)領(lǐng)域最高獎——圖靈獎。這已足以可見數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的重要性。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)主要討論的是相互之間存在一種或多種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。在任何問題中，數(shù)據(jù)元素都不是孤立存在的，而是在它們之間存在著某種關(guān)系，這種數(shù)據(jù)元素相互之間的關(guān)系稱之為結(jié)構(gòu)(structure)。而離散數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有千絲萬縷的聯(lián)系，很多大學(xué)的計算機專業(yè)將離散數(shù)學(xué)作為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的先導(dǎo)課程。
2.2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性
離散數(shù)學(xué)中的圖論可以說就是對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的抽象，這方面的學(xué)術(shù)文獻相當豐富。這里僅對其做一個較為簡單、通俗的理解說明。
對于集合結(jié)構(gòu)，如圖2所示，其元素本身就是離散的、無關(guān)的。
對于線性結(jié)構(gòu)的離散性是顯而易見的。前文在介紹算法的離散性時提到棧的應(yīng)用，可見其離散性。其余線性結(jié)構(gòu)類似。
樹形結(jié)構(gòu)和圖形結(jié)構(gòu)也很好理解，每個元素本來是獨立存在，由于元素之間滿足了某種關(guān)系使其變成了樹形或圖形結(jié)構(gòu)，自然這種關(guān)系是離散的，不連續(xù)的。
實際上，離散數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的關(guān)系是最為緊密的。離散數(shù)學(xué)中的圖論實際就是研究一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系［4］。一些離散數(shù)學(xué)中的理論應(yīng)用在計算機中，實現(xiàn)了一些難以解決的問題或優(yōu)化了一些原本不恰當?shù)姆椒ǎ绻蚵?Huffman)樹解決了壓縮編碼的問題。
3離散數(shù)學(xué)與數(shù)字電子
本節(jié)將介紹離散數(shù)學(xué)的一些概念，并指出其與數(shù)字電子（主要是數(shù)字信號）的關(guān)系。
3.1離散數(shù)學(xué)的基本概念
離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的幾個分支的總稱，是研究基于離散空間而不是連續(xù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。與光滑變化的實數(shù)不同，離散數(shù)學(xué)的研究對象，例如整數(shù)、圖和數(shù)學(xué)邏輯中的命題［5］，不是光滑變化的，而是擁有不等、分立的值［6］。因此離散數(shù)學(xué)不包含微積分和分析等“連續(xù)數(shù)學(xué)”的內(nèi)容。離散對象經(jīng)?？梢杂谜麛?shù)來枚舉。更一般地，離散數(shù)學(xué)被視為處理可數(shù)集合（與整數(shù)子集基數(shù)相同的集合，包括有理數(shù)集但不包括實數(shù)集）的數(shù)學(xué)分支［7］。但是，“離散數(shù)學(xué)”不存在準確且普遍認可的定義［8］。實際上，離散數(shù)學(xué)經(jīng)常被定義為不包含連續(xù)變化量及相關(guān)概念的數(shù)學(xué)，甚少被定義為包含什么內(nèi)容的數(shù)學(xué)。
3.2數(shù)字電子的基本概念與離散性
數(shù)字電子是一門學(xué)科，與計算機學(xué)科相互交叉。此處僅以其數(shù)字信號的基本概念解釋其離散性。
數(shù)字信號同模擬信號相對，模擬信號是指時間和數(shù)值都連續(xù)的一組信號，而數(shù)字信號是指時間和數(shù)值都是離散的一組信號，如圖3所示。從圖3可以看出，這種連續(xù)性與離散性是非常明顯的。從數(shù)學(xué)上來說，連續(xù)，意味著其微積分有意義。顯然，對離散的信號這是沒有意義的。這里不再深究。
4計算機中的離散性問題
本節(jié)主要介紹二進制體現(xiàn)出來的離散性問題，并歸結(jié)出計算機中的離散性問題基本都與計算機采用的二進制的性質(zhì)有關(guān)。
4.1二進制
計算機中以二進制進行存儲和運算，這涉及邏輯數(shù)學(xué)的一些概念。實際上，邏輯運算亦能體現(xiàn)離散性。這與計算機的運算是有映射關(guān)系的。
4.1.1基本概念
二進制是逢2進位的進位制?！?”、“1”是基本算符?，F(xiàn)代的電子計算機技術(shù)全部采用的是二進制，因為它只使用“0”、“1”這兩個數(shù)字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實現(xiàn)［9］。
由于人類習(xí)慣使用十進制，可以這樣表述二進制：二進制數(shù)的每一位數(shù)的位權(quán)（理解為“1”能有多“大”）為2n-1（n為位數(shù)）。這樣可以充分理解二進制數(shù)的“大小”。
4.1.2體現(xiàn)
計算機是一個只認識“0”、“1”的機器，對于人類來說很容易理解的信息（如圖片、音視頻）對于計算機來說卻不能直接理解。所以計算機本身就要通過離散的數(shù)據(jù)來“認識世界”。
計算機所處理的對象都是離散的數(shù)據(jù)。所謂離散的數(shù)據(jù)，可以理解為從本質(zhì)上說計算機只能處理“0”、“1”組成的二進制的數(shù)據(jù)。計算機要進行圖像、文字、聲音等數(shù)據(jù)的處理，必須將其轉(zhuǎn)換成二進制的數(shù)據(jù)表示，
也就是說進行離散化處理。只如音頻處理，只有將連續(xù)變化的聲音轉(zhuǎn)換成二進制的數(shù)據(jù)來表示，這樣計算機才能進行處理。
圖4所示就是計算機將音頻信息離散化的方法。離散化得越“細”，就越能還原聲音的原來面貌?！ ?/p>
4.2簡要分析
計算機采用的二進制使得計算機處理問題具有離散性的特征。前面所述的算法設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性體現(xiàn)，都可以通過二進制來解釋。這涉及一些比較靠近計算機底層的理論，這里不再深究。
5結(jié)論
本文以探究離散數(shù)學(xué)的方式淺析了計算機的離散性問題，特別是在算法設(shè)計與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上，并最終說明計算機采用的二進制是計算機離散性問題的一個關(guān)鍵。
隨著計算機科學(xué)的發(fā)展和實際需求的日益增長，計算機的離散性越來越受到相關(guān)領(lǐng)域的關(guān)注和重視，相信這是一個極具價值的研究領(lǐng)域，值得更深一步的探索。
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