甄鵬華，于振梅
(山東女子學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院， 山東 濟(jì)南 250300)
摘要：數(shù)字電子計(jì)算機(jī)是一個(gè)離散結(jié)構(gòu)，它只能處理離散的或離散化了的數(shù)量關(guān)系，因此，無(wú)論計(jì)算機(jī)科學(xué)本身，還是與計(jì)算機(jī)科學(xué)及其應(yīng)用密切相關(guān)的現(xiàn)代科學(xué)研究領(lǐng)域，都面臨著如何對(duì)離散結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以及如何將已用連續(xù)數(shù)量關(guān)系建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型離散化，從而由計(jì)算機(jī)加以處理的問(wèn)題。實(shí)際上，可以將離散數(shù)學(xué)理解為對(duì)計(jì)算機(jī)問(wèn)題的抽象，離散性可以在算法設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)。計(jì)算機(jī)中也有其他的問(wèn)題表現(xiàn)出了離散性，所以，計(jì)算機(jī)科學(xué)對(duì)離散數(shù)學(xué)的研究不應(yīng)太過(guò)局限，這些表現(xiàn)都可以歸結(jié)為計(jì)算機(jī)所采用的二進(jìn)制。
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；算法設(shè)計(jì)；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；離散性；二進(jìn)制
中圖分類號(hào)：TP301文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI： 10.19358/j.issn.16747720.2016.22.005
引用格式：甄鵬華,于振梅. 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的算法設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35（22）：18-21.
0引言
計(jì)算機(jī)科學(xué)(Computer Science)是一門日新月異的學(xué)科。計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的研究人員時(shí)刻站在國(guó)際先進(jìn)科技的前沿，學(xué)習(xí)新知識(shí)，并向創(chuàng)造新知識(shí)而努力。
但是計(jì)算機(jī)科學(xué)中亦有許多基礎(chǔ)科學(xué)中的理論支持，其與計(jì)算機(jī)的實(shí)際相結(jié)合，構(gòu)成了計(jì)算機(jī)科學(xué)中最基礎(chǔ)的理論。計(jì)算機(jī)問(wèn)題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問(wèn)題，將計(jì)算機(jī)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一種合適的解決方式。
隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的快速發(fā)展，作為其支柱的計(jì)算機(jī)行業(yè)越來(lái)越受到人們重視。然而，人們更加注重程序結(jié)果而不是算法，更疏于關(guān)心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
本文提出了對(duì)算法設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性體現(xiàn)的思路，給抽象解決計(jì)算機(jī)問(wèn)題做一種具體化解釋，以期給讀者建立一種從連續(xù)性到離散性的思維。
1算法
本節(jié)主要以算法來(lái)表述計(jì)算機(jī)中的離散性問(wèn)題。本節(jié)概括了算法的基本概念，并以兩個(gè)算法設(shè)計(jì)的方法來(lái)表述離散性的表現(xiàn)。該節(jié)算法均以C語(yǔ)言描述。
1.1算法的基本概念
算法(algorithm)是指解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述，是一系列解決問(wèn)題的清晰指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問(wèn)題的策略機(jī)制［1］。也就是說(shuō)，能夠?qū)σ欢ㄒ?guī)范的輸入，在有限時(shí)間內(nèi)獲得所要求的輸出。
當(dāng)然，對(duì)于流程型的程序確實(shí)對(duì)算法的要求不高，但對(duì)于人工智能、人機(jī)交互、圖形圖像識(shí)別、音視頻識(shí)別、虛擬現(xiàn)實(shí)、現(xiàn)實(shí)增強(qiáng)、社會(huì)工程學(xué)、數(shù)據(jù)挖掘、大數(shù)據(jù)分析、大型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹⒃朴?jì)算等領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，算法是其關(guān)鍵。
現(xiàn)在流行于手機(jī)的各種美圖軟件中，亦存在較不錯(cuò)的算法設(shè)計(jì)。軟件如何識(shí)別出人臉？如何分析眼睛、鼻子、嘴巴等的位置？如何對(duì)其進(jìn)行一定的“美圖”而不至于讓人無(wú)法分辨？
由計(jì)算機(jī)科學(xué)之父、人工智能之父阿蘭·圖靈(Alan Turing)帶領(lǐng)的小組，在二戰(zhàn)中幫助盟軍設(shè)計(jì)了破譯德國(guó)的密碼系統(tǒng)Enigma的機(jī)器。設(shè)計(jì)機(jī)器的過(guò)程，可以稱作設(shè)計(jì)算法的過(guò)程。圖靈實(shí)際是領(lǐng)導(dǎo)小組成員設(shè)計(jì)出一個(gè)快速解密德國(guó)納粹密碼系統(tǒng)的算法，并為這個(gè)算法設(shè)計(jì)了機(jī)器。
可見(jiàn)，算法其實(shí)是程序的根本。世界頂尖的科技企業(yè)和高等院校進(jìn)行的各種科學(xué)性研究，只要涉及計(jì)算機(jī)或與程序相關(guān)，其中一大重點(diǎn)便是在研究算法。無(wú)論對(duì)于多么龐大的一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)其算法是最基礎(chǔ)也是關(guān)鍵的第一步。
1.2算法體現(xiàn)的離散性
算法設(shè)計(jì)中可以體現(xiàn)出計(jì)算機(jī)科學(xué)中常見(jiàn)的不連續(xù)的特性，即離散性。
1.2.1算法設(shè)計(jì)常用的方法
算法設(shè)計(jì)的方法有很多，亦有很多相關(guān)文獻(xiàn)。此處主要介紹最簡(jiǎn)單的兩種方法［2］，并在后面以此為例。
?。?）遞推法：遞推是序列計(jì)算機(jī)中的一種常用算法。它是按照一定的規(guī)律來(lái)計(jì)算序列中的每個(gè)項(xiàng)，通常是通過(guò)計(jì)算機(jī)前面的一些項(xiàng)來(lái)得出序列中的指定項(xiàng)的值。其思想是把一個(gè)復(fù)雜的龐大的計(jì)算過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)，該算法利用了計(jì)算機(jī)速度快和不知疲倦的機(jī)器特點(diǎn)。
?。?）遞歸法：程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸(recursion)。一個(gè)過(guò)程或函數(shù)在其定義或說(shuō)明中有直接或間接調(diào)用自身的一種方法，它通常把一個(gè)大型復(fù)雜的問(wèn)題層層轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問(wèn)題相似的規(guī)模較小的問(wèn)題來(lái)求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過(guò)程所需要的多次重復(fù)計(jì)算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在于用有限的語(yǔ)句來(lái)定義對(duì)象的無(wú)限集合。一般來(lái)說(shuō)，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進(jìn)段和遞歸返回段。當(dāng)邊界條件不滿足時(shí)，遞歸前進(jìn)；當(dāng)邊界條件滿足時(shí)，遞歸返回。
1.2.2兩種方法的離散性體現(xiàn)
遞推法中，計(jì)算機(jī)用一種比較“傻”的方法來(lái)進(jìn)行一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)算。如算法1，以一個(gè)求最大值的算法來(lái)解釋。
算法1求最大值
int max(int *array, int size)
{
int mval = *array;
int i;
for (i = 1; i < size; i++)
if (array［i］ > mval)
mval = array［i］;
return mval;
}
可見(jiàn)對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，它會(huì)不斷地用已知最大的數(shù)去和數(shù)組中下一個(gè)數(shù)字作比較，直到結(jié)束，即使有很多很多數(shù)字。而人類比較數(shù)字大小的方式就不同了，如果數(shù)字非常多，則可能會(huì)先看看數(shù)字都是幾位的，挑出位數(shù)最高的，如果不止一個(gè),則再去逐個(gè)比較。這是一種連續(xù)性的思維模式。這正是人類習(xí)慣的連續(xù)性思維，初等數(shù)學(xué)都是建立在連續(xù)的基礎(chǔ)上，也亦有了幾何的出現(xiàn)。然而對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，要有這種連續(xù)的思維是很困難的，要設(shè)計(jì)出更加復(fù)雜的算法，才能“模擬”出人類的這種連續(xù)性思維。當(dāng)然，亦有可能是因?yàn)槿祟惖拇竽X這個(gè)“CPU”比較高級(jí)，自身的算法就足夠復(fù)雜，所以人類才擁有連續(xù)性思維。對(duì)于設(shè)計(jì)出更復(fù)雜的算法和更快速的計(jì)算機(jī)來(lái)“模擬”人腦的思維模式，也有相關(guān)研究，亦有不少相關(guān)文獻(xiàn)，這不是本文重點(diǎn)。
遞歸法有時(shí)可以簡(jiǎn)化算法，以求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)為例，如算法2，其改用遞歸算法后如算法3。
算法2求最大公約數(shù)
void swapi(int *x, int *y)
{
int tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
int gcd(int m, int n)
{
int r;
do
{
if (m < n)
swapi(&m, &n);
r=m%n;
m=n;
n=r;
} while (r);
return m;
}
算法3遞歸法求最大公約數(shù)
int gcd(int a,int b)
{
if(a%b)
return gcd(b,a%b);
return b;
}
形象地說(shuō)遞歸法就是“自己調(diào)用自己”。一種離散性的表現(xiàn)與之前的例子類似，這里不再重復(fù)。這里講的是程序運(yùn)行表現(xiàn)的離散性。計(jì)算機(jī)會(huì)在棧中運(yùn)行程序，棧的特點(diǎn)就是“后進(jìn)先出”。在運(yùn)行這個(gè)遞歸的算法時(shí)，需要返回值時(shí)返回一個(gè)“自己”，只不過(guò)參數(shù)不同。直到返回一個(gè)確定的值，再層層返回，如圖1所示。
可見(jiàn)，對(duì)于該算法，計(jì)算機(jī)每遞歸計(jì)算一次，就要向內(nèi)存中Push一次，直到計(jì)算完成，再一次一次Pop出。這是一種計(jì)算的離散性體現(xiàn)，這亦不會(huì)是人類的連續(xù)性的思維方式。
2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
本節(jié)主要以數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表述計(jì)算機(jī)中的離散性問(wèn)題。本節(jié)概括了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本概念，并提出了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性的基本理解。
2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本概念
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的經(jīng)典學(xué)科。字面上來(lái)說(shuō)，就是研究數(shù)據(jù)元素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。根據(jù)數(shù)據(jù)元素之間關(guān)系的不同特性，一般來(lái)說(shuō)可分為四類基本結(jié)構(gòu)：集合、線性結(jié)構(gòu)、樹形結(jié)構(gòu)、圖狀結(jié)構(gòu)或網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)［3］，如圖2所示。這正是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的元素具有的離散性特征。
Nicklaus Wirth憑借“算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)=程序”這一公式獲得了計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)——圖靈獎(jiǎng)。這已足以可見(jiàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的重要性。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)主要討論的是相互之間存在一種或多種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。在任何問(wèn)題中，數(shù)據(jù)元素都不是孤立存在的，而是在它們之間存在著某種關(guān)系，這種數(shù)據(jù)元素相互之間的關(guān)系稱之為結(jié)構(gòu)(structure)。而離散數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，很多大學(xué)的計(jì)算機(jī)專業(yè)將離散數(shù)學(xué)作為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的先導(dǎo)課程。
2.2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性
離散數(shù)學(xué)中的圖論可以說(shuō)就是對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的抽象，這方面的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)相當(dāng)豐富。這里僅對(duì)其做一個(gè)較為簡(jiǎn)單、通俗的理解說(shuō)明。
對(duì)于集合結(jié)構(gòu)，如圖2所示，其元素本身就是離散的、無(wú)關(guān)的。
對(duì)于線性結(jié)構(gòu)的離散性是顯而易見(jiàn)的。前文在介紹算法的離散性時(shí)提到棧的應(yīng)用，可見(jiàn)其離散性。其余線性結(jié)構(gòu)類似。
樹形結(jié)構(gòu)和圖形結(jié)構(gòu)也很好理解，每個(gè)元素本來(lái)是獨(dú)立存在，由于元素之間滿足了某種關(guān)系使其變成了樹形或圖形結(jié)構(gòu)，自然這種關(guān)系是離散的，不連續(xù)的。
實(shí)際上，離散數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的關(guān)系是最為緊密的。離散數(shù)學(xué)中的圖論實(shí)際就是研究一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系［4］。一些離散數(shù)學(xué)中的理論應(yīng)用在計(jì)算機(jī)中，實(shí)現(xiàn)了一些難以解決的問(wèn)題或優(yōu)化了一些原本不恰當(dāng)?shù)姆椒?，例如哈夫?Huffman)樹解決了壓縮編碼的問(wèn)題。
3離散數(shù)學(xué)與數(shù)字電子
本節(jié)將介紹離散數(shù)學(xué)的一些概念，并指出其與數(shù)字電子（主要是數(shù)字信號(hào)）的關(guān)系。
3.1離散數(shù)學(xué)的基本概念
離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的幾個(gè)分支的總稱，是研究基于離散空間而不是連續(xù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。與光滑變化的實(shí)數(shù)不同，離散數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，例如整數(shù)、圖和數(shù)學(xué)邏輯中的命題［5］，不是光滑變化的，而是擁有不等、分立的值［6］。因此離散數(shù)學(xué)不包含微積分和分析等“連續(xù)數(shù)學(xué)”的內(nèi)容。離散對(duì)象經(jīng)常可以用整數(shù)來(lái)枚舉。更一般地，離散數(shù)學(xué)被視為處理可數(shù)集合（與整數(shù)子集基數(shù)相同的集合，包括有理數(shù)集但不包括實(shí)數(shù)集）的數(shù)學(xué)分支［7］。但是，“離散數(shù)學(xué)”不存在準(zhǔn)確且普遍認(rèn)可的定義［8］。實(shí)際上，離散數(shù)學(xué)經(jīng)常被定義為不包含連續(xù)變化量及相關(guān)概念的數(shù)學(xué)，甚少被定義為包含什么內(nèi)容的數(shù)學(xué)。
3.2數(shù)字電子的基本概念與離散性
數(shù)字電子是一門學(xué)科，與計(jì)算機(jī)學(xué)科相互交叉。此處僅以其數(shù)字信號(hào)的基本概念解釋其離散性。
數(shù)字信號(hào)同模擬信號(hào)相對(duì)，模擬信號(hào)是指時(shí)間和數(shù)值都連續(xù)的一組信號(hào)，而數(shù)字信號(hào)是指時(shí)間和數(shù)值都是離散的一組信號(hào)，如圖3所示。從圖3可以看出，這種連續(xù)性與離散性是非常明顯的。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，連續(xù)，意味著其微積分有意義。顯然，對(duì)離散的信號(hào)這是沒(méi)有意義的。這里不再深究。
4計(jì)算機(jī)中的離散性問(wèn)題
本節(jié)主要介紹二進(jìn)制體現(xiàn)出來(lái)的離散性問(wèn)題，并歸結(jié)出計(jì)算機(jī)中的離散性問(wèn)題基本都與計(jì)算機(jī)采用的二進(jìn)制的性質(zhì)有關(guān)。
4.1二進(jìn)制
計(jì)算機(jī)中以二進(jìn)制進(jìn)行存儲(chǔ)和運(yùn)算，這涉及邏輯數(shù)學(xué)的一些概念。實(shí)際上，邏輯運(yùn)算亦能體現(xiàn)離散性。這與計(jì)算機(jī)的運(yùn)算是有映射關(guān)系的。
4.1.1基本概念
二進(jìn)制是逢2進(jìn)位的進(jìn)位制?！?”、“1”是基本算符。現(xiàn)代的電子計(jì)算機(jī)技術(shù)全部采用的是二進(jìn)制，因?yàn)樗皇褂谩?”、“1”這兩個(gè)數(shù)字符號(hào)，非常簡(jiǎn)單方便，易于用電子方式實(shí)現(xiàn)［9］。
由于人類習(xí)慣使用十進(jìn)制，可以這樣表述二進(jìn)制：二進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)的位權(quán)（理解為“1”能有多“大”）為2n-1（n為位數(shù)）。這樣可以充分理解二進(jìn)制數(shù)的“大小”。
4.1.2體現(xiàn)
計(jì)算機(jī)是一個(gè)只認(rèn)識(shí)“0”、“1”的機(jī)器，對(duì)于人類來(lái)說(shuō)很容易理解的信息（如圖片、音視頻）對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)卻不能直接理解。所以計(jì)算機(jī)本身就要通過(guò)離散的數(shù)據(jù)來(lái)“認(rèn)識(shí)世界”。
計(jì)算機(jī)所處理的對(duì)象都是離散的數(shù)據(jù)。所謂離散的數(shù)據(jù)，可以理解為從本質(zhì)上說(shuō)計(jì)算機(jī)只能處理“0”、“1”組成的二進(jìn)制的數(shù)據(jù)。計(jì)算機(jī)要進(jìn)行圖像、文字、聲音等數(shù)據(jù)的處理，必須將其轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的數(shù)據(jù)表示，
也就是說(shuō)進(jìn)行離散化處理。只如音頻處理，只有將連續(xù)變化的聲音轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的數(shù)據(jù)來(lái)表示，這樣計(jì)算機(jī)才能進(jìn)行處理。
圖4所示就是計(jì)算機(jī)將音頻信息離散化的方法。離散化得越“細(xì)”，就越能還原聲音的原來(lái)面貌?！ ?/p>
4.2簡(jiǎn)要分析
計(jì)算機(jī)采用的二進(jìn)制使得計(jì)算機(jī)處理問(wèn)題具有離散性的特征。前面所述的算法設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的離散性體現(xiàn)，都可以通過(guò)二進(jìn)制來(lái)解釋。這涉及一些比較靠近計(jì)算機(jī)底層的理論，這里不再深究。
5結(jié)論
本文以探究離散數(shù)學(xué)的方式淺析了計(jì)算機(jī)的離散性問(wèn)題，特別是在算法設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上，并最終說(shuō)明計(jì)算機(jī)采用的二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)離散性問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵。
隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和實(shí)際需求的日益增長(zhǎng)，計(jì)算機(jī)的離散性越來(lái)越受到相關(guān)領(lǐng)域的關(guān)注和重視，相信這是一個(gè)極具價(jià)值的研究領(lǐng)域，值得更深一步的探索。
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