張美娟

　　(南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003）

       摘要：針對(duì)MIMO系統(tǒng)信道的聯(lián)合稀疏特性，提出一種基于分布式壓縮感知(DCS)的MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)方法。分布式壓縮感知（DCS）被視為分布式信源編碼和壓縮感知（CS）的結(jié)合，論文詳細(xì)論證了分布式壓縮感知理論在MIMO-OFDM系統(tǒng)中運(yùn)用的可行性。將該算法與基于壓縮感知理論的CoSAMP算法做比較，仿真結(jié)果表明，基于DCS算法的信道估計(jì)不僅性能更優(yōu)，而且可以實(shí)現(xiàn)更低的時(shí)間復(fù)雜度。

　　關(guān)鍵詞：分布式壓縮感知；MIMO-OFDM；信道估計(jì)

0引言

　　多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技術(shù)在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，MIMO通信系統(tǒng)與OFDM技術(shù)相結(jié)合，可以有效地提高無線通信系統(tǒng)的頻譜利用率和傳輸鏈路的可靠性，增大系統(tǒng)容量。在目前常用的MIMOOFDM通信系統(tǒng)中，接收端一般通過相干檢測(cè)進(jìn)行信號(hào)解調(diào)，相比于非相干解調(diào)可以獲得更大的輸出信噪比，因此需要精確地估計(jì)出信道的狀態(tài)信息。

　　MIMOOFDM系統(tǒng)信道在任何一對(duì)發(fā)送接收天線之間呈現(xiàn)聯(lián)合稀疏特性，利用這種聯(lián)合稀疏特性進(jìn)行信道估計(jì)，可以獲得更好的信道估計(jì)性能。分布式壓縮感知（Distributed Compressed Sensing, DCS）理論為上述信道估計(jì)方法提供了理論基礎(chǔ)。

　　壓縮感知理論［1 5］是根據(jù)各個(gè)信號(hào)之間的相關(guān)性來實(shí)現(xiàn)的。在MIMOOFDM無線通信系統(tǒng)中，各天線傳送的信息進(jìn)行聯(lián)合編碼，根據(jù)各子信道間的相關(guān)性研究DCS理論。在文獻(xiàn)［6］中，BARON D等人首次提出了分布式壓縮感知理論的概念，并做了相關(guān)的理論研究，之后在文獻(xiàn)［7］中證明了譯碼端需要測(cè)量值的上限和下限。在文獻(xiàn)［8］中，DUARTE M F等人針對(duì)MIMO通信系統(tǒng)、語(yǔ)音信號(hào)等應(yīng)用場(chǎng)景設(shè)計(jì)了聯(lián)合稀疏模型，并根據(jù)稀疏模型設(shè)計(jì)了信號(hào)的聯(lián)合譯碼算法。

　　本文提出將分布式壓縮感知［6 8］算法應(yīng)用于MIMOOFDM系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì)，在考慮信號(hào)之間相關(guān)性的情況下可以有效地減少信號(hào)的采樣數(shù)，將該算法與其他重構(gòu)算法做比較，得出該算法以增加部分算法復(fù)雜度換取了較優(yōu)的信道估計(jì)性能。

1MIMO理論與分布式壓縮感知

　　1.1MIMO技術(shù)原理

　　假設(shè)一個(gè)MIMOOFDM系統(tǒng)的發(fā)送端天線數(shù)為nt，接收端的接收天線數(shù)量為nr，在第n根發(fā)送天線上傳送的OFDM符號(hào)可以表示為：其中，XLn表示在第n根發(fā)送天線上傳送的第L個(gè)子載波的數(shù)據(jù)信息。在接收端，第m個(gè)接收天線接收到的第L個(gè)子載波的數(shù)據(jù)信息可以表示為：

　　其中，Hkn,m表示從發(fā)送端第n個(gè)天線到接收端第m個(gè)接收天線之間的信道的衰落因子，Wkm表示第k個(gè)子載波上的信道高斯白噪聲，矩陣形式可以表示為：

　　其中，表示nt維的信號(hào)發(fā)送向量，表示nr維的信號(hào)接收向量，…,Wknr表示nr維的信道高斯白噪聲，Hk表示信道的空間變換矩陣。

　　1.2分布式壓縮感知

　　分布式壓縮感知理論主要依賴于信號(hào)間的聯(lián)合稀疏。BARON D等人［68］的研究提出了3種有效的聯(lián)合稀疏模型（Joint Sparse Model, JSM）,分別是根據(jù)一些可能的使用場(chǎng)景提出來的。

　?。?）第一聯(lián)合稀疏模型（JSM1）

　　在JSM1模型中，信號(hào)集中的每一個(gè)信號(hào)都是由通用部分加上特征部分兩部分所組成。信號(hào)的通用部分表示信號(hào)集中信號(hào)的相似部分，特征部分表示每個(gè)信號(hào)所特有的部分。假設(shè)信號(hào)集中信號(hào)的通用部分和特征部分在某一個(gè)稀疏域上都具有稀疏特性。則可以表示為：

　　其中，Zc=ψΘc，Θc0=Kc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，J表示信號(hào)集中信號(hào)的個(gè)數(shù)。

　　對(duì)于信號(hào)集中的信號(hào)Xj而言是由兩部分組成，Zc是稀疏信號(hào)的通用部分，稀疏信號(hào)Zc在稀疏基Ψ上的稀疏度為Kc；Zj表示稀疏信號(hào)的特征部分，稀疏信號(hào)Zj在稀疏基Ψ上的稀疏度為Kj。此外，用參數(shù)Ic表示系數(shù)矩陣Θc的指標(biāo)集合，即系數(shù)矩陣Θc中所有非零元素的具體位置；參數(shù)Ij表示的是系數(shù)矩陣Θj的指標(biāo)集合。

　?。?）第二聯(lián)合稀疏模型（JSM2）

　　JSM2模型的典型應(yīng)用場(chǎng)景便是MIMOOFDM系統(tǒng)。在JSM2模型中，信號(hào)集中的所有信號(hào)在某一個(gè)稀疏基上都具有稀疏特性，而且所有信號(hào)經(jīng)過這個(gè)稀疏基變換后，所有非零元素的所在位置均相同，只是元素在該位置的幅度有所差異。JSM2模型信號(hào)集中的所有信號(hào)的稀疏基相同而系數(shù)矩陣不同，表示如下：

　　其中，Θj0=K，而且{Θj}(j∈{1,2,…，J})具有相同的稀疏基Ψ。信號(hào)集中所有信號(hào)的非零元素標(biāo)號(hào)一樣，原信號(hào)Xj的稀疏度均為K。

　?。?）第三聯(lián)合稀疏模型（JSM3）

　　JSM3的典型應(yīng)用場(chǎng)景是帶噪聲的MIMOOFDM通信系統(tǒng)。在JSM3模型中，首先對(duì)非稀疏的通用部分信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)重構(gòu)，獲得通用部分的信息，然后用整個(gè)接收信號(hào)減去估計(jì)出來的通用部分，將剩下的稀疏特征部分進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)。實(shí)際上JSM3模型可以看作是對(duì)JSM1模型的一個(gè)擴(kuò)展，JSM3模型可以表示為：

　　其中Zc=ΨΘc，Zj=ΨΘj，Θj0=Kj，而且Zc是非稀疏的。在JSM3模型中，由于信號(hào)的通用部分不具有稀疏性，因此不可以對(duì)信號(hào)的通用部分和特征部分分別進(jìn)行獨(dú)立重構(gòu)，只能進(jìn)行信號(hào)的聯(lián)合重構(gòu)。

2MIMOOFDM系統(tǒng)模型

　　在MIMOOFDM通信系統(tǒng)中，假設(shè)有nt個(gè)發(fā)送天線和nr個(gè)接收天線，OFDM調(diào)制的子載波數(shù)為N，用g(n,m)表示第m個(gè)發(fā)送天線和第n個(gè)接收天線之間的信道沖擊響應(yīng)（Channel Impulse Response, CIR）, 則在第m個(gè)發(fā)送天線和第n個(gè)接收天線所傳送信號(hào)的第k個(gè)子載波上的信道頻率響應(yīng)（Channel Frequency Response, CFR）可以表示如下：

　　對(duì)于某一確定的t時(shí)刻，接收端接收到的Nnr維接收信號(hào)可以表示為：

　　其中，X=(X1,X2,…，Xnt)是一個(gè)Nnrt×Nntnr維的對(duì)角陣，X可以表示為：

　　在式(8)中，xkm=［xkm(1),xkm(2)，…，xkm(t)］表示為第m個(gè)發(fā)送天線在時(shí)刻t傳輸?shù)男盘?hào)在第k個(gè)子載波上的信息。F是一個(gè)Nnrnt×Lntnr維的對(duì)角陣，可以表示為：

　　其中，P表示N×L的離散傅里葉變換矩陣。h表示Lntnr×1的信道沖擊響應(yīng)矩陣，具體表示為：

　　其中，h(n,m)表示第m個(gè)發(fā)送天線到第n個(gè)接收天線之間的L×1信道沖擊響應(yīng)矩陣。式(7)中的w表示Nnrt×1的加性高斯白噪聲，可以通過向量表示為w=(w1,w2,…,wnr),其中wn=［w1n(1),w1n(2),…,w1n(t),…,wNn(1),wNn(2)，…，wNn(t)］T是一個(gè)Nt×1的高斯白噪聲矩陣，wkn(t)表示在t時(shí)刻，第n個(gè)接收天線接收到信號(hào)的第k個(gè)子載波上的噪聲信號(hào)，噪聲信號(hào)的均值為0，方差為σ2w。

　　根據(jù)壓縮感知理論，Nnr×Lntnr維的測(cè)量矩陣Z根據(jù)下式計(jì)算：

　　接收到的測(cè)量矩陣y則表示為：

3MIMOOFDM系統(tǒng)信道估計(jì)

　　3.1基于CoSAMP算法的信道估計(jì)方法

　　壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit ,CoSAMP）算法也是一種貪婪迭代算法。對(duì)于稀疏度較高的信號(hào)，CoSAMP有更好的重構(gòu)性能。CoSAMP算法有效地結(jié)合了貪婪迭代算法的高效性和凸優(yōu)化算法的穩(wěn)定性。

　　CoSAMP算法實(shí)現(xiàn)的基本思想是：當(dāng)信號(hào)的稀疏度K已知時(shí)，計(jì)算重構(gòu)出來的信號(hào)和信號(hào)殘差之間的相關(guān)性，選取其中相關(guān)性最大的2K個(gè)元素，將這2K個(gè)元素的索引值及其所對(duì)應(yīng)的原子加入到信號(hào)原子的候選集中，然后從該候選集中刪除部分原子使其剩余的原子數(shù)等于信號(hào)的稀疏度K。當(dāng)?shù)拇螖?shù)等于信號(hào)的稀疏度，或者信號(hào)殘差小于預(yù)設(shè)置的閾值時(shí)，迭代停止。

　　CoSAMP算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

　　輸入：觀測(cè)矩陣Φ，測(cè)量矩陣y，信號(hào)稀疏度K；

　　輸出：x的K稀疏逼近；

　　初始化：迭代次數(shù)k=1，殘差r=y，索引集S=,J=，原子候選集Ω=；

　　(1)計(jì)算恢復(fù)信號(hào)和殘差間的相關(guān)系數(shù)u=|〈y，rk-1〉|，選出其中最大的2K個(gè)列向量并將其標(biāo)號(hào)計(jì)入J中；

　?。?）將第（1）步中的列向量合并到索引集中Sk=Sk-1∪J；

　　(3)將索引集中的原子刪除部分留下K個(gè)原子加入到候選集Ωk中；

　　(4)根據(jù)LS準(zhǔn)則計(jì)算k；

　　(5)更新殘差：r=y-Φk，k=k+1；

　　(6)檢查殘差值和k的值，若滿足迭代停止條件，則停止迭代；否則，返回第(1)步繼續(xù)計(jì)算；

　　(7)重構(gòu)出x的K稀疏逼近。

　　3.2基于DCS算法的信道估計(jì)方法

　　DCS算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟表示如下：

　　輸入：測(cè)量矩陣Φm，觀測(cè)向量ynm；

　　輸出：hnm的近似估計(jì)nm；

　　初始化：初始值nm=0，殘差rnm=ynm，迭代次數(shù)k=0，稀疏索引j=0，原子候選集Ω=；

　　(1)增加迭代次數(shù)：k=k+1，增加稀疏指數(shù)：j=j+1；

　　(2)計(jì)算信道估計(jì)差值：enm=Φ+mrnm；

　　(3)合并信道估計(jì)殘差：e=∑ntm=1∑nrn=1(enm·enm)；

　　(4)更新原子支撐集：Ωk=sup{e,2j}，Tnm=Ωk∪sup{nm,j-1}；

　　(5)計(jì)算信道估計(jì)值：bnm|Tnm=Φ+m|Tnm·y+nm，bnm|TCnm=0；

　　(6)計(jì)算信道相關(guān)性：Λ=sup(b,j)；

　　(7)更新信道估計(jì)結(jié)果：nm|Λ=bnm|Λ，nm|Λc=0；

　　(8)更新殘差：rnm=ynm-ΦMnm；

　　(9)檢查殘差值rnm，若滿足迭代停止條件，則停止算法的迭代；否則，返回第(1)步繼續(xù)迭代計(jì)算。

4仿真與性能分析

　　仿真參數(shù)設(shè)定如下：發(fā)送天線數(shù)nt=2，子載波數(shù)N=16，32，64，128，接收天線數(shù)nr=2，車載CIR長(zhǎng)度L=78，子載波調(diào)制方式為BPSK，信道類型為瑞利衰落信道，信道稀疏度s=8，抽樣頻率為30.72 MHz。

　　仿真結(jié)果通過歸一化均方誤差（Mean Square Error，MSE）這一參數(shù)衡量各不同算法的性能。MSE定義為：

　　第一組仿真結(jié)果分析了在N=16和L=312時(shí)，車載移動(dòng)信道環(huán)境下的2×2 MIMOOFDM系統(tǒng)MSE性能。對(duì)接收信號(hào)觀測(cè)的時(shí)間間隔為t=20 μs。仿真結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯?，DCS算法和CoSAMP算法的性能相差無幾，但是，DCS算法的收斂迭代次數(shù)T=8，而CoSAMP算法的收斂迭代次數(shù)L=312。因此，DCS算法相對(duì)于CoSAMP算法可以通過很少的迭代來實(shí)現(xiàn)同樣的性能，DCS算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度更低，節(jié)省算法的計(jì)算時(shí)間。

　　第二組和第三組仿真比較了當(dāng)L=312，N的值分別為32和64時(shí)的MSE性能。對(duì)接收信號(hào)觀測(cè)的時(shí)間間隔為t=20 μs。從圖2、3仿真結(jié)果可以看出，DCS算法相對(duì)于CoSAMP算法自始至終保持了一定的性能優(yōu)勢(shì)。雖然DCS算法和CoSAMP算法在增加信噪比時(shí)，系統(tǒng)性能相對(duì)于傳統(tǒng)信道估計(jì)算法都有著明顯的提升，但是DCS算法相對(duì)于CoSAMP算法其性能優(yōu)勢(shì)更為明顯，自始至終DCS算法都對(duì)CoSAMP算法保持著5 dB的性能優(yōu)勢(shì)。

　　第四組仿真結(jié)果比較了當(dāng)L=312時(shí)，在不同子載波數(shù)情況下的MSE性能。設(shè)接收信號(hào)觀測(cè)的時(shí)間間隔為t=20 μs。仿真結(jié)果如圖4?？梢钥闯?，MSE性能隨著子載波數(shù)的增加而增加。這是因?yàn)镹值越高意味著可以得到更多的測(cè)量結(jié)果來估計(jì)信道沖擊響應(yīng)的長(zhǎng)度L。當(dāng)子載波數(shù)N達(dá)到256時(shí)，DCS算法甚至可以用來估計(jì)信道長(zhǎng)度L高達(dá)312的信道沖擊響應(yīng)。

　　仿真結(jié)果和上述的分析表明，DCS算法相對(duì)于一般的CS算法（比如CoSAMP算法）有更好的信道估計(jì)性能。仿真環(huán)境為車載MIMOOFDM系統(tǒng)的無線移動(dòng)信道，DCS算法和CoSAMP算法在子載波數(shù)小于信道沖擊響應(yīng)的長(zhǎng)度的情況下，DCS算法的性能更好，復(fù)雜度更低。此外，DCS算法不需要以信道的稀疏度作為先驗(yàn)條件，更為符合實(shí)際工程應(yīng)用。

　　參考文獻(xiàn)

　　［1］ PAREDES J I,ARCE G R,Wang Zhongnin.Ultra wideband compressed sensing channel estima tion ［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2007,1(3):383 395.

　?。?］ 石光明,劉丹華,高大化,等.壓縮感知理論及其進(jìn)展［J］.電子學(xué)報(bào),2009,37(5):1070 1081.

　?。?］ 馬堅(jiān)偉,徐杰,鮑躍全,等.壓縮感知及其應(yīng)用:從稀疏約束到低秩約束優(yōu)化［J］.信號(hào)處理,2012,28(5):609 623.

　　［4］ 王妮娜,桂冠,張治,等.基于壓縮感知的MIMO系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)方法研究［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào),2011,29(4):347 352.

　?。?］ 葉新榮,朱衛(wèi)平,孟慶民.MIMOOFDM系統(tǒng)基于壓縮感知的稀疏信道估計(jì)［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào),2013,31(3):245 251.

　　［6］ BARON D, WAKIN M B, SARVOTHAM S,et al. Distributed compressive sensing［R］.Technieal Report, Preprint,2005：1 7.

　?。?］ BARON D, WAKIN M B, SARVOTHAM S,et al. An information theoretic approach to distributed compressed sensing［C］.Conference on Communication,Control,and Computing,Allerton,2005：1 6.

　?。?］ DUARTE M F, SARVOTHAM S, BARON D,et al. Distributed compressed sensing of jointly sparse signals［C］. Proceedings of the 39th Asilomar Conference on Signals,Systems and Computation,2005：1537 1541.