文獻標識碼: A
DOI:10.16157/j.issn.0258-7998.2016.08.024
中文引用格式: 倪培峰,胡雄. 一種基于改進閾值函數(shù)的小波閾值降噪算法[J].電子技術(shù)應用,2016,42(8):98-100,104.
英文引用格式: Ni Peifeng,Hu Xiong. A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function[J].Application of Electronic Technique,2016,42(8):98-100,104.
0 引言
實際的工程測量測試中,工程信號在采集和傳輸過程中,總會因外界的干擾引入噪聲,為了準確地獲得有用信號,降噪是信號分析前必須經(jīng)過的預處理環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)降噪方法的不足在于使信號變換后的熵增高,無法刻畫信號的非平穩(wěn)特性并且無法得到信號的相關(guān)性[1]。而小波變換在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì),并且小波變換具有眾多優(yōu)良的特性,如多分辨率特性、低熵性、去相關(guān)性和選基靈活性等。這些特性很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足,使得小波變換適用于信號的降噪處理。因此利用小波變換進行降噪,已經(jīng)成為近幾年研究的熱點。
運用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類:MATLAB提出的模極大值處理算法[2];XU提出的空域相關(guān)降噪算法[3];DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中,以閾值降噪算法最為常用。閾值降噪算法中,通過對分解后的小波系數(shù)進行閾值處理以達到降噪的目的。最常用的閾值函數(shù)是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù),但這兩種函數(shù)也存在不足之處。采用硬閾值函數(shù)時,由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù),導致重構(gòu)信號可能出現(xiàn)局部震蕩;采用軟閾值函數(shù)時,與真實小波系數(shù)之間存在恒定的偏差,導致重構(gòu)后信號的精度下降[5]。針對軟、硬閾值函數(shù)存在的缺點和不足,本文提出一種新的閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)既保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性,又能避免軟閾值固定偏差的缺點。并通過MATLAB仿真分析驗證了改進的小波閾值降噪算法優(yōu)于傳統(tǒng)閾值算法。
1 小波閾值降噪原理
假設(shè)一維離散含噪信號由式(1)表示:
其中,X(k)是含噪信號;S(k)是原始標準信號;E(k)是疊加的高斯白噪聲,其服從N(0,σ2)分布。
小波變換后,有用信號的能量集中于幅值較大的小波系數(shù),而噪聲能量則分布在整個小波域中[6]。因此,較大的小波系數(shù)是由有用信號引起的,較小的小波系數(shù)則代表噪聲?;谛〔ㄏ禂?shù)的特征,DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法。首先確定一個閾值,即選擇一個合適的數(shù),當小波分解系數(shù)小于閾值時,認為這部分系數(shù)主要是由噪聲引起的,予以舍棄;當系數(shù)大于閾值時,認為這是由信號引起的小波分解系數(shù),就把這一部分進行閾值處理,然后用閾值處理后的量化系數(shù)進行重構(gòu),即為降噪后的信號。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示。
2 改進閾值算法
閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果。如果閾值取得太小,噪聲依然存在;如果閾值取得太大,那么有用信號的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示:
其中,N為信號的長度,σ為噪聲的均方差估計值,由式(3)給出:
因為通用閾值有過扼殺有用信號的風險,文獻[6]提出一種基于層間相關(guān)性的閾值選取方法。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合分層閾值的思想對該閾值算法進行改進,如式(4)所示:
其中,r為常數(shù),Tj,n為小波分解第j層位置n處的閾值,λj為第j層的閾值,其表達式如式(5)所示:
式中,Wj,k為第j層上的小波系數(shù),j為分解層數(shù)。
K(n)為定義的一個參數(shù),用來表征小波系數(shù)的層間相關(guān)性,其定義如式(6)所示:
式中,W(:,n)表示點n處的所有小波系數(shù)。
當K(n)∈[0,r),點n處的小波系數(shù)相關(guān)性較強,點n處可能是一個信號點;當K(n)∈[r,+∞),點n處的相關(guān)性較差,該點可能是由噪聲引起的。由式(4)可知,新閾值方法通過比較小波系數(shù)層間相關(guān)性,對不同點n的閾值進行修正。當K(n)∈[0,0.5r)時,小波系數(shù)間的相關(guān)性很大,該點非常有可能是純信號點,對閾值進行收縮,取為0.7λj;當K(n)∈[0.5r,0.8r)時,小波系數(shù)的相關(guān)性比較大,該點有可能是信號點,該點的閾值取為0.8λj;當K(n)∈[0.8r,r)時,相關(guān)性較大,該點依舊可能是信號點,減小閾值收縮程度,取為0.9λj;當K(n)∈[r,+∞)時,認為小波系數(shù)的相關(guān)性較小,該點幾乎不可能是純信號點,將閾值取為λj。
K(n)在計算時,要求不同層上的小波分解系數(shù)的數(shù)目一致,因此需要采用平穩(wěn)小波變換(SWT)。r是測量小波系數(shù)相關(guān)性的一個重要參數(shù),取值太小,可能會過扼殺有用信號,取值過大,可能會保留較多的噪聲信息。通過相關(guān)實驗,r取為0.5~1.5之間時,降噪效果比較好。本文中,r取為1。
3 構(gòu)造新閾值函數(shù)
傳統(tǒng)的閾值函數(shù)是由DONOHO提出的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù),軟閾值函數(shù)定義如式(7)所示,硬閾值函數(shù)定義如式(8)所示。
硬閾值函數(shù)在小波域內(nèi)存在間斷點,在重構(gòu)信號時會出現(xiàn)局部震蕩現(xiàn)象;軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)連續(xù),但是閾值處理后的小波系數(shù)與真實小波系數(shù)存在恒定偏差,會造成信號高頻有用信息的丟失。
本文結(jié)合文獻[8]與文獻[9]中的方法,構(gòu)造了一個新的閾值函數(shù),如式(9)所示:
其中,且α為正數(shù),β為正數(shù)。
由式(9)可知,當|Wj,k|→±λ時,,即新閾值函數(shù)在Wj,k=±λ處是連續(xù)的,克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷,重構(gòu)信號不會有震蕩產(chǎn)生;當Wj,k→±∞時,
,
即當小波系數(shù)足夠大時,新閾值函數(shù)等同于硬閾值函數(shù),從而克服了軟閾值函數(shù)
之間具有恒定偏的問題;同時新閾值函數(shù)具有高階可導性。從表達式中可以看出,當α→0且β→0時,新閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù);當α→+∞時,u→1,新閾值函數(shù)即為硬閾值函數(shù);適當選取α和β的值,新閾值函數(shù)可以在硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)之間進行調(diào)整,靈活性更強。硬、軟閾值函數(shù)的圖形如圖2(a)、圖2(b)所示,選取不同的α和β的新閾值函數(shù)如圖2(c)、圖2(d)所示。
4 仿真分析
為了驗證本文降噪算法的有效性,用MATLAB對其進行仿真試驗。選用Matlab自帶的Heavy sine 信號,對其加入一定的高斯白噪聲,并用軟閾值降噪算法、硬閾值降噪算法、本文新閾值降噪算法分別對其做降噪處理,其結(jié)果如圖3所示。其中,選用sym4小波基,分解層數(shù)選為3層,新閾值函數(shù)中將α取為0.1,β取為7。
從視覺上,降噪效果很難評價,為了量化地評價降噪性能,采用信噪比和均方根誤差[10]作為評價指標。信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值,記為SNR,其值越大,信號中噪聲含量越少,降噪效果越好;均方根誤差指重構(gòu)信號與原始信號的均方誤差,記為RMSE,均方根誤差體現(xiàn)了原始信號和降噪之后的信號間的差異,均方根誤差越小,表示重構(gòu)信號與原始信號的差異越小,即降噪效果越好。其表達式分別如式(10)和式(11)所示。
式中,x(i)為原始無噪聲信號;為降噪后的信號。
各種降噪方法的性能指標如表1所示。從表中可以看出,改進的閾值降噪算法相比于其他算法,降噪后信噪比最大,均方根誤差最小,所以改進的閾值降噪算法優(yōu)于其他算法。
5 總結(jié)
本文分析了小波閾值降噪的原理,針對軟、硬閾值函數(shù)的缺點,結(jié)合相關(guān)文獻,提出了一種新的閾值函數(shù),該閾值函數(shù)可以通過調(diào)整α和β參數(shù)來調(diào)整閾值函數(shù),進而獲得最佳的降噪效果。本文基于改進的新閾值函數(shù),并結(jié)合改進的閾值確定方法,提出了一種新的閾值降噪算法。利用MATLAB進行仿真分析,實驗結(jié)果表明,本閾值降噪算法降噪性能優(yōu)于其他常用算法。
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