顧天1,李曉麗1,趙曙光1,鄭鵬遠(yuǎn)2
(1.東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620; 2.上海電力學(xué)院 自動(dòng)化工程學(xué)院,上海 200090)
摘要:網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴(kuò)展,趨向于龐大復(fù)雜化。文章針對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部信息傳遞所帶來(lái)的控制滯后等問(wèn)題,在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的研究基礎(chǔ)上引入能控性指數(shù)的概念,用以描述網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的性能指標(biāo);基于二分圖提出算法獲得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù),并提供每個(gè)控制量相應(yīng)的控制鏈,為后續(xù)劃分大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)群等研究工作提供科學(xué)依據(jù)。
關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng);二分圖;能控性指數(shù)
0引言
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,出現(xiàn)了越來(lái)越多規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),其通常具有空間分布式特征,例如跨區(qū)域的電力網(wǎng)、縱橫交錯(cuò)的交通網(wǎng)等。對(duì)網(wǎng)絡(luò)中若干節(jié)點(diǎn)施加控制以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)能控,對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性進(jìn)行分析,可望在進(jìn)入定量研究前先得到全局的指導(dǎo)信息[1] ,有助于理解各控制量對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的影響。目前網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性是指在不限制控制步數(shù)的情況下,通過(guò)施加控制量使其可控,但隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴(kuò)大,網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各個(gè)組成部分彼此間傳遞信息或狀態(tài)會(huì)帶來(lái)控制作用滯后等問(wèn)題[2]。通過(guò)基于能控性指數(shù)的算法研究可以將大網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分散化進(jìn)行控制,縮短了控制過(guò)程。
1問(wèn)題描述及判據(jù)
大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和不穩(wěn)定性。針對(duì)高維性、非線(xiàn)性的大系統(tǒng),研究其可控性問(wèn)題十分復(fù)雜,可以將其轉(zhuǎn)化為在一定范圍內(nèi)按不同工作點(diǎn)線(xiàn)性化所得的線(xiàn)性系統(tǒng),進(jìn)而分析轉(zhuǎn)化后的線(xiàn)性系統(tǒng)是否可控[1] ??紤]由n個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):
(t)=Ax(t)+Bu(t)(x∈Rn,u∈Rm)(1)
令G(α,β)為一個(gè)有向圖用以描述網(wǎng)絡(luò),節(jié)點(diǎn)集α={1,2...n},邊集β=α×α,一條邊(i,j)∈β表示節(jié)點(diǎn)i可達(dá)節(jié)點(diǎn)j,但反之不成立。由i向j所建立的聯(lián)系表示為aij,無(wú)法建立聯(lián)系則為0。j為i的鄰接節(jié)點(diǎn),定義Ni為i的所有鄰接節(jié)點(diǎn)的集合,j∈Ni。n×n維常值矩陣A用以描述網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)情況;B為n×m維常值輸入矩陣,表示控制器對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響[3],若對(duì)節(jié)點(diǎn)j直接施加控制器uj則表示為bj。
定義1:系統(tǒng)(1)可控的充要條件:
rank[B,AB,A2B...An-1B]=n(2)
網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控表明其可由任意初始狀態(tài)受控制器驅(qū)動(dòng)到達(dá)任何所需的最終狀態(tài)[4]。其中矩陣An-1B本質(zhì)上體現(xiàn)了從控制器出發(fā)在n-1步路徑內(nèi)與網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)建立了聯(lián)系,根據(jù)定義1引入網(wǎng)絡(luò)能控性指數(shù)μ,對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),能控性指數(shù)μ定義如下:
定義2:系統(tǒng)(1)k步可控的充要條件:
gr[B,AB,A2B...AkB]=n(3)
滿(mǎn)足式(3)的k的最小值即為能控性指數(shù)μ。
圖1為由4個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),對(duì)其進(jìn)行分析。
其中常值矩陣A、B為:
分析發(fā)現(xiàn)gr[B,AB,A2B,A3B]=4,符合定義1與定義2,表明該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控,也可稱(chēng)之為3步可控。同時(shí)gr[B,AB]=4,符合定義2,而gr[B]<4,則滿(mǎn)足條件的k的最小值為1,即能控性指數(shù)為1,控制鏈如圖2所示。
2算法
將一個(gè)圖的頂點(diǎn)劃分為兩個(gè)不相交集U和V,使得連邊分別連接U、V中的頂點(diǎn),若存在這樣的劃分則此圖就是一個(gè)二分圖,而邊數(shù)最多的匹配方法即為最大匹配[5]。通過(guò)最大匹配能解決很多實(shí)際問(wèn)題,如棋盤(pán)走法、配對(duì)問(wèn)題等。匈牙利數(shù)學(xué)家Edmonds對(duì)二分圖的最大匹配進(jìn)行研究并得到一種普適性的匈牙利算法。
2.1匈牙利算法
以圖3為例介紹匈牙利算法的基本思想。
首先從1開(kāi)始匹配:1-A,2-C,3-A,如圖3加粗路線(xiàn),此時(shí)由于A已匹配給1,因此將1-A轉(zhuǎn)變?yōu)?-B,從而成功匹配3-A,如圖4所示。
1繼續(xù)匹配4,4-C,如圖4所示。此時(shí)由于C已經(jīng)匹配給2,為了形成更多的匹配邊,因此將4-C轉(zhuǎn)變?yōu)?-D。最終圖5匈牙利算法步驟2最大匹配方案為1-B、2-C、3-A、4-D,如圖5所示。
2.2算法Aci
研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控性時(shí),可以將網(wǎng)絡(luò)表示為二分圖,利用最大匹配理論匹配盡可能多的邊,得出為使網(wǎng)絡(luò)可控的一種控制器選取方案,而本文基于可控網(wǎng)絡(luò)分析匹配方案以獲取能控性指數(shù)。
假設(shè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如圖6所示。
通過(guò)匈牙利算法可知對(duì)節(jié)點(diǎn)1、3、5、9施加控制可使該網(wǎng)絡(luò)可控,但分析控制方案時(shí)會(huì)出現(xiàn)圖7所示匹配方式:
由控制器u5控制的節(jié)點(diǎn)群5-6-7-2-8形成了一條控制鏈,但相比于1、3-4、9-10,該條控制鏈顯得較長(zhǎng),易影響控制作用。
在已知網(wǎng)絡(luò)可控的基礎(chǔ)上,從各控制量出發(fā),根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的可達(dá)關(guān)系逐步匹配節(jié)點(diǎn)形成或長(zhǎng)或短的控制鏈。將一條控制鏈看作一個(gè)子系統(tǒng),當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)劃分成若干子系統(tǒng)后,若其分別為k1,k2,…kn步可控,定義其中最大值為kmax,則整個(gè)大系統(tǒng)稱(chēng)為kmax步可控。kmax需盡可能小,當(dāng)其取值最小時(shí)即為能控性指數(shù)μ。
以控制器直接控制的節(jié)點(diǎn)i為起始點(diǎn),同時(shí)進(jìn)行匹配。由網(wǎng)絡(luò)可控可知每個(gè)節(jié)點(diǎn)都必存在于匹配邊中,因此若匹配完成后仍有節(jié)點(diǎn)未被匹配,則必須改變某節(jié)點(diǎn)的匹配方式,直至所有節(jié)點(diǎn)均被匹配。
能控性指數(shù)算法Aci描述如下:
(1)列出所有根節(jié)點(diǎn)i(1≤i≤n);
(2)λ:根節(jié)點(diǎn)i的數(shù)目,設(shè)置k=0;
?。?)重復(fù)步驟(4)~(6);
?。?)匹配i的可達(dá)節(jié)點(diǎn)j(i-j),j∈Ni,若j出現(xiàn)重復(fù)則改變前者匹配方式,j的數(shù)目為η,k=k+1,λ=λ+η;
?。?)令j為新的根節(jié)點(diǎn),匹配其可達(dá)節(jié)點(diǎn);
?。?)當(dāng)η=0,λ≠n,節(jié)點(diǎn)σ未匹配(δ可達(dá)σ),退回δ所在步驟,改變其匹配方式為δ-σ,從該步驟開(kāi)始繼續(xù)向下匹配;
?。?)直至λ=n,n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目;
(8)所有節(jié)點(diǎn)已存在于匹配邊中,μ=k。
3仿真與結(jié)論
利用二分圖描述圖6所示網(wǎng)絡(luò),如圖8所示,箭頭表示始端節(jié)點(diǎn)可達(dá)末端節(jié)點(diǎn),例如1指向2表示節(jié)點(diǎn)1可達(dá)節(jié)點(diǎn)2。
分析圖6網(wǎng)絡(luò),n=10,k=0,起始點(diǎn)為1、3、5、9,λ=4,第一步如圖9所示。
匹配節(jié)點(diǎn)為2、4、6、10,η=4。此時(shí)λ=8,k=1,第二步如圖10所示。
匹配節(jié)點(diǎn)為8、7。其中4-2,2在第一步就已匹配(舍去),轉(zhuǎn)變?yōu)?-8,而此步驟已將8分配給了2,改變匹配方式2-10,而10在第一步就已匹配(舍去),因此2向下不可再匹配,η=2。此時(shí)λ=10=n,所有節(jié)點(diǎn)已存在于匹配邊中,k=2,μ=2。
最終匹配方式如圖11所示,控制鏈為:1-2;3-4-8;5-6-7;9-10。同時(shí)可驗(yàn)證gr[B,AB,A2B]=10,k的最小值為2,即能控性指數(shù)μ=2。
以圖12網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,可控性指數(shù)μ=5,通過(guò)匹配邊將原本關(guān)聯(lián)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)分散化,獲得各條結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了的控制鏈,使得控制作用更有效。
4結(jié)束語(yǔ)
本文引入網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù)的概念并給出能控性判據(jù),在此基礎(chǔ)上提出算法Aci獲得能控性指數(shù)及相應(yīng)的控制鏈,縮短了控制過(guò)程和時(shí)間。在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)如電網(wǎng)中,大量節(jié)點(diǎn)具有固定的匹配方式,這樣就能為分析網(wǎng)絡(luò)的k步可控性節(jié)省大量時(shí)間,同時(shí)研究各個(gè)控制器所控制的節(jié)點(diǎn)群,可以明顯地從復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)中得到各條清晰的控制鏈,以各控制器為起始點(diǎn),只需抓住這個(gè)起始點(diǎn)將其從網(wǎng)絡(luò)中抽出便可獲知該控制器依次控制的各個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于研究某些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)模型有很大的參考價(jià)值,并可反過(guò)來(lái)服務(wù)于研究控制器的選取。
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