顧天1，李曉麗1，趙曙光1，鄭鵬遠(yuǎn)2
?。?.東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620； 2.上海電力學(xué)院 自動化工程學(xué)院，上海 200090）
摘要：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴(kuò)展，趨向于龐大復(fù)雜化。文章針對系統(tǒng)內(nèi)部信息傳遞所帶來的控制滯后等問題，在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的研究基礎(chǔ)上引入能控性指數(shù)的概念，用以描述網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的性能指標(biāo)；基于二分圖提出算法獲得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù)，并提供每個控制量相應(yīng)的控制鏈，為后續(xù)劃分大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點群等研究工作提供科學(xué)依據(jù)。
關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；二分圖；能控性指數(shù)
0引言
隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，其通常具有空間分布式特征，例如跨區(qū)域的電力網(wǎng)、縱橫交錯的交通網(wǎng)等。對網(wǎng)絡(luò)中若干節(jié)點施加控制以實現(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)能控，對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性進(jìn)行分析，可望在進(jìn)入定量研究前先得到全局的指導(dǎo)信息［1］ ，有助于理解各控制量對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的影響。目前網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性是指在不限制控制步數(shù)的情況下，通過施加控制量使其可控，但隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各個組成部分彼此間傳遞信息或狀態(tài)會帶來控制作用滯后等問題［2］。通過基于能控性指數(shù)的算法研究可以將大網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分散化進(jìn)行控制，縮短了控制過程。
1問題描述及判據(jù)
大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和不穩(wěn)定性。針對高維性、非線性的大系統(tǒng)，研究其可控性問題十分復(fù)雜，可以將其轉(zhuǎn)化為在一定范圍內(nèi)按不同工作點線性化所得的線性系統(tǒng)，進(jìn)而分析轉(zhuǎn)化后的線性系統(tǒng)是否可控［1］ ?？紤]由n個節(jié)點構(gòu)成的線性時不變網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):
(t)=Ax(t)+Bu(t)(x∈Rn,u∈Rm)(1)
令G(α,β)為一個有向圖用以描述網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點集α={1,2...n}，邊集β=α×α，一條邊(i,j)∈β表示節(jié)點i可達(dá)節(jié)點j，但反之不成立。由i向j所建立的聯(lián)系表示為aij，無法建立聯(lián)系則為0。j為i的鄰接節(jié)點，定義Ni為i的所有鄰接節(jié)點的集合，j∈Ni。n×n維常值矩陣A用以描述網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點間的關(guān)聯(lián)情況；B為n×m維常值輸入矩陣，表示控制器對節(jié)點的影響［3］，若對節(jié)點j直接施加控制器uj則表示為bj。
定義1:系統(tǒng)(1)可控的充要條件：
rank［B,AB,A2B...An－1B］=n(2)
網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控表明其可由任意初始狀態(tài)受控制器驅(qū)動到達(dá)任何所需的最終狀態(tài)［4］。其中矩陣An－1B本質(zhì)上體現(xiàn)了從控制器出發(fā)在n－1步路徑內(nèi)與網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)所有節(jié)點建立了聯(lián)系，根據(jù)定義1引入網(wǎng)絡(luò)能控性指數(shù)μ，對于n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性指數(shù)μ定義如下：
定義2:系統(tǒng)(1)k步可控的充要條件：
gr［B,AB,A2B...AkB］=n(3)
滿足式(3)的k的最小值即為能控性指數(shù)μ。
圖1為由4個節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，對其進(jìn)行分析。
其中常值矩陣A、B為：
分析發(fā)現(xiàn)gr［B,AB,A2B,A3B］=4，符合定義1與定義2，表明該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控，也可稱之為3步可控。同時gr［B,AB］=4，符合定義2，而gr［B］<4,則滿足條件的k的最小值為1，即能控性指數(shù)為1，控制鏈如圖2所示。
2算法
將一個圖的頂點劃分為兩個不相交集U和V，使得連邊分別連接U、V中的頂點，若存在這樣的劃分則此圖就是一個二分圖，而邊數(shù)最多的匹配方法即為最大匹配［5］。通過最大匹配能解決很多實際問題，如棋盤走法、配對問題等。匈牙利數(shù)學(xué)家Edmonds對二分圖的最大匹配進(jìn)行研究并得到一種普適性的匈牙利算法。
2.1匈牙利算法
以圖3為例介紹匈牙利算法的基本思想。
首先從1開始匹配：1-A，2-C，3-A，如圖3加粗路線，此時由于A已匹配給1，因此將1-A轉(zhuǎn)變?yōu)?-B，從而成功匹配3-A，如圖4所示。
1繼續(xù)匹配4，4-C，如圖4所示。此時由于C已經(jīng)匹配給2，為了形成更多的匹配邊，因此將4-C轉(zhuǎn)變?yōu)?-D。最終圖5匈牙利算法步驟2最大匹配方案為1-B、2-C、3-A、4-D，如圖5所示。
2.2算法Aci
研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控性時，可以將網(wǎng)絡(luò)表示為二分圖，利用最大匹配理論匹配盡可能多的邊，得出為使網(wǎng)絡(luò)可控的一種控制器選取方案，而本文基于可控網(wǎng)絡(luò)分析匹配方案以獲取能控性指數(shù)。
假設(shè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如圖6所示。
通過匈牙利算法可知對節(jié)點1、3、5、9施加控制可使該網(wǎng)絡(luò)可控，但分析控制方案時會出現(xiàn)圖7所示匹配方式：
由控制器u5控制的節(jié)點群5-6-7-2-8形成了一條控制鏈，但相比于1、3-4、9-10，該條控制鏈顯得較長，易影響控制作用。
在已知網(wǎng)絡(luò)可控的基礎(chǔ)上，從各控制量出發(fā)，根據(jù)節(jié)點間的可達(dá)關(guān)系逐步匹配節(jié)點形成或長或短的控制鏈。將一條控制鏈看作一個子系統(tǒng)，當(dāng)整個系統(tǒng)劃分成若干子系統(tǒng)后，若其分別為k1,k2，…kn步可控，定義其中最大值為kmax，則整個大系統(tǒng)稱為kmax步可控。kmax需盡可能小，當(dāng)其取值最小時即為能控性指數(shù)μ。
以控制器直接控制的節(jié)點i為起始點，同時進(jìn)行匹配。由網(wǎng)絡(luò)可控可知每個節(jié)點都必存在于匹配邊中，因此若匹配完成后仍有節(jié)點未被匹配，則必須改變某節(jié)點的匹配方式，直至所有節(jié)點均被匹配。
能控性指數(shù)算法Aci描述如下：
（1）列出所有根節(jié)點i(1≤i≤n)；
?。?）λ:根節(jié)點i的數(shù)目,設(shè)置k=0；
?。?）重復(fù)步驟（4）~（6）；
?。?）匹配i的可達(dá)節(jié)點j(i－j),j∈Ni,若j出現(xiàn)重復(fù)則改變前者匹配方式，j的數(shù)目為η,k=k+1,λ=λ+η；
?。?）令j為新的根節(jié)點,匹配其可達(dá)節(jié)點；
?。?）當(dāng)η=0,λ≠n,節(jié)點σ未匹配(δ可達(dá)σ),退回δ所在步驟,改變其匹配方式為δ－σ,從該步驟開始繼續(xù)向下匹配；
（7）直至λ=n，n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)目；
?。?）所有節(jié)點已存在于匹配邊中,μ=k。
3仿真與結(jié)論
利用二分圖描述圖6所示網(wǎng)絡(luò)，如圖8所示，箭頭表示始端節(jié)點可達(dá)末端節(jié)點，例如1指向2表示節(jié)點1可達(dá)節(jié)點2。
分析圖6網(wǎng)絡(luò)，n=10，k=0，起始點為1、3、5、9，λ=4，第一步如圖9所示。
匹配節(jié)點為2、4、6、10，η=4。此時λ=8，k=1，第二步如圖10所示。
匹配節(jié)點為8、7。其中4-2，2在第一步就已匹配(舍去)，轉(zhuǎn)變?yōu)?-8，而此步驟已將8分配給了2，改變匹配方式2-10，而10在第一步就已匹配(舍去)，因此2向下不可再匹配，η=2。此時λ=10=n，所有節(jié)點已存在于匹配邊中，k=2，μ=2。
最終匹配方式如圖11所示，控制鏈為：1-2；3-4-8；5-6-7；9-10。同時可驗證gr［B,AB,A2B］=10，k的最小值為2，即能控性指數(shù)μ=2。
以圖12網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例，可控性指數(shù)μ=5，通過匹配邊將原本關(guān)聯(lián)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)分散化，獲得各條結(jié)構(gòu)簡單明了的控制鏈，使得控制作用更有效。
4結(jié)束語
本文引入網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù)的概念并給出能控性判據(jù)，在此基礎(chǔ)上提出算法Aci獲得能控性指數(shù)及相應(yīng)的控制鏈，縮短了控制過程和時間。在實際網(wǎng)絡(luò)如電網(wǎng)中，大量節(jié)點具有固定的匹配方式，這樣就能為分析網(wǎng)絡(luò)的k步可控性節(jié)省大量時間，同時研究各個控制器所控制的節(jié)點群，可以明顯地從復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)中得到各條清晰的控制鏈，以各控制器為起始點，只需抓住這個起始點將其從網(wǎng)絡(luò)中抽出便可獲知該控制器依次控制的各個節(jié)點。對于研究某些實際網(wǎng)絡(luò)模型有很大的參考價值，并可反過來服務(wù)于研究控制器的選取。
參考文獻(xiàn)
?。?］ 席裕庚.動態(tài)大系統(tǒng)方法導(dǎo)論［M］.北京：國防工業(yè)出版社,1988.
［2］ 李健勇,羅永平,黃道穎,等.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時延分布分析與建模［J］.鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,29(4):5053.
?。?］ Liu Yangyu, SLOTINE J J, BARABA′SI A L. Controllability of complex networks［J］. Nature， 2011，473（12）：167173.
?。?］ 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論［M］.北京：清華大學(xué)出社,2011.
?。?］ 邵長城,張錫哲.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性分析與驅(qū)動節(jié)點集拓?fù)湫再|(zhì)研究［D］.沈陽：東北大學(xué),2012.