林莉媛1，陳曉云1，簡彩仁2

　?。?.福州大學 數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350116；2. 廈門大學 嘉庚學院，福建 漳州 363105）

       摘要：有效分類基因表達數(shù)據(jù)有助于癌癥的診斷，而基因表達數(shù)據(jù)的高維數(shù)、小樣本特點使基因表達數(shù)據(jù)分類困難。針對這個問題，在最小二乘回歸子空間分割算法中考慮距離信息，提出融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割算法。融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割模型除了考慮數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，還考慮了數(shù)據(jù)之間的距離信息。在基因表達數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果表明，所提出的算法是有效的聚類方法。

　　關(guān)鍵詞：基因表達數(shù)據(jù)；聚類；距離；子空間分割

0引言

　　基因表達數(shù)據(jù)的研究有助于準確識別癌癥［1］，因此有效處理基因表達數(shù)據(jù)尤為重要。但基因表達數(shù)據(jù)小樣本、高維數(shù)［2］的特點令這項工作困難重重。近幾十年來，很多分類和聚類方法成功應(yīng)用在基因表達數(shù)據(jù)上，如凸非負矩陣分解（Convex Nonnegative Matrix Factorization，C_NMF）、半非負矩陣分解（Seminonnegative Matrix Factorization，S_NMF）［3］、基因數(shù)據(jù)分析半監(jiān)督學習［2］以及根據(jù)基因表達數(shù)據(jù)特點改進的譜聚類算法［4］等?；虮磉_數(shù)據(jù)的聚類分為基因聚類、樣本聚類和雙向聚類［5］，本文對腫瘤基因表達數(shù)據(jù)樣本聚類。

　　子空間分割方法是近年流行的方法［6］，如稀疏子空間聚類SSC［7］、低秩表示子空間聚類LRR［8］、最小二乘回歸子空間聚類LSR［9］等，并成功用于圖像分割、圖像壓縮以及混合系統(tǒng)鑒定等領(lǐng)域［6］。子空間分割方法可使高維數(shù)據(jù)有效聚類，這適用于基因表達數(shù)據(jù)，因此本文將提出新的用于基因表達數(shù)據(jù)聚類的子空間分割方法。LSR使同類相關(guān)性強的樣本聚集，但沒考慮距離信息，針對這點，本文對LSR進行改進，融入距離信息，并將改進后的模型應(yīng)用在基因表達數(shù)據(jù)中，通過與其他用于基因表達數(shù)據(jù)的聚類方法以及子空間分割算法進行實驗比較，證明本文方法是有效的。

1子空間分割

　　子空間聚類又稱子空間分割［6］，目標是尋找多個低維子空間，將數(shù)據(jù)歸到相應(yīng)子空間中，數(shù)學定義為［6］：設(shè){xi∈Rd}ni=1是從k≥1個維數(shù)未知的子空間或仿射空間{Si}ki=1中采樣獲得的點集，各子空間維數(shù)為mi,0<mi<d，i=1,…,k。子空間描述為Si={x∈Rd:x=ui+Uiy},i=1,…,k,ui∈Rd是子空間Si的任意點（線性空間ui=0)，Ui∈Rd×mi是Si的一個基，y∈Rmi是x的低維表示。子空間聚類是找子空間個數(shù)k、維數(shù){mi}ki=1、基{Ui}ki=1、點{ui}ki=1，并將點集分割到子空間中。

　　LSR［9］是基于譜聚類的子空間聚類方法，與其他基于譜聚類的方法一樣，先構(gòu)造仿射矩陣，再將譜聚類方法應(yīng)用在仿射矩陣上，模型為：

　　minZZF，s.t.X=XZ

　　噪聲的擴展模型為：

　　minZX－XZ2F+λZ2F(1)

　　其中，λ>0，·F是F范數(shù)，參考文獻［9］給出式(1)的計算方法，并證明LSR有聚集性，是高效、魯棒的方法。

2融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割

　　2.1樣本數(shù)據(jù)點的距離信息

　　由參考文獻［10］可知彼此間距離近的數(shù)據(jù)點更可能來自同一子空間，因此本文假設(shè)彼此間距離近的數(shù)據(jù)點可分配到更大的權(quán)重系數(shù)。設(shè)樣本集為{x1,x2,...,xn}，X∈Rd×n，xi∈Rd×1。根據(jù)上述假設(shè)，對于任意樣本xi，希望：

　　min∑nj=1xi－xj2zij

　　其中，zi∈Rn×1，zij是zi的第j個元素，矩陣形式為：

　　min Tr(ZΤD)(2)

　　其中，D為距離矩陣，xi－xj2是D的第i行的第j個元素，Z={z1,z2,…,zn}。

　　2.2融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割模型

　　將式(2)與最小二乘回歸子空間分割模型相結(jié)合，得到融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割模型為：

　　minZ12X－XZ2F+λ2Z2F+βTr(ZΤD)(3)

　　其中，λ>0、β>0是兩個可調(diào)節(jié)的參數(shù),·F表示F范數(shù)，Tr(·)表示跡。令：

　　對L(Z)求導(dǎo),并令其導(dǎo)數(shù)為0，即L=－XΤX+XΤXZ+λZ+βD=0，可得到式（3）的最優(yōu)解：Z*=(XTX+λI)－1(XTX－βD)。

　　通過(|Z*|+|(Z*)T|)/2構(gòu)造仿射矩陣，再用標準聚類方法（Normalized Cuts, Ncut）［11］分割彷射矩陣。融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割(Subspace Segmentation via Least Squares Regression including Information about Distance, DLSR)算法如下：

　　輸入：數(shù)據(jù)矩陣X，類別數(shù)為k，參數(shù)β、λ

　?。?）解決問題式（3）得到解Z*；

　?。?）通過(|Z*|+|(Z*)T|)/2計算仿射矩陣；

　?。?）應(yīng)用Ncut方法將數(shù)據(jù)分成k個子空間。

　　輸出：聚類結(jié)果

3實驗

　　本節(jié)在基因表達數(shù)據(jù)集上用聚類準確率驗證提出的DLSR，與本文方法比較的現(xiàn)有方法為：傳統(tǒng)聚類方法kmeans和層次聚類（Hierarchical Clustering, HC），子空間分割方法LRR［8］和LSR［9］，非負矩陣分解擴展方法C_NMF和S_NMF［3］。

　　3.1數(shù)據(jù)集

　　實驗使用公開基因表達數(shù)據(jù)集: 9_Tumor［12］、Brain_Tumor［13］、Leukemia［14］、Leukemia［13］、Leukemia［15］、DLBCL［13］，數(shù)據(jù)集信息如表1所示。表1數(shù)據(jù)集信息數(shù)據(jù)集診斷內(nèi)容樣本個數(shù)基因個數(shù)類別數(shù)9_Tumor人類腫瘤605 7269Brain_Tumor1腦癌1905 9205Leukemia白血病727 1292DLBCL彌漫性大B細胞淋巴瘤和

　　濾泡性淋巴瘤775 4692Leukemia1白血病1725 3273Leukemia2白血病28311 2253

　　3.2實驗結(jié)果與分析

　　準確率計算公式為：

　　其中，ri是得到的類標簽；si是樣本本身的類標簽；n為樣本數(shù)；map(ri)是將ri映射成與si等價的類標簽；δ(x,y)是一個函數(shù)，δ(x,y)=1x=y

　　0x≠y。

　　實驗中，DLSR、LSR、LRR都需設(shè)置參數(shù)，本文的參數(shù)選擇方法是讓參數(shù)取多個不同的值，實驗時遍歷這些值，最后取使結(jié)果最好的值。DLSR還有另一個參數(shù)β，取值策略與λ相同。實驗時，HC運行一次，其余算法運行10次，取準確率的平均值，結(jié)果如表2所示。

　　6個數(shù)據(jù)集上的實驗表明，除Leukemia外，DLSR與其他方法相比，都取得較優(yōu)準確率。kmeans雖然在Leukemia中準確率最高，但在其余數(shù)據(jù)集中的結(jié)果并不都好?？偟膩碚f，DLSR還是優(yōu)于kmeans。因此，本文算法對基因表達數(shù)據(jù)的聚類更有效。

　　值得注意的是，DLSR優(yōu)于LSR，因此在LSR中融入距離信息，可以提供一定的額外信息，有利于提高算法聚類能力。

　　3.3參數(shù)選擇

　　DLSR模型有兩個參數(shù)β和λ。本節(jié)設(shè)置參數(shù)β的變化范圍為{0.002,0.004,0.01,0.04,0.6,0.7,1,100,10 000, 100 000}，參數(shù)λ的變化范圍為{0.005,0.01,0.05, 0.1,0.5,1,10,100,1 000}。圖1描述了這兩個參數(shù)變化對聚類準確率的影響。平穩(wěn)的地方說明參數(shù)取在那部分時準確率變化較穩(wěn)定。可看出DLSR對參數(shù)β和λ的選取都較敏感，聚類準確率隨參數(shù)變化呈現(xiàn)出一定波動?？傮w上看，參數(shù)β選在0.002~0.6范圍內(nèi)可找到較理想的聚類準確率，參數(shù)λ選在0.05~10范圍內(nèi)可找到較好的聚類準確率。

　　4結(jié)論

　　本文在最小二乘回歸子空間分割模型的基礎(chǔ)上，考慮距離信息，提出融入距離信息的最小二乘回歸子空間分割模型，并應(yīng)用在基因表達數(shù)據(jù)上。實驗表明，對于給出的基因表達數(shù)據(jù)集，DLSR與子空間分割算法LRR、LSR以及原先用于基因表達數(shù)據(jù)的方法相比更有效。而且，在LSR的基礎(chǔ)上融入了距離信息，確實可提高聚類能力，對LSR有一定的優(yōu)化。但是介于參數(shù)的選取對實驗結(jié)果較為敏感，如何高效地選取參數(shù)是今后要研究的問題。

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