摘  要： ACGS（Active Contours With Group Similarity）模型在CV模型的基礎上結(jié)合了矩陣的低秩性約束，能較好地分割目標特征缺失或錯誤的相似圖像組，但對于灰度不均的相似圖像組分割效果較差。而雙重輪廓演化曲線的圖像分割水平集模型在LBF模型的基礎上引入了目標內(nèi)外兩條輪廓曲線，很好地克服了LBF模型對于初始輪廓的敏感性，對于灰度不均的單張圖像分割效果較好。受此啟發(fā)，本文提出了基于雙重輪廓演化曲線的活動輪廓模型來分割相似圖像組。該模型首先結(jié)合LBF模型來更好地分割灰度不均的圖像；其次利用ACGS模型的低秩性質(zhì)來保持圖像間的相似程度，從一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時易陷入局部極小值的情形；最后引入目標內(nèi)外的兩條輪廓曲線，通過兩曲線在演化過程中分別對局部像素的直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效地克服LBF模型對于初始輪廓的敏感性問題，使得該模型改善了對于灰度不均的相似圖像組的分割效果。實驗結(jié)果表明，與CV、LBF、ACGS以及雙重輪廓演化曲線模型的分割結(jié)果相比較，本文模型對于灰度不均的相似圖像組的分割效果具有優(yōu)越性。

　　關(guān)鍵詞： ACGS模型；雙重輪廓演化曲線模型；組相似性；灰度不均；LBF模型

0 引言

　　圖像分割是圖像處理領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容，在實際生活中應用廣泛[1]。圖像分割的方法多種多樣，其中基于偏微分方程（PDE）[2]方法的活動輪廓模型受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。該類方法定義了一個能量泛函，并通過最小化該能量泛函來驅(qū)使演化曲線朝目標邊界逼近?；赑DE的活動輪廓模型可分為基于邊界的模型[3]和基于區(qū)域的模型[4]。由于利用活動輪廓模型來分割單張圖像已無法滿足現(xiàn)實生活中的應用需求，因此對用于分割序列圖像的活動輪廓模型的研究是當前的一個熱門話題。

　　ACGS[5]模型在CV[6]模型的基礎上與矩陣的低秩性約束條件相結(jié)合，是一種用于分割目標特征缺失或錯誤的相似圖像組的模型。該模型利用一些特征點的坐標來表示各圖像的演化曲線，并將這些曲線按列排序來構(gòu)造形狀矩陣，通過形狀矩陣的秩的大小與目標形狀的相似程度之間的關(guān)系來分割和還原相似圖像組。由于ACGS模型摒棄了CV模型利用水平集函數(shù)來演化曲線的方法，并且約束條件作為正則項能更好地調(diào)整演化曲線，所以該模型具有算法計算量小、收斂快速等優(yōu)點。但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息，所以ACGS模型對于局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果較差。

　　雙重輪廓演化曲線的圖像分割水平集模型[6]對于灰度不均的單張圖片分割效果較好。該模型在LBF[8]模型的基礎上引入了目標內(nèi)外兩條輪廓曲線，并通過在模型中設置相關(guān)項來自動控制兩條輪廓曲線的走向，即通過最小化兩條輪廓曲線的差異使之同時向目標的真實邊界逼近，較好地克服了LBF模型對于初始輪廓的敏感性。因此該模型對于灰度不均的單張圖像分割效果較好。

　　綜合考慮了以上兩個模型的優(yōu)缺點，本文提出基于雙重輪廓演化曲線的ACGS模型來分割相似圖像組。該模型首先結(jié)合LBF模型來更好地分割灰度不均的相似圖像組；其次利用ACGS模型的低秩性質(zhì)來保持圖像間的相似程度，從一定程度上改善了LBF在能量函數(shù)最小化時易陷入局部最小值的情形；最后引入目標內(nèi)外的兩條輪廓曲線，通過兩曲線在演化過程中分別對局部像素的直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效地克服LBF模型對于初始輪廓的敏感性問題，使得該模型對于灰度不均的相似圖像組分割效果較好。實驗結(jié)果表明，本文模型對灰度不均的相似圖像組分割效果優(yōu)于其他幾個模型。

1 相關(guān)背景

　　1.1 ACGS模型

　　ACGS模型[5]利用了圖像組矩陣的低秩性與圖像間相似程度的關(guān)系來演化活動輪廓曲線，在一定程度上改善了能量函數(shù)最小化時易陷入局部最小值的情形，適用于分割目標特征缺失或錯誤的相似圖像組。該模型的優(yōu)點是利用特征點的坐標而非水平集函數(shù)來表示演化曲線，并且引入了約束項來調(diào)整曲線，所以算法計算量小，且收斂快速。但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息，所以缺點是對于局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果不理想。

　　設I1，I2，…，In為一組序列圖像，C1，C2，…，Cn分別表示每幅圖像上的閉合輪廓曲線。用曲線C上的一些特征點（xi，yi）來表示曲線C，則可得C=[x1，…，xp，y1，…，yp]T∈R2p。由于C1，C2，…，Cn之間存在仿射變換關(guān)系，所以對于?坌n，p，形狀矩陣X=[C1，C2，…，Cn]∈R2p×n滿足rank（X）≤k，其中k為預先給定的常數(shù)。由于形狀矩陣的秩可以描述圖像組中每幅圖像的目標形狀之間的相似程度，秩越低則形狀越相似，因此參考文獻[5]提出了式（1）所示的帶有約束條件的能量函數(shù)來求解目標輪廓組C1，C2，…，Cn

　　λ1，λ2>0，≥0，u1和u2分別為Cin和Cout的像素點的平均亮度值。不失一般性，參考文獻[5]中的λ1，λ2均取值為1，而取值為0。

　　由于形狀矩陣的秩是離散算子難以優(yōu)化，因此將式（1）改為松弛形式，如式（3）：

　　上式即為ACGS模型的能量泛函，具體的求解過程參見文獻[5]。

　　1.2 雙重輪廓演化曲線的圖像分割水平集模型

　　雙重輪廓演化曲線模型[7]通過構(gòu)造兩條初始輪廓曲線進行同時演化，來克服傳統(tǒng)的用于分割灰度不均圖像的LBF[8]模型對于初始輪廓敏感的缺點，從而改善了對于灰度不均的單張圖像分割效果。該模型設置了兩條輪廓曲線的相關(guān)項，通過最小化兩曲線的差異來自動控制它們的演化趨勢，使得兩輪廓曲線逐漸逼近目標邊界并最終穩(wěn)定在邊界上。

　　設均為水平集函數(shù)，利用它們的零水平集來表示內(nèi)外兩條輪廓曲線，提出如下的雙重輪廓線水平集模型能量函數(shù)：

　　式（4）、（5）中為非負常數(shù)，λ1、λ2為正值參數(shù)，f1，f2和f3，f4分別表示圖像I在水平集函數(shù)所表示曲線的內(nèi)部和外部區(qū)域的局部平均灰度值。Hε（·）為正則化heaviside函數(shù)，滿足Hε（·）→H（·），ε→0。K為基于標準差的高斯核函數(shù)，且

　　式（4）中第一、二項分別表示圖像I關(guān)于水平集函數(shù)的能量泛函，第三項的相互作用項，w為非負權(quán)重系數(shù)。式（5）的能量泛函是在LBF模型的能量項的基礎上加入了長度項和懲罰項，其中長度項能減少尖點的產(chǎn)生，懲罰項則可以避免水平集函數(shù)重新初始化以及加快演化速度。文獻[7]中求得式（4）的演化方程為：

2 DLBF_GS模型

　　通過對上述兩個模型的優(yōu)缺點進行分析后，本文提出了基于雙重輪廓演化曲線的ACGS模型（DLBF_GS模型）。該模型既結(jié)合了用于分割灰度不均圖像的LBF模型，又保留了ACGS模型中關(guān)于相似圖像組的低秩性約束，以保持圖像間的相似程度，并從一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時易陷入局部最小值的問題，還引入了雙重輪廓演化曲線模型中目標內(nèi)外的兩條輪廓曲線，通過兩曲線在演化過程中分別對局部像素進行直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效克服LBF模型對于初始輪廓的敏感性問題，因此本文模型對灰度不均的相似圖像組進行分割時可達到較好的效果。

　　由于低秩性約束條件使得活動輪廓模型能有效減少尖點，并且采用特征點的坐標而非水平集函數(shù)來表示演化曲線可以避免水平集函數(shù)重新初始化問題，因此每幅圖像上的能量泛函只需保留式（4）中的一、二項和式（5）中不含水平集函數(shù)的一、二兩項即可。因此，基于雙重輪廓演化曲線的ACGS模型的能量泛函為：

　　j=1，2，k=1，3，且j=1時k=1，j=2時k=3。Cj_in和Cj_out分別表示曲線j的內(nèi)部和外部。λ1，λ2取值為1。利用近端梯度法[9]求解式（10），可得：

　　P·PF2表示Frobenius范數(shù)，u為常數(shù)，X1，2′表示上一次迭代中X1，2的估計值，且

　　式（13）中的i=1，2，…，n，njp表示演化曲線Cj上點p的單位法向量，其正方向為指向遠離圓心的反方向[10]。本文模型剩余的求解過程具體可參照文獻[5]。

3 實驗結(jié)果

　　本節(jié)主要對海星圖像組和蝴蝶圖像組進行試驗，并通過與CV模型、LBF模型、ACGS模型以及雙重輪廓演化曲線模型的實驗結(jié)果進行比較，得出本文模型對于灰度不均的相似圖像組分割效果具有優(yōu)越性。參與實驗的海星圖像組為200×180×12（張），蝴蝶圖像組為220×161×15（張），但是為了便于說明，本文只從兩組圖像組中分別提取幾張圖像的實驗結(jié)果來分析五種模型的分割效果。實驗程序用MATLAB R2012a編寫，運行環(huán)境為Windows XP系統(tǒng)。兩個圖像組的初始輪廓中心點均設定在圖像中心，且每個圖像組中各幅圖像的初始輪廓位置、大小均相同。所有模型均選取相同的長度項權(quán)重?滋為1，時間迭代步長均為1，LBF模型和雙重輪廓演化曲線模型的高斯濾波的窗口大小為5。

　　圖1、圖2分別為五種模型對海星圖像組和蝴蝶圖像組的分割結(jié)果。每幅圖按行從上至下依次對應CV模型、LBF模型、ACGS模型、雙重輪廓演化曲線模型和本文模型的分割結(jié)果。

　　圖1抽取了第1、5、8、9、10幅圖像，其中第一、二列為背景比較復雜的圖像；第三列為目標與背景的灰度相似的圖像；第四列圖像的背景比較簡單，但目標灰度不均勻；第五列為背景的局部灰度變化劇烈的圖像。從圖1可以看出，本文模型的分割效果明顯優(yōu)于CV模型、LBF模型和雙重輪廓演化曲線模型，并且與ACGS模型相比，本文模型對于分割背景復雜的圖像效果更好，而在分割局部灰度不均的圖像時則更貼近目標邊界，因此本文模型的分割效果最好。

　　圖2抽取了第1、4、7、9、13幅圖像。觀察可知，由于蝴蝶翅膀的花紋和顏色各不相同，使得蝴蝶翅膀的灰度非常不均勻。如第1、2、3、5列，當蝴蝶翅膀的灰度變化比較劇烈時，本文模型的分割效果會明顯優(yōu)于前四種模型的效果；如第4列，當蝴蝶翅膀的灰度變化不太劇烈時，本文模型和雙輪廓演化曲線模型均能取得較好的分割效果。

　　表1給出了五種模型在兩次實驗中的運行參數(shù)、收斂次數(shù)和時間，其中ri，λi分別表示第i條初始輪廓曲線的半徑和形狀相似性權(quán)重值。觀察表中數(shù)據(jù)可知，由于加入兩條輪廓曲線來共同演化，以及引入了比CV模型更耗時的LBF模型，使得在圖像相對復雜的第一組實驗中，本文模型的運行時間幾乎是ACGS模型的兩倍，與雙重輪廓演化曲線模型的時間相近；但低秩性約束條件還是有加快模型演化的作用，因此在圖像相對簡單的第二組實驗中，本文模型的耗時與ACGS模型相近，并且少于雙重輪廓演化曲線模型的運行時間。

4 結(jié)論

　　本文針對ACGS模型不能較好地分割灰度不均的相似圖像組這一問題，提出了基于雙重輪廓演化曲線的ACGS模型。該模型首先利用LBF模型代替ACGS模型中的CV模型，有效地改善了對灰度不均圖像分割的效果；其次利用ACGS模型的低秩性約束來保持圖像間的相似程度，在一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時易陷入局部最小值的問題，以及減少尖點的出現(xiàn)；最后引入雙重輪廓演化曲線模型中的目標內(nèi)外兩條輪廓曲線，通過兩曲線在演化過程中分別對局部像素進行直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效克服LBF模型對于初始輪廓的敏感性問題。實驗結(jié)果表明本文模型對于分割灰度不均的相似圖像組效果較好。

參考文獻

　　[1] 曲霄紅，薄文彥.圖像分割技術(shù)在機械測量中的應用研究[J].微型機與應用，2013，32（9）：27-28，31.

　　[2] 王大凱，侯榆青，彭進業(yè).圖像處理的偏微分方程方法[M].北京：科學出版社，2008.

　　[3] MICHAEL K， ANDREW W， DEMETRI T. Snakes： active contour models[J]. International Journal of Computer Vision， 1988，1（4）：321-331.

　　[4] MUMFORD D， SHAH J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics， 1989， 42（5）： 577-685.

　　[5] ZHOU X W， HUANG X J， DUNCAN J S， et al. Active contours with group similarity[C]. 2013 IEEE Computer Vision and Pattern Recognition （CVPR）， 2013： 2969-2976.

　　[6] CHAN T， VESE L A. Active contours without edges[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2001，10（2）： 266-277.

　　[7] 王相海，李明.雙重輪廓演化曲線的圖像分割水平集模型[J].中國圖象圖形學報，2014，19（3）：373-380.

　　[8] LI C， KAO C， GORE J C， et al. Minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[J]. IEEE Transactions on Images Processing，2008，17（10）：1940-1949.

　　[9] BECK A， TEBOULLE M. A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J]. SIAM Journal on Imaging Sciences， 2009， 2（1）： 183-202.

　　[10] ZHU S， YUILLE A. Region competition： unifying snakes， region growing， and bayes/mdl for multiband image segmentation[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 1996， 18（9）：884-900.