摘  要： 在現(xiàn)代電磁工程中，對(duì)于邊界不復(fù)雜的問(wèn)題，可用解析法得到精準(zhǔn)解，但較復(fù)雜的邊值問(wèn)題用解析法不能得到解答，需要數(shù)值法。在此導(dǎo)出HALLEN方程法，用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)，它能夠非常接近解析值，說(shuō)明其正確性。矩量法是求解電磁場(chǎng)邊界值問(wèn)題中一種行之有效的數(shù)值方法，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程，將積分方程中積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和仿真。最后得出結(jié)論，矩量法分析能夠接近其解析解，說(shuō)明其正確性。

　　關(guān)鍵詞： 矩量法；HALLEN方法；半波天線；MATLAB

0 引言

　　自赫茲和馬可尼發(fā)明了天線以來(lái)，天線在社會(huì)生活中的重要性與日俱增，如今已成不可或缺之勢(shì)。天線是人們見(jiàn)聞世界的耳目，是人類(lèi)與太空聯(lián)系的紐帶，是文明社會(huì)的組成要素[1]。

　　矩量法是求解電磁場(chǎng)邊界值問(wèn)題中一種行之有效的數(shù)值方法，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種求解線性方程的方法[2]。矩量法[3-4]所做的工作是將積分方程化為差分方程，或?qū)⒎e分方程中的積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，故它的主要工作是用計(jì)算機(jī)求解代數(shù)方程組，因而在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方面得到了廣泛的應(yīng)用，并已得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的公認(rèn)。HALLEN E在1938年提出積分方程法[5-6]，首先從假定的電流分布用矢量磁位寫(xiě)出天線表面外部的電場(chǎng)公式，然后令此電場(chǎng)等于天線表面內(nèi)部因克服集膚效應(yīng)引起的阻抗所需要的電場(chǎng)強(qiáng)度，由此求得表示電流分布的積分方程式。國(guó)內(nèi)外對(duì)半波天線的研究主要集中于激勵(lì)原理、特性、實(shí)驗(yàn)等方面的討論，而關(guān)于天線方向圖和電流分布等參數(shù)計(jì)算和分析很少。張黎明[7]、姜光興[8]等人利用矩量法對(duì)半波天線的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。HAFIANE A等人[9]利用天線陣模型對(duì)天線的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算?；谝陨系难芯浚疚睦肏ALLEN方法計(jì)算并仿真出半波天線的電流分布、功率增益和方向圖，計(jì)算過(guò)程中不但簡(jiǎn)化了數(shù)值分析的復(fù)雜性，而且減小了計(jì)算量并提高了其精度。

1 天線的關(guān)鍵參數(shù)推導(dǎo)

　　1.1 矩量法的數(shù)學(xué)表述[7，10]

　　設(shè)一個(gè)非其次方程為：

　　L（f）=g（1）

　　其中，L為微分算子或積分算子，f為待求的場(chǎng)量或響應(yīng)，g為已知的源或激勵(lì)。

　　設(shè)空間為線性的，在算子L的定義域內(nèi)選擇一組函數(shù){fn}，將待求函數(shù)f展開(kāi)為它們的組合：

　　其中，an為待求系數(shù)，fn稱(chēng)為基函數(shù)或展開(kāi)函數(shù)，由自己選定。將式（2）代入式（1），并因L為線性算子，可得：

　　在L域內(nèi)選擇一組加權(quán)系數(shù)（或稱(chēng)檢驗(yàn)函數(shù)）W1、W2、L、Wn的集合{Wm}，并對(duì)每個(gè)Wm取式（3）的內(nèi)積，可得：

　　式（4）可寫(xiě)成如下的矩陣形式：

　　[Lmn][an]=[gm]（5）

　　其中：[Lmn]=<W1，Lf1>  …  <W1，Lfn>   …     …      …<Wm，Lf1>  …  <Wm，Lfn>（6）

　　[an]=[a1，a2，…，an]T，[gm]=[<W1，g>，<W2，g>，…，<Wm，g>]T（7）

　　如果[Lmn]有逆矩陣存在，記為[Lmn]-1，則待求系數(shù)an可由下式解得：

　　[am]=[Lmn]-1[gm]

　　于是可將f寫(xiě)成f=[fn][am]=[fn][Lmn]-1[gm]。

　　1.2 方向圖

　　將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來(lái)，稱(chēng)之為方向圖。它是描述天線輻射場(chǎng)在空間相對(duì)分布隨方向（q，f）變化的圖形，通常指歸一化方向圖。

　?。?）立體方向圖

　　變化q和f得到的方向圖為立體方向圖，它綜合描述了天線在各個(gè)方向上的輻射情況。

　?。?）E面、H面方向圖

　　E面是包含最大輻射方向的電場(chǎng)矢量所在的平面。用E面去截取立體方向圖，則得到E面方向圖。

　　H面是包含最大輻射方向的磁場(chǎng)矢量所在的平面。用H面去截取立體方向圖，則得到H面方向圖。

　　1.3半波對(duì)稱(chēng)天線

　　由于半波天線是特殊的對(duì)稱(chēng)天線，因此在這里先介紹對(duì)稱(chēng)天線的概念，導(dǎo)出對(duì)稱(chēng)天線的參數(shù)。

　　對(duì)稱(chēng)天線由兩臂長(zhǎng)各為l、半徑為a的直導(dǎo)線或金屬管構(gòu)成，如圖1所示，它的兩個(gè)內(nèi)端點(diǎn)為饋電點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)天線是一種應(yīng)用廣泛的基本線形天線，它既可單獨(dú)使用，也可作為天線陣的組成單元。

　　對(duì)稱(chēng)天線上的電流分布為：

　　I（z）=Isin[k（l-|z|）]，|z|<l

　　=Isin[k（l-z）]，0<|z|<lIsin[k（l+z）]，-l<|z|<0（8）

　　故對(duì)稱(chēng)天線的輻射場(chǎng)為：

　　可見(jiàn)，對(duì)稱(chēng)天線的歸一化方向性函數(shù)為：

　　1.4 功率增益

　　天線增益用來(lái)衡量天線對(duì)某一特定方向的收發(fā)信號(hào)的能力，定量地描述某一天線將輸入功率集中輻射的程度[11]。在相同距離和相同輸入功率的條件下，天線在最大輻射方向上的輻射功率密度Wmax和理想無(wú)方向性天線的輻射功率密度之比以G表示，即：

　　其中，Pin是實(shí)際天線輸入功率，Pin0是理想無(wú)方向性天線的輸入功率。

　　對(duì)于有耗情況：Wr=hAWmax，Pr=hAPin。

　　此時(shí)增益表達(dá)式可以寫(xiě)成：

　　得到天線增益與方向系數(shù)的關(guān)系為：

　　G=hAD（13）

　　天線的有效輻射功率可以表示為：

　　Pe=PinG=PinhAD=PrD（14）

　　1.5 電流分布

　　從前面的介紹可知，HALLEN法從積分方程求解天線的電流分布，知道了電流分布和加在輸入端上的電壓。

2 仿真結(jié)果與分析

　　前面用HALLEN方法計(jì)算出了半波天線的電流分布、功率增益和方向圖參數(shù)的表達(dá)式，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和可視化[12]。

　　2.1 電流分布

　　用MATLAB仿真，結(jié)果如圖2所示。

　　由圖2可知，半波振子天線L/l=0.5的電流分布最大，饋點(diǎn)電流最大，輻射電阻近似等于輸入電阻，因?yàn)榘氩ㄕ褡拥妮斎腚娏髡檬遣ǜ闺娏鳌?/p>

　　2.2 方向圖

　　將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來(lái)，稱(chēng)之為方向圖。它是描述天線輻射場(chǎng)在空間相對(duì)分布隨方向（q，f）變化的圖形[8，13]。

　　E面方向圖（二維）如圖3所示。

　　H面方向圖（二維）如圖4所示，歸一化的H面方向圖如圖5所示。

　　結(jié)果分析：

　?。?）q=0時(shí)，輻射場(chǎng)為0。

　?。?）當(dāng)L/l<<1（短振子）時(shí)，方向函數(shù)和方向圖與電流元的近似相同。

　?。?）L/l<1.25時(shí)，主瓣隨L/l增大變窄。L/l>1后開(kāi)始出現(xiàn)副瓣（由圖4可以看出）。

　?。?）L/l>1.25時(shí)，隨L/l增大，主瓣變窄變小，副瓣逐漸變大；L/l繼續(xù)增大，主瓣轉(zhuǎn)為副瓣，而原副瓣變?yōu)橹靼?，?jiàn)圖5。

　　2.3 功率增益

　　在本文的1.4節(jié)介紹了天線的增益，這里直接給出仿真結(jié)果，如圖6所示。

　　從圖6可以看出，半波振子即為L(zhǎng)=0.5l，觀察L= 0.5l的這條曲線可知，增益半波振子的增益G=1.646 1。

3 結(jié)論

　　本文利用HALLEN方法計(jì)算半波天線的電流分布、功率增益和方向圖，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程，將積分方程中積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和可視化。

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