摘  要： 為了能夠進(jìn)一步準(zhǔn)確地估計(jì)出雷達(dá)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，在原有的Morlet小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的Morlet小波基函數(shù)，并將其用于小波脊線的提取。用改進(jìn)后的Morlet小波基函數(shù)來提取雷達(dá)信號(hào)的小波脊線特征，從而估計(jì)出雷達(dá)信號(hào)的瞬時(shí)頻率。仿真結(jié)果表明，用改進(jìn)后的Morlet小波基函數(shù)提取出來的雷達(dá)特征比利用原有的Morlet小波基函數(shù)提取出來的雷達(dá)特征性能更優(yōu)，具有更好的時(shí)頻綜合特性及良好的抑制噪聲能力，其方法是可行的。

　　關(guān)鍵詞： 瞬時(shí)頻率；Morlet小波變換；小波脊線

0 引言

　　在電子情報(bào)偵察和對(duì)抗領(lǐng)域，能否有效地、高精度地從被截獲的雷達(dá)信號(hào)中提取信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)，對(duì)識(shí)別信號(hào)的“指紋”具有重要的意義[1]。瞬時(shí)頻率比瞬時(shí)幅度具有更強(qiáng)的抗外界干擾的優(yōu)點(diǎn)，并且它能夠反映每一時(shí)刻雷達(dá)信號(hào)的頻率變化，因此成了一個(gè)研究熱點(diǎn)[2-9]。

　　本文根據(jù)Morlet小波參數(shù)對(duì)信號(hào)調(diào)制特征的影響及對(duì)小波脊線理論的分析[2]，提出了一種既有良好的抑制噪聲能力又具有綜合時(shí)-頻分辨率較高的小波基函數(shù)，用于小波脊線的提取[3]，并通過小波脊線迭代方法估計(jì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率。該方法能夠做到連續(xù)小波變換的最優(yōu)尺度選擇，比小波變換的模極大值方法更優(yōu)。

1 小波脊線原理

　　小波變換的時(shí)頻平面脊線上分布的參數(shù)能用來描述原始信號(hào)的重要參數(shù)，因?yàn)樗c原始信號(hào)之間具有很強(qiáng)的相似性。而信號(hào)的頻率與幅度的變化往往由脊線的位置及脊線上分布數(shù)據(jù)的起伏變化決定的[4]。

　　1.1 信號(hào)的解析表示

　　數(shù)學(xué)上，任意實(shí)信號(hào)s（t）都可以表示成以下的形式：

　　信號(hào)s（t）對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)可表示為：

　　（t）=s（t）+jsH（t）（2）

　　其中，sH（t）為信號(hào)s（t）的Hilbert變換，且。如果s（t）為漸進(jìn)信號(hào)，即信號(hào)的幅度變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)的瞬時(shí)頻率變化，即：

　　則其解析信號(hào)可近似表示為：

　　在之后的討論中，把要分析的信號(hào)s（t）限定在實(shí)Hardy空間：

　　1.2 小波脊線

　　若（t）=Aε（t）e為實(shí)小波ε（t）的解析形式，則漸進(jìn)信號(hào)s（t）的解析小波變換為：

　　式中*表示復(fù)數(shù)共軛。由平穩(wěn)相位原理可知，駐點(diǎn)ts對(duì)積分式起著主要的作用。對(duì)于單成分的信號(hào)而言，在信號(hào)（t）及小波函數(shù)均為漸進(jìn)函數(shù)的情況下，相位?椎a，b（t）關(guān)于時(shí)間t就僅僅只有一個(gè)駐點(diǎn)ts，即滿足′a，b（ts）=0且a，b（ts）≠0。

　　定義小波脊線為：

　　根據(jù)駐點(diǎn)的特性，小波脊線上滿足：

　　顯而易見，尺度a和平移參數(shù)b互為函數(shù)關(guān)系，即有：

　　小波脊線上有式（10），式中ar（b）即為小波脊線，可以看出小波脊線是平移參數(shù)b的函數(shù)。由式（10）可知，通過提取小波脊線就可以完成信號(hào)瞬時(shí)頻率fr（t）的提取，如式（11）所示：

　　其中，w0為小波基函數(shù)的中心頻率。

2 小波基函數(shù)的選取

　　為了提取小波脊線，假定信號(hào)s（t，r（t））具有隨r（t）變化的瞬時(shí)性，如果r（t）能夠被小波基函數(shù)g（t）檢測(cè)出來，則需要滿足以下3個(gè)條件[5-6]：

　?。?）在r（t）=r不存在瞬時(shí)變化的情況下，小波系數(shù)WTs只隨a變化，與b無關(guān)，即L（a）=WTs{a，t|r}，r為常數(shù)；

　　（2）在t時(shí)刻r（t）變化時(shí)，WTs{a，t|r}會(huì)產(chǎn)生一個(gè)明顯與L（a）不同的值；

　?。?）在t時(shí)刻，為了達(dá)到一個(gè)相對(duì)比較高的檢測(cè)頻率，小波系數(shù)與L（a）的差值D達(dá)到最大，即Dmax=max（|WTs（a，t）-L（a）|）。

　　由小波脊線檢測(cè)條件知，小波脊線的提取效果與小波基函數(shù)的選擇有直接的關(guān)系。

　　2.1 Morlet小波

　　Morlet小波常因?yàn)槠渚哂辛己玫臅r(shí)-頻域特征，而被選為提取雷達(dá)信號(hào)特征參數(shù)的小波基函數(shù)，它的表達(dá)式為：

　　g1（t）=exp（-t2/N）exp（jw0t）（12）

　　當(dāng)N=5時(shí)，為普通的Morlet小波，其波形如圖1所示。

　　當(dāng)N=25時(shí)，波形如圖2所示，它的傅里葉變換為：

　　母波時(shí)頻窗為：

　　子波時(shí)頻窗為：

　　由式（15）可知，小波變換對(duì)信號(hào)的時(shí)頻分辨率受到小波原子尺度a的伸縮的直接影響，而b只是對(duì)時(shí)頻窗位置的改變。尺度因子a越小，時(shí)域分辨率越高，頻域分辨力就越低。為了提高檢測(cè)概率，小波變換通過調(diào)節(jié)a的值來滿足?駐w，使時(shí)頻分辨率能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)。

　　由式（14）、（15）知，N的作用主要是協(xié)調(diào)時(shí)域和頻域的分辨力，使其都達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。N越大，頻率分辨力就越大，但由于N受到小波變換條件及時(shí)域分辨率的約束，不可能無限制地增大，因此在估計(jì)信號(hào)瞬時(shí)頻率時(shí)，要兼顧時(shí)域和頻域。

　　2.2 改進(jìn)的Morlet小波

　　參考文獻(xiàn)[5]為了得到較好的檢測(cè)率，提出了一種新的Morlet小波（波形如圖3所示），即：

　　小波基函數(shù)的有效支撐區(qū)間為[-Tc，Tc]；由0≤t2/k≤π/2?圯k=2T2/π。相比式（12）而言，式（16）通過增大N的值，把小波拉伸至類似余弦函數(shù)的其中一段。從圖2和圖3可看出，式（16）雖然有較好的幅頻特征，但卻使時(shí)域分辨率降低了，所以它并沒有在整個(gè)時(shí)頻域內(nèi)使檢測(cè)概率以及檢測(cè)精度達(dá)到最佳效果。因此，參考文獻(xiàn)[6]又對(duì)式（16）作了改進(jìn)（波形如圖4所示）。

　　小波基函數(shù)的有效支撐區(qū)間為[-Tc，Tc]，由0≤|t|/k≤π/2?圯k=2T/π。從圖4可看出，式（17）的性能優(yōu)于式（12）和式（14），因?yàn)樗C合考慮了時(shí)頻分辨率。

　　通過分析可以發(fā)現(xiàn)Morlet小波的時(shí)域包絡(luò)隨著N的增大波形更趨近于一個(gè)二項(xiàng)式函數(shù)。但由于要綜合考慮時(shí)頻分辨率，而且被容許條件限制著，N的值不可能無限增大。依據(jù)上述分析，為達(dá)到較高的時(shí)頻分辨率及高檢測(cè)率，提出了基于二項(xiàng)式函數(shù)的新的Morlet小波基函數(shù)，其表達(dá)式為：

　　其中，w0為小波中心概率；小波基函數(shù)的有效支撐區(qū)間為，近似滿足容許條件。設(shè)Tc=10時(shí)，其波形如圖5所示，各類小波基函數(shù)的幅頻特性如圖6所示。

　　從仿真圖可以看出，M1小波雖然有較高的時(shí)域分辨率，但是其頻域分辨率較差。M5既具有與M2幾乎同樣的衰減速度，又具有像M3的時(shí)域窗口長(zhǎng)度、高檢測(cè)頻率和抗噪能力。相比較而言，M5比M3和M4更滿足容許條件，M5具有更好的時(shí)-頻分辨率和高檢測(cè)頻率。圖6描述的5類小波的幅頻特性中，M1、M2的幅值比M3、M4和M5的小很多；M3的收斂速度比M4和M5的稍差，雖然其幅值最大；而M4和M5則具有同樣的收斂速度，但是綜合考慮時(shí)頻分辨率，M5的幅值優(yōu)于M4，因此M5的幅頻特征相對(duì)最優(yōu)。針對(duì)漸進(jìn)信號(hào)，用M5對(duì)應(yīng)的小波基函數(shù)來提取信號(hào)小波脊線特征效果更佳。

3 仿真結(jié)果與分析

　　為驗(yàn)證以上方法的有效性，下面利用上述的5種小波對(duì)BPSK和QPSK在信噪比為20 dB的情況下進(jìn)行小波脊線特征的提取，本文利用的是迭代算法提取小波脊線，即參考文獻(xiàn)[7]的算法。信號(hào)參數(shù)設(shè)置如下：載頻20 MHz，采樣頻率80 MHz，編碼為7位Barker碼，脈寬為10 μs。仿真結(jié)果如圖7~圖11所示。

　　從圖7~11可以看出，在噪聲環(huán)境中，M1的小波脊線特征提取的精確度明顯沒有其他幾個(gè)小波脊線的精確度高，M1抗噪性能較差，易受噪聲影響。在某些點(diǎn)上，M2、M3、M4的提取精確度沒有M5的高。所以綜合看來，M5的提取效果比M2、M3、M4的提取效果好，抗噪聲能力比較強(qiáng)。從上述仿真結(jié)果圖可以看出，M5的小波脊線特征提取具有更優(yōu)良的抑制噪聲的能力，能更加準(zhǔn)確地估計(jì)出信號(hào)的瞬時(shí)頻率。

4 結(jié)論

　　本文在原有的Morlet小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過改良提出了一個(gè)新的Morlet小波基函數(shù)，用于小波脊線特征的提取，來更加準(zhǔn)確地估計(jì)出雷達(dá)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，其理論性和實(shí)用性良好。MATLAB仿真結(jié)果顯示，使用改良版Morlet小波提取出來的雷達(dá)信號(hào)的脊線特征能更好地抑制噪聲的影響，檢測(cè)概率也有所提高，能更精確地為雷達(dá)信號(hào)的分選和識(shí)別提供依據(jù)。

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