0 引言

　　參數(shù)化功率譜模型估計方法中基于信號相關(guān)函數(shù)的自回歸(AR)模型具有多種良好的性能，在理論研究和工程應(yīng)用中最為廣泛。研究表明，水聲、無線通信等信號常伴有較強(qiáng)的非高斯脈沖噪聲[1-4]，?琢穩(wěn)定分布能夠描述此類脈沖噪聲，在非高斯非線性的信號處理中應(yīng)用廣泛。針對該類噪聲的特點(diǎn)，參考文獻(xiàn)[1]提出了基于分?jǐn)?shù)低階矩(Fractional Lower Order Moment，F(xiàn)LOM)的共變譜，但是由于方法中待估信號仍需進(jìn)行二階矩計算，在值接近1時性能下降明顯。參考文獻(xiàn)[2]給出了分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差(Fractional Lower Order Covariance，F(xiàn)LOC)的方法，克服了譜估計方法的不足。參考文獻(xiàn)[3]提出了分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差系數(shù)，使AR模型系數(shù)的估計值收斂能力增強(qiáng)，提高了估計性能，但增加了預(yù)設(shè)分?jǐn)?shù)低階值的數(shù)量，應(yīng)用中影響了譜估計的精度，對頻率分辨能力影響更大。

　　近年來，相關(guān)熵理論[5]的提出為非高斯非線性信號處理帶來了新的思路，基于相關(guān)熵的信號處理方法在脈沖噪聲條件下的應(yīng)用越來越受到重視[4]。相關(guān)熵函數(shù)是一種新的表征信號局部相似程度的度量形式[6]。由于相關(guān)熵對非高斯非線性過程并不敏感，相關(guān)熵及由其演化的最大相關(guān)熵準(zhǔn)則已廣泛應(yīng)用到多個方面[4-7]。本文將相關(guān)熵函數(shù)運(yùn)用到AR模型參數(shù)估計中，建立了基于相關(guān)熵的AR模型參數(shù)估計方法，并通過AR模型參數(shù)得到譜估計。本文方法無需預(yù)設(shè)分?jǐn)?shù)低階值，仿真顯示在相同混合信噪比下能夠在更大的脈沖特性范圍內(nèi)進(jìn)行有效的譜估計。

　　1 穩(wěn)定分布噪聲及譜

　　1.1 穩(wěn)定分布噪聲

　　?琢穩(wěn)定分布是目前唯一符合廣義中心極限定理的分布類型[1]，通常由特征函數(shù)進(jìn)行表征。如果隨機(jī)變量?錐存在4個參數(shù)(，，?酌，a)，其中0<≤2，-1≤≤1，a為實(shí)數(shù)，其特征函數(shù)：

　　式中，則稱X服從?琢穩(wěn)定分布，記為。

　　稱特征指數(shù)，表征分布的脈沖特性，值越小分布的拖尾越厚，反之拖尾變薄。稱對稱參數(shù)，確定分布的偏斜程度，=0為對稱分布，稱為對稱穩(wěn)定(S)分布，-1≤<0為左偏斜分布，0<≤1為右偏斜分布。為分散系數(shù)，表征樣本相對于均值的分散程度。a為位置參數(shù)，用于確定PDF的位置。

　　除這3種情況外，穩(wěn)定分布的PDF沒有封閉的表達(dá)式。

　　1.2 SS分布下的模型譜

　　S?琢S分布具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，應(yīng)用廣泛。隨機(jī)過程X(n)的AR模型，可表示為[1]：

　　其中ai為AR模型參數(shù)，P為模型階數(shù)，U(n)～S(，0，，0)噪聲，如果滿足1<≤2，則：

　　E[X(n+l)|X(n)]=(l)X(n)(3)

　　其中?姿(l)為X(n+l)與X(n)的共變系數(shù)。由式(2)和式(3)可以得到AR模型的廣義Yule-Walker方程：

　　經(jīng)過推導(dǎo)，SS分布下的AR模型?琢譜表示為[1]：

2 基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的AR模型譜估計

　　2.1 基于FLOM的AR模型譜估計

　　基于FLOM的譜估計方法是通過隨機(jī)過程的共變系數(shù)來計算AR模型參數(shù)的。X(n)和X(n+l)的共變系數(shù)為：

　　其中x〈p〉=sign(x)|x|p，p為分?jǐn)?shù)低階的階數(shù)值。

　　對于有限的觀測序列X(n)，參考文獻(xiàn)[1]給出了共變系數(shù)?姿(l)的估計值：

　　其中L1=max(0，-l)，L2=min(N-l，N)，l=-P：P(P為AR模型階數(shù))，p為分?jǐn)?shù)低階的階數(shù)值，N為觀測序列數(shù)量。將式(7)代入式(4)可求得AR模型的參數(shù)估計值i(i=1，2，…，P)。將i代入式(5)可得不過，該方法不滿足各態(tài)遍歷定理，估計精度在較大脈沖條件下下降明顯[3]。

　　2.2 基于FLOC的AR模型譜估計

　　由于FLOM方法中共變系數(shù)(l)具有理論上的局限性，參考文獻(xiàn)[2]提出了兩個SS隨機(jī)過程X1(n)與X2(n)之間的FLOC表達(dá)式：

　　其中L1=max(0，-l)，L2=min(N-l，N)，l=-P：P，a和b為分?jǐn)?shù)低階的階數(shù)值，N為樣本數(shù)量。將式(10)的估計值代入式（4）進(jìn)行求解，即可得到AR模型的參數(shù)i(i=1，2，…，P)。將i代入式(5)得到AR模型的譜估計該方法估計精度得到了很大提高，頻率分辨能力也很強(qiáng)，但是其增加了分?jǐn)?shù)低階取值參數(shù)，需對a和b兩個參數(shù)進(jìn)行預(yù)先確定，給實(shí)際運(yùn)用帶來不便，且影響估計精度。

3 基于相關(guān)熵的AR模型譜估計

　　3.1 相關(guān)熵函數(shù)

　　Santamaria根據(jù)核空間向量的內(nèi)積定義了一種廣義的相關(guān)函數(shù)[6](Generalized Correlation Function，GCF)，也稱相關(guān)熵函數(shù)，具有與相關(guān)函數(shù)相似的性質(zhì)。

　　若xt為一個隨機(jī)過程，t∈T，則xt的相關(guān)熵函數(shù)為：

　　由式(13)可知，相關(guān)熵函數(shù)包含了隨機(jī)變量(xt-xs)所有的偶數(shù)階矩，能夠更加準(zhǔn)確地刻畫信號特性，同時各偶階矩都受到核尺寸的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，核尺寸值常用Silverman準(zhǔn)則進(jìn)行確定。高斯過程的Silverman準(zhǔn)則[6]為：

　　其中，確定的核尺寸值，Ｘ為隨機(jī)變量樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，N為樣本數(shù)，d為樣本維數(shù)。

　　3.2 基于相關(guān)熵的AR模型參數(shù)估計

　　實(shí)際有限的信號樣本條件下，離散時間嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)熵函數(shù)可估計為[7]：

　　其中，N為樣本個數(shù)，?資(·)為高斯核函數(shù)，l=-P：P(P為AR模型階數(shù))。同理，將所估計的相關(guān)熵函數(shù)值(l)代入式(4)得：

　　由于相關(guān)熵函數(shù)具有偶對稱的性質(zhì)，式(16)左邊相關(guān)熵函數(shù)矩陣為P×P的正定Toeplitz矩陣[6]，求解式(16)可以得到AR模型的參數(shù)i(i=1，2，…，P)。將i代入式(5)可得到AR模型的譜估。該方法不用預(yù)先設(shè)置分?jǐn)?shù)低階值，能夠避免因設(shè)置的非最優(yōu)性而對估計精度造成不良的影響。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

　　4.1 混合信噪比

　　在穩(wěn)定分布噪聲條件下，采用混合信噪比(MSNR)[2]來表示信號與噪聲能量之比：

　　其中?酌為?琢穩(wěn)定分布噪聲的分散系數(shù)，N為信號樣本數(shù)，S(n)為有用信號樣本。

　　4.2 單正弦信號的譜估計性能

　　設(shè)觀測序列為X(n)=S(n)+U(n)=Acos(2?仔fn)+U(n)，n=1，2，…，N。其中S(n)為信號序列，U(n)為噪聲序列，A為信號幅度，f∈(0，0.5)為歸一化頻率，N為觀測序列長度。

　　U(n)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)SS分布，特征指數(shù)=0.5，1.0，1.5，幅度A根據(jù)MSNR的取值相應(yīng)設(shè)置，取MSNR=-3 dB，歸一化頻率f1=0.1，AR模型階數(shù)P=30。FLOM方法中p=1，F(xiàn)LOC方法中a=0.1，b=/2，而相關(guān)熵方法中并不需要提前設(shè)定這些參數(shù)。為消除信號隨機(jī)影響，實(shí)驗(yàn)經(jīng)過20次蒙特卡洛仿真后取均值。

　　圖1分別給出了FLOM、FLOC和相關(guān)熵3種方法的仿真結(jié)果。FLOM法在脈沖水平較低時(=1.5)估計性能良好，能夠準(zhǔn)確估計出信號頻率。FLOC方法在中等(=1.1)和較低(=1.5)脈沖水平時估計效果均最為優(yōu)異。本文方法由于對脈沖噪聲不是十分敏感，不僅能夠準(zhǔn)確估計出有用信號頻率，而且在各種脈沖特性水平情況下均非常穩(wěn)定。隨著脈沖特性逐漸提高，F(xiàn)LOM和FLOC法分別在?琢=1.1和?琢=0.5時相繼失效。

　　4.3 雙正弦信號譜估計的頻率分辨性能

　　增加一個歸一化頻率為f2=0.11的同幅度信號，即S(n)=A(cos(2?仔f1 n+)+cos(2f2 n))，AR模型階數(shù)P=100，MSNR、p、a和b設(shè)置同上節(jié)，實(shí)驗(yàn)方法不變。圖2分別給出3種譜估計方法對信號頻率的分辨能力。=1.5時，3種方法均能準(zhǔn)確分辨0.01的頻率差；=1.1時，F(xiàn)LOM方法失效，F(xiàn)LOC方法性能降低；脈沖特性水平提高到?琢=0.5時，這兩種失效。本文提出方法在三種情況下均能分辨出相鄰兩個信號的頻率，并且頻譜也十分穩(wěn)定。

5 結(jié)論

　　脈沖噪聲存在于多種信號之中，常規(guī)AR譜估計方法性能下降明顯。雖然分?jǐn)?shù)低階矩譜估計方法表現(xiàn)出了良好的性能，但需要提前設(shè)置分?jǐn)?shù)低階矩的階值參數(shù)，具有一定的盲目性，影響了估計精度，其性能也隨著噪聲脈沖特性水平的提高逐漸下降。相關(guān)熵是表征信號間局部相似度的新度量形式，對信號的非高斯特性并不敏感。本文將相關(guān)熵函數(shù)引入脈沖環(huán)境下的AR模型參數(shù)估計中，仿真實(shí)驗(yàn)表明，新方法具有不必預(yù)設(shè)分?jǐn)?shù)低階參數(shù)、性能穩(wěn)健的特點(diǎn)，與基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的?琢譜估計方法相比，在大脈沖條件下仍能保持良好估計效果。

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