0 引言

    雙有源全橋DC-DC變換器被廣泛應(yīng)用于涉及電能儲存的系統(tǒng)中，例如混合電動汽車驅(qū)動系統(tǒng)、新能源發(fā)電儲能系統(tǒng)、不間斷電源等^[1，2]。為保證儲能系統(tǒng)電壓或功率輸出穩(wěn)定或是跟隨給定輸出，應(yīng)設(shè)計高動態(tài)性能控制策略。而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是控制器設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)^[3]。所以，對變換器進行精確的建模具有重要意義。

    國內(nèi)外專家對雙有源全橋DC-DC變換器進行了大量的分析和研究。其中文獻[3]分析了功率傳輸工作特性，建立了雙有源全橋DC-DC變換器狀態(tài)空間平均模型，并分析了電感和電容對動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性影響；文獻[4]應(yīng)用離散建模方法，建立了雙有源全橋DC-DC變換器精確的離散小信號模型，設(shè)計了雙閉環(huán)控制器。

    從上述文獻中可以看出，建立開關(guān)變換器模型常用的建模方法是狀態(tài)空間平均法、電路平均法及數(shù)據(jù)采樣建模法等，其中前兩種建模方法簡單實用，但忽略一個開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)變量的波動^[5]。在雙有源全橋雙向DC-DC變換器中電感電流波動較大，應(yīng)用狀態(tài)空間平均法建模需降階處理，降低了模型準(zhǔn)確度。數(shù)據(jù)采樣建模方法雖然精確度高，但需要獲得一個周期的穩(wěn)定值，計算量大，表達式復(fù)雜。

    基于以上問題，本文采用一種適合于諧振變換器的建模方法^[6]建立雙有源全橋變換器的小信號模型。廣義狀態(tài)平均法將一個時變的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為線性時不變的狀態(tài)方程。文中計算分析變換器工作模態(tài)，應(yīng)用廣義狀態(tài)平均法建立系統(tǒng)的小信號模型和穩(wěn)態(tài)模型；通過仿真實驗比較廣義狀態(tài)平均法、狀態(tài)空間平均法建立的模型與實際拓撲穩(wěn)態(tài)輸出的誤差，驗證廣義狀態(tài)平均法的準(zhǔn)確性和有效性；最后根據(jù)廣義狀態(tài)平均法建立的模型設(shè)計閉環(huán)控制器。

1 廣義狀態(tài)空間平均法

    信號分析中可知，若信號x(t)滿足傅里葉變換的條件，則信號x(t)在時間段[t-T，t]中，可以通過式(1)得到信號x(t)傅里葉級數(shù)的第k次系數(shù)形式。

    當(dāng)窗口函數(shù)在信號的時間軸上滑動，得到的傅里葉系數(shù)x_k(t)是關(guān)于變量t的函數(shù)。

    傅里葉級數(shù)是離散頻率的傅里葉變換，所以合理利用傅里葉變換的性質(zhì)，傅里葉變換的性質(zhì)中最重要的是微分性質(zhì)，通過微分性質(zhì)得到變量的狀態(tài)方程，由傅里葉系數(shù)表達式得到第k次傅里葉系數(shù)的微分方程：

    廣義狀態(tài)空間平均法建模用到的傅里葉變換另一重要性質(zhì)即它的頻域卷積定理，若一個信號的表達式是f(x₁，x₂)=x₁ x₂，其中x₁、x₂都是關(guān)于時間t的函數(shù)且x₁、x₂的傅里葉變換存在，則函數(shù)f(x₁，x₂)的傅里葉變換為：

    應(yīng)用上述性質(zhì)便于求得系統(tǒng)狀態(tài)量的傅里葉級數(shù)系數(shù)。開關(guān)變換器在每個工作模態(tài)都是線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)一個開關(guān)周期內(nèi)變換器的工作模態(tài)，列出時域狀態(tài)方程：

其中u(t)是一個開關(guān)周期T內(nèi)關(guān)于時間t的函數(shù)。

    將廣義狀態(tài)空間平均法應(yīng)用在電力電子變換器中，分別對式(4)等號兩側(cè)求第k次傅里葉系數(shù)，得到：

    進一步簡化描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程，應(yīng)用傅里葉系數(shù)的微分性質(zhì)，得到第k次傅里葉系數(shù)的狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)時域狀態(tài)方程得到等號右側(cè)關(guān)于系數(shù)〈x〉_i、〈u〉_i的函數(shù)。如式f(x，u)中有二次項或多項式乘法，利用傅里葉變換卷積性質(zhì)進一步簡化。

    通過信號分析可知，幅值較大的低階次的傅里葉系數(shù)能夠充分描述系統(tǒng)的低頻特性?？紤]到系數(shù)越多，能更精確描述原系統(tǒng)特性，為了簡化計算，減少狀態(tài)空間方程的階次，只分析信號的低階分量。

2 雙有源全橋雙向DC-DC變換器的建模

    雙有源全橋雙向DC-DC變換器的拓撲如圖1所示，R_c1、R_c2分別為電容C₁、C₂的內(nèi)阻，L是高頻變壓器的漏感折算到一次側(cè)的等效漏感，R_L是變壓器內(nèi)阻的等效電阻。變壓器原副邊繞組的匝數(shù)比為N，本文為了便于推導(dǎo)，設(shè)N=1。

    變壓器兩側(cè)的電壓v_ab、v_cd在穩(wěn)態(tài)時可以近似認為是兩個交流方波。雙有源橋DC-DC變換器工作在穩(wěn)態(tài)時，在一個開關(guān)周期T內(nèi)，變壓器兩端電壓和電感電流理想波形如圖2所示，D_φ是隔離變壓器原副邊基波電壓移相角φ與π的比值。

    由于開關(guān)管的開關(guān)過程較短，為了便于分析,假設(shè)開關(guān)過程瞬間完成。從圖2中可以看出變換器在一個周期內(nèi)有4種工作模態(tài)，由4種模態(tài)的狀態(tài)空間方程，得到一個開關(guān)周期T內(nèi)的狀態(tài)方程：

    在雙有源全橋工作在功率正向傳輸模式時R_c1=R_c2=R_s1=0，輸入為V₁。因此，用廣義狀態(tài)空間平均法建立的模型包含電感電流i_L一次傅里葉系數(shù)和輸出電壓u_c2的零次傅里葉系數(shù)。由式(6)得到廣義狀態(tài)空間平均模型：

    在廣義狀態(tài)空間模型中，狀態(tài)變量是變換器原變量的傅里葉級數(shù)系數(shù)，分別列寫由狀態(tài)變量實部和虛部組成的狀態(tài)方程，得到變換器模型的三階狀態(tài)空間方程表示為：

    由微分方程(8)得到變換器的穩(wěn)態(tài)工作點，假設(shè)開關(guān)變換器的靜態(tài)工作點各變量大小為I_c、I_s、U₀。若在穩(wěn)態(tài)工作點附近對輸入變量、狀態(tài)變量和變壓器原副邊移相比控制量引入低頻小信號擾動，使變換器的狀態(tài)量和輸出變量發(fā)生微小變化。用泰勒級數(shù)展開進行線性化處理，得到由系統(tǒng)的小信號模型。系統(tǒng)廣義狀態(tài)空間平均小信號模型狀態(tài)矩陣和輸出矩陣如下：

    根據(jù)雙有源全橋雙向DC-DC開關(guān)變換器的小信號狀態(tài)空間描述方程，利用式(12)求解電壓uc2關(guān)于移相比D_φ的傳遞函數(shù)。

3 仿真結(jié)果

    本文通過MATLAB仿真分析驗證廣義狀態(tài)空間平均法建立雙有源全橋雙向DC-DC變換器模型的準(zhǔn)確性和有效性，參數(shù)見詳表1。

    圖3中比較了廣義狀態(tài)空間平均法模型、狀態(tài)空間平均法模型的輸出電壓與開關(guān)變換器物理模型的開環(huán)輸出電壓，其中控制輸入移相比D_φ=0.4。從圖3中可以看出，廣義狀態(tài)空間平均模型相比狀態(tài)空間平均模型能更準(zhǔn)確模擬實際拓撲模型的穩(wěn)態(tài)特性與動態(tài)特性。

    通過建立系統(tǒng)的小信號模型設(shè)計系統(tǒng)的閉環(huán)控制器，使系統(tǒng)獲得較好的動態(tài)性能并減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖4給出了由廣義狀態(tài)空間平均法和狀態(tài)空間平均法兩種建模方法建立的模型的開環(huán)系統(tǒng)控制-輸出伯德圖。從圖4中可以看出，兩種建模方法建立的模型伯德圖的最大不同在系統(tǒng)的高頻段，產(chǎn)生這種差別的原因是狀態(tài)空間平均法忽略了電感電流的波動。

    系統(tǒng)伯德圖表征了閉環(huán)系統(tǒng)的動穩(wěn)態(tài)特性及抑制噪聲的能力。因此，為改善開環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能，開關(guān)變換器的閉環(huán)系統(tǒng)的截止頻率一般在開關(guān)頻率的1/5~1/20范圍內(nèi)。為獲得滿意的動態(tài)過程，閉環(huán)系統(tǒng)的相角裕度為45°~70°，增益裕度在10 dB以上。根據(jù)上述要求設(shè)計閉環(huán)系統(tǒng)的PI控制器。圖5為閉環(huán)系統(tǒng)的伯德圖，由圖中可知滿足控制器設(shè)計要求。

    圖6為變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸出電壓和負載電流。在10 ms時加入負載擾動負載電流突變，輸出電壓快速達到穩(wěn)定。圖6中閉環(huán)系統(tǒng)的輸出電壓與圖3中開環(huán)系統(tǒng)的輸出電壓相比較可知，設(shè)計的閉環(huán)控制器使系統(tǒng)響應(yīng)速度快，準(zhǔn)確跟隨給定參考值，有很好的抗干擾能力。

4 結(jié)論

    本文基于廣義狀態(tài)空間平均法建立的雙有源全橋雙向DC-DC變換器模型準(zhǔn)確、有效?；趶V義狀態(tài)空間平均法能準(zhǔn)確建立雙有源全橋雙向DC-DC變換器的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)模型；通過合理的簡單近似解決了建模準(zhǔn)確性和計算量過大的矛盾；雙有源全橋DC-DC變換器的廣義狀態(tài)空間模型為設(shè)計滿足穩(wěn)態(tài)及動態(tài)性能指標(biāo)的控制器提供了理論基礎(chǔ)。

參考文獻

[1] INOUE S，AKAGI H.A bi-directional DC/DC converter for an energy storage system[C].Applied Power Electronics Conference，APEC 2007-Twenty Second Annual IEEE.IEEE，2007：761-767.

[2] BAI H，MI C，WANG C，et al.The dynamic model and hybrid phase-shift control of a dual-active-bridge converter[C].Industrial Electronics，2008.IECON 2008.34th Annual Conference of IEEE.IEEE，2008：2840-2845.

[3] 歐陽長蓮.DC-DC開關(guān)變換器的建模分析與研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2004.

[4] KRISMER F，KOLAR J W.Accurate small-signal model for an automotive bidirectional dual active bridge converter[C].Control and Modeling for Power Electronics，2008.COMPEL 2008.11th Workshop on.IEEE，2008：1-10.

[5] MIDDLEBROOK R D，CUK S.A general unified approach to modelling switching-converter power stages[J].International Journal of Electronics Theoretical and Experimental，1977，42(6)：521-550.

[6] WANG P，LIU C，GUO L.Modeling and simulation of full-bridge series resonant converter based on generalized state space averaging[C].Applied Mechanics and Materials，2013：1828-1832.