摘 要： 子空間理論中被用于奇異值分解或特征值分解的自相關矩陣,通?？杀硎緸榻邮障蛄颗c其自身轉(zhuǎn)置的乘積。提出了自相關矩陣的新型構造算法。該算法構造的自相關矩陣，特征值分解后其對噪聲不敏感，克服了常規(guī)子空間方法的弱點。仿真試驗表明，該方法應用在高噪聲、低信噪比的實際通信環(huán)境下，特征值不會被噪聲湮沒，從根本上解決了傳統(tǒng)子空間分辨率不足的問題。同時，仿真表明，該方法對于多用戶擴頻信號同樣適用，可解決多用戶擴頻信號的碼元分離問題，其計算結(jié)果與理論計算一致，驗證了算法的正確性。

　　關鍵詞： 子空間理論；相關矩陣；特征值分解；直序列擴頻

0 引言

　　基于特征值分解（EVD）和基于奇異值分解（SVD）的子空間算法是近年來研究的熱門方向。其在信號處理方面，如信號的頻譜估計、陣列傳感器數(shù)據(jù)估計和其他參數(shù)估計[1]等方面越來越受到廣泛重視。但上述研究都是針對普通高信噪比情況下的調(diào)制信號而言，對于噪聲環(huán)境中的擴頻后的直擴信號罕有研究，對此，本文改進了子空間算法的分解矩陣——相關矩陣，對含噪情況下的直擴信號的分解算法做出了研究。

　　子空間[2]的相關矩陣（這里用R表示）可以用如下公式表示：

　　其中yi代表第i個采樣窗口內(nèi)的采樣點數(shù)（共M個采樣點）；代表N個窗口內(nèi)所有數(shù)據(jù)的平均值。

　　從上式可以看出，特征值的大小取決于信噪比而與統(tǒng)計窗口累計次數(shù)的多少并無關聯(lián)。由此可以得出結(jié)論，傳統(tǒng)子空間方法[3-4]，僅僅依靠增加統(tǒng)計窗口個數(shù)是無法解決提取信號特征值[5]，每個窗口如果都是處于較低信噪比的條件下，信號特征值仍然會湮沒在噪聲中。

　　區(qū)別于傳統(tǒng)子空間方法，本文提出的重構方法，對R的建立不再采用missing image file的方式，而改用累乘的方法，即采樣后的一段數(shù)據(jù)，各個窗口累乘，從而構造出新的相關矩陣。下文簡稱該方法為累乘算法（Matrix Multiplication based Subspace，MMS）。

　　該算法構造的新型矩陣具備如下特點：

　?。?）保留傳統(tǒng)子空間方法構造矩陣的特性（在信號特征值與信噪比函數(shù)之間建立聯(lián)系）。

　　（2）分解后的信號特征值大小與累計窗口數(shù)量相關。即信號特征值既是信噪比（SNR）ρ的函數(shù)也是累積窗口分段數(shù)K的函數(shù)。

　?。?）分析窗口數(shù)量越多，信號特征值增長越快，而噪聲特征值幾乎不隨分析窗口的數(shù)量增長而增長。當累計窗口數(shù)量達到一定程度時，就能明顯區(qū)分出信號特征值與噪聲特征值。

　　文中最后將該算法構造的相關矩陣用矩陣特征值分解后得到新的特性，并將直擴信號作為算法的輸入信號源，最終成功提取出多用戶直擴信號碼型。

1 直序列擴頻信號數(shù)學模型

　　直序列擴頻是將一個較窄的用戶信號，通過直接相乘，使其變成一種寬帶、高速率的碼元信號。由于信號速率提高，從頻域上看，其占用的帶寬相應也變寬。

　　對本文使用到的各種數(shù)學符號作如下定義：

　　missing image file :用戶擴頻序列；

　　P:序列位數(shù)（長度）；

　　Ts: 符號周期；

　　Te: 采樣周期；

　　Tc:碼片周期()；

　　t0: 失步時間（采樣窗口與實際的符號起止窗口時間差），如圖1所示；

　　h(t):信號傳輸過程中所有信號畸變帶來的影響總和，也可以理解為傳輸鏈中發(fā)射端濾波器、信道濾波器、接收端濾波器和其他信道畸變影響帶來失真的卷積,表示如下：

　　missing image file：h(t)的矢量表示；

　　s(t): 擴頻信號經(jīng)接收機接收、解調(diào)后的基帶信號:

　　n(t)：噪聲；

　　σ2: 噪聲方差;

　　y(t)=s(t)+n(t): 接收機解調(diào)輸出含噪信號。

　　對上述變量和以下要推導的公式，需做如下限定：

　　（1） 擴頻前用戶基帶信號ak在較長期限內(nèi)“+1”、“-1”數(shù)量大體相等，均值為零；

　?。?）n(t)為與信號ak相互獨立的（完全不相關的）高斯型白噪聲；

　?。?）通過參考文獻[6-7]，已經(jīng)獲取到該擴頻信號的一些參數(shù)，如射頻載波頻率f0、符號周期Ts、碼片周期Tc等。

　　對于假設（3），使用循環(huán)譜相關方法能夠在極低SNR下計算出碼片周期Tc和載波頻率f0。一旦f0可得，可以設計相應下變頻接收機，通過NCO產(chǎn)生f0頻率，對射頻信號f0進行相乘，從而下變頻到基帶。

　　若Tc已知，為了后續(xù)計算的簡便，可將仿真采樣周期Te直接設置成Tc，但這樣僅僅為了計算方便，并非必要，即Tc可不知。

　　同樣，采用倒譜技術能估計出擴頻信號的符號周期Ts，將采樣窗口周期設置為Ts。

2 累乘算法

　　按照上節(jié)所述，每個采樣窗口時長為Ts，每個窗口內(nèi)再分為K段，K段內(nèi)又包含N個獨立計算窗口，每段單獨計算自相關。將K個自相關矩陣相乘，得到新算法后的帶分解矩陣：

　　式中表示第k個N組窗口的均值；yi表示k段第i個窗口中采樣序列。yi為列矢量。

　　按照上述理論，采樣窗口周期設置為符號周期，單個采樣周期內(nèi)應該橫跨兩個符號，其中一個符號為ak，保持時間為t0（t0為失步時間，未知）；第二個符號表示為 ak+1，保持時間為整個符號周期減去上一個符號的保持周期(Ts-t0)。由于單個采樣周期內(nèi)存在兩個符號，對該采樣周期內(nèi)的相關矩陣分解后，將呈現(xiàn)兩個較大特征值，該特征值分別表示上述兩個符號，而其他特征值均為噪聲特征值：

　　根據(jù)式（3），有：

　　其中I為單位矩陣。由式（4）可以得出：矩陣中存在兩個較大的特征值，每個值對應特征矢量為missing image file/missing image file與系數(shù)的乘積。

　　根據(jù)如下定義，可改寫式（4），為基帶符號的方差，定義：

　　定義如下：

　　式（4）可改寫為式（5）：

　　擴頻后的信號方差可表示為：

　　信噪比不直接采用信號比噪聲，也不采用dB為單位的對數(shù)表達式，定義如下：

　　式（5）可改寫為：

　　對矩陣（6）進行特征值分解，R的特征值中λ1、 λ2為上述表達符號矢量的兩個較大特征值（信號特征值），其他特征值λi(i≥3)則可稱為噪聲特征值，由系統(tǒng)中的各類噪聲引起。

　　根據(jù)式（7），使用新型累乘構造方法，λ1、λ2不僅與信噪比ρ有關，同時也與分段數(shù)量K相關（即λ1、 λ2是ρ和K的函數(shù)）。

　　比較傳統(tǒng)子空間相關函數(shù)構造方法：

　　從式(8)可以得到，傳統(tǒng)方法僅是信噪比ρ的函數(shù),而與參與計算的窗口數(shù)量沒有關系,窗口數(shù)量的提升不會改善信號特征值的分辨率。

　　式（7）、式（8）之間關系為：

　　式（9）按級數(shù)序列展開公式簡化后得到：

　　為了進一步簡化，這里假設：

　　根據(jù)式（10），得到新算法特征值 λ1、λ2和λi之間的關系：

　　根據(jù)式（8），得到傳統(tǒng)算法特征值之間關系：

　　比較式（11）、式（12），低信噪比條件下，根據(jù)定義，此時 得出結(jié)論：使用傳統(tǒng)自相關算法構造的矩陣，分解后得到的結(jié)果不能從噪聲特征值中有效地分辨出信號特征值。而采用MMS累計得到的相關矩陣，分解后由于K為一個大的正整數(shù)，能有效增加λ1、λ2與其他特征值λi之間的差異。

　　3 實驗結(jié)果

　　考慮到計算量的問題，在驗證該算法的有效性時，文中使用自相關、互相關性非常好的Gold碼作為擴頻序列，碼長設為63，調(diào)制類型設為QPSK (Quaternary Phase Shift Keying)，信噪比設為SNR=-30 dB (按照如上定義，ρ=0.001)，采用K×N=10 000個分析窗口，對算法進行驗證。

　　采樣周期Te=Tc=Ts/P，采樣窗口周期設為Ts，為了方便計算，信道內(nèi)沒有多徑干擾，失步系數(shù)設定為T0/Ts =0.4，失步時間t0原則上未知，但可通過式（10）得出。

　　按照上述參數(shù)設置，最終分解后的特征值：

　　missing image file

　　missing image file比例關系接近1:1:1，如圖2所示，信號特征值完全湮沒在噪聲特征值的波動之中。圖2與式（13）中的理論計算相吻合，此時不能獨立分離出信號特征值。

　　采用新算法MMS后，設定K=8, N=1 250，同樣10 000個窗口條件下的仿真結(jié)果，如圖3所示。表明missing image file之間比例關系：

　　采用新算法后，可以明顯發(fā)現(xiàn)λ1、λ2受K的影響，能明顯分辨出信號特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi之間的差異。

　　同樣，在不改變總窗口數(shù)量10 000的條件下，調(diào)整分段數(shù)，使K=20, N=500，信號特征值與噪聲特征值比例關系理論上應為：

　　圖4證明了這一理論推導。同理，比較圖3、圖4，隨著K的增加，信號特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi的差異越來越明顯。但總窗口數(shù)K×N一直為10 000，數(shù)量并未增加。K的增加導致每段內(nèi)窗口數(shù)N的減??；樣本數(shù)N的減小導致噪聲對待分解矩陣R的影響增大。每個分段求出的相關矩陣差異較大，所以累乘方法求出的信號特征值的均方差波動比傳統(tǒng)算法大。為了克服這一缺點，MMS算法適用于存在足夠多分析窗口(即樣本數(shù)足夠多)的情況下，此時N和K都能取得一個較大的數(shù)值，N的增大可減小每個相關矩陣的均方差波動，K的增大可提高信號特征值分辨率。

　　將信號特征值λ1、λ2代表的特征矢量組合，可得到待估計的Gold碼，組合方法不是本文討論重點，不再詳述，可參考文獻[8]。

4 結(jié)論

　　本文在近年來研究熱門子空間分解的基礎上，提出了一種對帶有噪聲信號的相關矩陣構造方法。這一方法重新設計了信號相關矩陣的構造算法，利用累乘計算，將各個分段矩陣互乘，計算量與傳統(tǒng)構造方法相似。用擴頻信號驗證了該算法的理論推導與仿真，仿真結(jié)果表明，該算法實際計算與理論推導一致，可有效解決低信噪比條件下無法提取擴頻用戶碼序列的問題。同時，該算法也存在缺陷，即該算法需要樣本數(shù)量足夠多，并要保證N和K的取值都較大，這樣便可同時在低波動性和高分辨率兩項指標上都取得較好的結(jié)果。

參考文獻

　　[1] Van Der Veen A, DEPRETTERE E, SWINDLEHURST A. Subspace-based signal analysis using singular value decomposition [J]. Proceedings of IEEE, 1993,81(9): 1277-1308.

　　[2] Bensley S. E, AAZHANG B. Subspace-based channel estimation for code-division multiple-access communication systems [J]. IEEE Trans.Commun., 2011, 44: 1009-1020.

　　[3] GUSTAFSSON T, MACINNES C S .A class of subspace tracking algorithms based on approximation of the noise-subspace [J].Signal Processing Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing IEEE 2010,48(11): 3231-3235.

　　[4] TUFTS D W, MELISSINOS C D. Simple effective computation of principle eignevectors and their eigenvalues and application to high resolution estimation of frequencies [J]. IEEE Trans. Acoust. Speech.Signal Processing, 2006, 34:1046-1053.

　　[5] PILLAI S U, BYUNG H K.GEESE (GEneralized Eigenvalues Utilizing Signal Subspace Eignevectors) - a new technique for direction finding [C]. Signals, Systems and Computers, 1988:568-572.

　　[6] BARUA S, HASHIMOTO T. Suboptimal MMSE multiuser receiver design for DS-CDMA multirate system using spectral correlations [C]. IEEE International Symposium on Information Theory, 2003: 446.

　　[7] OPPENHEIM A V, SCHAFER R W. From frequency to quefrency: a history of the cepstrum [J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2014,21(5):95-106.

　　[8] NZOZA C N, GAUTIER R, BUREL G. Blind synchronization and sequences identification in CDMA transmissions [J]. IEEE MILCOM, 2004, 3:1384-1390.