0 引言

　　圖像置亂技術(shù)是當(dāng)前主流的圖像加密技術(shù)，眾多研究者已提出了具有良好的置亂性能的圖像置亂算法[1-5]。但是對于圖像置亂性能（置亂度）的評價(jià)研究卻相對滯后，大部分依賴原始圖像，如文獻(xiàn)[6-8]等，缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和模型。圖像置亂度評價(jià)應(yīng)重點(diǎn)研究根據(jù)圖像各種特征建立科學(xué)的模型，并從模型出發(fā)設(shè)計(jì)具體評價(jià)指標(biāo)，最終形成較完善的、能夠獨(dú)立于原始圖像的盲評價(jià)指標(biāo)體系。圖像特征模型的建立有兩種方式：(1)根據(jù)自然圖像特征建立自然圖像的特征模型；(2)基于理想置亂圖像建立特征模型。前者需對大量自然圖像特征進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，工作量大。后者所依據(jù)的理想置亂圖像實(shí)際上是不能得到的，因此只能根據(jù)實(shí)際置亂圖像的特征對理想置亂圖像特征進(jìn)行擬合，來建立模型。

　　在文獻(xiàn)[9]中對置亂圖像差分直方圖的分布特性進(jìn)行了詳細(xì)分析，指出在理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖應(yīng)服從線性分布，并給出了相應(yīng)的線性模型：

　　該模型是一個(gè)線性分段函數(shù)，自變量x為差分值，函數(shù)值為圖像差分值個(gè)數(shù)。該模型表明：理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖統(tǒng)計(jì)分布曲線是以差分值為自變量的分段線性函數(shù)。該模型的提出使得針對圖像差分的置亂度評價(jià)工作有了科學(xué)的模型。但只是根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布特性，主觀確定了該線性模型，并未進(jìn)行科學(xué)、詳細(xì)的證明。本文以此為出發(fā)點(diǎn)，采用統(tǒng)計(jì)分析方法，將此問題轉(zhuǎn)化為分布函數(shù)的擬合檢驗(yàn)和回歸分析問題，通過建立線性回歸方程，求得回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)，來驗(yàn)證此模型的科學(xué)性。

1 分布函數(shù)的擬合檢驗(yàn)

　　若提出假設(shè)的形式為 ：

　　H0:F(x)=F0(x)，H1:F(x)≠F0(x)(2)

　　其中F(x)為需要檢驗(yàn)的分布函數(shù)，F(xiàn)0(x)為已知分布函數(shù)，分布函數(shù)中可以含有或不含未知參數(shù)。假設(shè)檢驗(yàn)問題稱為對分布函數(shù)的擬合檢驗(yàn)。

　　常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法有檢驗(yàn)和柯爾莫戈羅夫K檢驗(yàn)。本文以檢驗(yàn)為例來進(jìn)行驗(yàn)證。

　　設(shè)是分布函數(shù)F(x)的總體，是一個(gè)樣本。將R1=(-∞，+∞)分為m個(gè)子區(qū)間(xi-1，xi]，其中-∞=x0<x1<…<xm=+∞。令vi表示樣本落入?yún)^(qū)間(xi-1，xi]的個(gè)數(shù)或頻數(shù)，npi稱為樣本落入?yún)^(qū)間(xi-1，xi]的理論頻數(shù)。作統(tǒng)計(jì)量：

　　?濁依賴于n和m，以下假定m是定值。

　　定理1[10]（Pearson）：如果H0正確，則：

　　其中：

　　式(5)是(m-1)分布的密度函數(shù)，這里設(shè)F0(x)不含未知數(shù)。

　　對于定理1， 當(dāng)n足夠大時(shí)可認(rèn)為。對已知的顯著性水平，從分布表中查得(m-1)，使得，即取否定域?yàn)?(m-1)，+∞)。若>(m-1)，則否定H0。

　　理想置亂情況下，令F0(x)=f(x)，F(xiàn)(x)為置亂圖像實(shí)際的差分直方圖分布個(gè)數(shù)。因?yàn)閳D像差分值取值范圍為-255~255，因此將R1=(-∞，+∞)分為510個(gè)子區(qū)間，子區(qū)間長度為1。F(xi)代表差分值為xi的元素?cái)?shù)目，即為樣本落入子區(qū)間(xi-1，xi]的頻數(shù)，因此有樣本頻數(shù)vi=F(xi)。理論頻數(shù)npi=F0(xi)=f(xi)。根據(jù)式（3）構(gòu)造檢驗(yàn)指標(biāo)：

　　由于n足夠大，因此，可認(rèn)為～(509)。自由度為509，取值較大，因此分布近似服從N(509，2 * 509)，可采用正態(tài)分布來進(jìn)行實(shí)際計(jì)算。給定顯著性水平=0.05。

　　綜上所述，當(dāng)設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)>562.593時(shí)，拒絕H0，否則接受H0。

　　2 線性回歸模型的建立

　　根據(jù)置亂圖像的差分直方圖分布圖，分析可能對分布個(gè)數(shù)產(chǎn)生影響的因素只有差分值。因此建立線性模型：

　　F由差分直方圖分布個(gè)數(shù)的n次觀察值構(gòu)成，F(xiàn)(xi)代表差分值為xi的元素?cái)?shù)目。X稱為設(shè)計(jì)矩陣，由常數(shù)項(xiàng)和差分值的n次觀察值構(gòu)成，n=511。?茁是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)。e為隨機(jī)向量，有時(shí)稱為誤差隨機(jī)向量。

　　根據(jù)線性模型(7)，要選擇合適的使誤差項(xiàng)的平方和最小，即求的最小二乘估計(jì)。

　　若滿足條件：

　　則為的最小二乘估計(jì)。令：

　　將式(9)對i求偏導(dǎo)并令其等于0，可得到正規(guī)方程組：

　　因?yàn)閄的秩rank(X)=2，因此最小二乘解唯一，并由下式給出：

　　?滓2的無偏估計(jì)為：

　　對每一幅圖像，其平均殘差為：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　3.1 分布函數(shù)擬合檢驗(yàn)

　　利用文獻(xiàn)[5]中的方法對圖像進(jìn)行置亂變換，置亂次數(shù)為100次。選取該方法是因?yàn)樵摲椒ㄍ瑫r(shí)實(shí)現(xiàn)了像素值和像素位置置亂，具有代表性。對100幅置亂圖像進(jìn)行差分直方圖分布特性的假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

　　表1中指出，在100幅置亂圖像中，差分直方圖符合分布模型f(x)的圖像數(shù)量為56幅，不符合該分布的圖像數(shù)量為44幅。在符合該分布模型的56幅圖像中，最小的?字2指標(biāo)?濁=454.38，對應(yīng)的置亂次數(shù)T=91?？疾煸撝脕y圖像和差分直方圖（圖1）可知，置亂圖像具有良好的類似噪聲特性，其差分直方圖具有明顯的線性分布特性。同時(shí)可認(rèn)為該56幅圖像已近似達(dá)到理想置亂。對于被拒絕的圖像，由于其差分直方圖分布不符合線性分布，導(dǎo)致指標(biāo)很大。

　　圖2給出了?字2指標(biāo)隨著置亂次數(shù)的變換曲線。從圖中可看出，大部分圖像的指標(biāo)數(shù)值分布在1 000以下。但是當(dāng)T=24、48、72、96時(shí)，該統(tǒng)計(jì)指標(biāo)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他值?？疾炀哂猩鲜鲋脕y次數(shù)的圖像及其差分直方圖，這些圖像有著明顯的規(guī)則性，且差分直方圖分布與線性模型相差很大，與參考文獻(xiàn)[1]中的置亂度評價(jià)結(jié)果完全吻合，這說明本文設(shè)計(jì)的指標(biāo)能夠科學(xué)、合理地反映樣本頻數(shù)與理論頻數(shù)間的差別。

　　圖3給出了不同的指標(biāo)下所求的p值分布。概率p<0.05的圖像均認(rèn)為其差分直方圖分布與模型f(x)不相符。由于p具有如下性質(zhì)：(1)0≤p≤1；(2)理想置亂時(shí)，p=1。因此該p值可作為圖像置亂度評價(jià)參數(shù)直接進(jìn)行置亂度評價(jià)，比如當(dāng)=454.38時(shí)，可認(rèn)為具有最好的置亂效果，對應(yīng)p=0.96。

　　3.2 回歸方程系數(shù)預(yù)測

　　進(jìn)行分布函數(shù)擬合檢驗(yàn)的目的是選擇出置亂效果較好的圖像，剔除不理想的測試樣本。對于接受H0的56幅圖像，首先計(jì)算其差分直方圖，然后進(jìn)一步根據(jù)式(11)對差分直方圖分布函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行最小二乘估計(jì)。圖4、圖5給出了56幅置亂圖像差分直方圖分布函數(shù)的回歸方程系數(shù)最小二乘估計(jì)值的分布圖。

　　由回歸系數(shù)分布圖4和圖5可以得出：(1)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)β1大部分在區(qū)間[250，260]范圍內(nèi)取值，與差分值取值范圍無關(guān)。(2)系數(shù)β2的取值和差分值取值范圍有關(guān)，當(dāng)差分值-255≤xi<0時(shí)，β2∈[0.9，1.1]；當(dāng)差分值0≤xi≤255時(shí)，β2∈[-1.1，-0.9]。

　　根據(jù)圖4和圖5，為了消除樣本獨(dú)立性對系數(shù)的影響，求出線性模型最終的系數(shù)，進(jìn)一步計(jì)算β1、β2的均值(表2)，可知式(7)與所提出的線性模型(1)完全吻合，驗(yàn)證了理想置亂圖像差分直方圖線性模型(1)的正確性。

　　3.3 殘差分析

　　在回歸分析過程中假設(shè)誤差e服從均值為0的正態(tài)分布(式(7))。圖6給出了56幅圖像的平均殘差分布圖，平均殘差根據(jù)式(13)進(jìn)行計(jì)算。由圖可知，大多數(shù)圖的平均殘差都接近于0，說明誤差的統(tǒng)計(jì)分布符合式(7)對誤差e的統(tǒng)計(jì)分布特征的假設(shè)。

4 總結(jié)與展望

　　由于前期研究中提出的理想置亂情況下圖像差分直方圖分布模型沒有進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，缺乏理論基礎(chǔ)。為了解決該問題，本文立足于統(tǒng)計(jì)分析，利用線性假設(shè)檢驗(yàn)及回歸模型預(yù)測理論，通過將實(shí)際置亂圖像的差分直方圖分布和參考文獻(xiàn)[1]中提出的線性模型進(jìn)行分布函數(shù)擬合檢驗(yàn)，選出置亂效果好的置亂圖像，進(jìn)一步對這些進(jìn)行回歸系數(shù)預(yù)測。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了在理想置亂情況下，置亂圖像的差分直方圖服從線性分布，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與參考文獻(xiàn)[1]吻合，為理想置亂圖像差分直方圖模型的提出提供了理論基礎(chǔ)。

　　在以后的研究工作中，重點(diǎn)應(yīng)研究以自然圖像和理想置亂圖像統(tǒng)計(jì)特征為基礎(chǔ)的評價(jià)模型庫的建立，來解決缺乏統(tǒng)一評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的問題，完善置亂度的盲評價(jià)指標(biāo)體系。相應(yīng)的置亂度評價(jià)體系的發(fā)展也能對圖像置亂算法的研究起到重要的指導(dǎo)作用。

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