摘 要： 采用直流電動機的實測參數建立直流電動機的模型；提出了PID控制系統(tǒng)框圖，并給出了該電動機的離散時間PI轉速控制器和PD位置控制器；通過MATLAB/Simulink仿真實驗，分析所設計系統(tǒng)在電動機空載和有載時的性能。實驗表明，所設計的控制器具有良好的動態(tài)性能，對于電動機的負荷變化具有很強的魯棒性。同時對面向實際應用的PID控制設計問題，進行了相應的分析和討論。
關鍵詞： PID控制；直流電動機；建模與仿真；速度控制；位置控制
電動機轉速和位置的控制是汽車、挖掘機等機械系統(tǒng)中最常見的控制問題。人們已經提出了若干現代控制方法和算法，例如自適應控制、模糊控制、預測控制、專家控制、神經網絡控制等[1－3]。然而，實踐和實驗表明，在實際產品的研發(fā)中，PID控制因其出色的適應性、有效性和魯棒性等特點，仍是研發(fā)者的首選控制方法?？梢哉f，PID是歷史最久、生命力最強的控制方式
在闡述PID方法的文獻中[4-5]，一般采用圖1所示的典型控制系統(tǒng)框圖，但是在實際系統(tǒng)的PID控制設計中，直接應用圖1是有問題的。面向實際應用的PID控制問題，應該采用圖2所示的系統(tǒng)方框圖進行設計。
本文依據某公司一款直流電動機的實測參數建立電動機的連續(xù)時間數學模型，采用圖2所示的控制系統(tǒng)框圖設計該電動機轉速和位置的離散時間PID控制器，通過仿真實驗分析所設計系統(tǒng)的控制性能，并對設計中的有關問題進行分析和討論。
1 建模和PID控制設計
1.1 直流電動機的連續(xù)時間模型
假定轉子和軸都是剛性的。直流電動機的等效電路和機械參量如圖3所示，其中R和L分別為電機的等效電阻和電感，e是電機的反電勢，是電機的角速度，T是電機的轉矩，b是機械系統(tǒng)阻尼率，J是電機的轉動慣量。電動機轉矩T正比于電流，反電動勢e正比于電動機角速度，即有[4]：
其中，Kt和Ke分別為電樞常數和電動勢常數，在國際單位制下兩者相等，即：
Kt=Ke=K（3）
根據Kirchhoff定律和Newton定律，結合式（1）、式（2），由圖3可得直流電動機所滿足的方程為：
式（8）即為轉角位置控制下直流電動機的連續(xù)時間模型。當考慮速度控制時，系統(tǒng)輸出是d?茲/dt，因此速度控制下電動機的模型為：
其中電機的實驗室實測參數為：電阻R=4 ，電感L= 2.75×10-6 H，電動勢常數K=0.027 4 Nm/Amp，機械阻尼率b=3.5077×10-6 Nms，轉動慣量J=3.2284×10-6 kg·m2/s2。上述參數分別代入式（8）和式（9）后得：
1.2 連續(xù)時間PID控制
圖1中PID控制的輸入輸出關系為：
其中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分增益。由式（12）可得PID控制器的系統(tǒng)函數為：
本文設計采用圖2所示系統(tǒng)，其中的電機控制特性單元將位置或轉速誤差相關信息u（t）轉換為電機控制電壓v（t）。
當將電機用式（8）或式（9）的數學模型表示時，電機是一個線性系統(tǒng)，其控制特性可以通過對階躍響應的分析確定，通常為一個比例環(huán)節(jié)，即有：
設計的關鍵問題就是根據被控對象確定Kp、Ki、Kd和Kv，使得閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性滿足要求。
1.3 電機轉速PID控制設計
在轉速控制設計時，該電機的模型為系統(tǒng)函數Hs（s），Hs（s）的單位階躍響應如圖4所示。由圖可知：
（1）階躍響應的穩(wěn)態(tài)值[6]為y（∞）=sHs（s）=35.83 rad/s。考慮到在正常工作范圍內，電機轉速具有較好的線性控制特性，因此?。?/p>
Kv0.02791 V（16）
（2）該電機的穩(wěn)定時間約為115 ms。
轉速控制的設計要求：（1）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應無超調振蕩；（2）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應的穩(wěn)定時間小于40 ms；（3）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應無穩(wěn)態(tài)誤差。
本文對于轉速采用PI控制，滿足設計要求的各增益參數為Kv=0.027 91、Kp=5、Ki=275，穩(wěn)定時間約為25 ms，階躍響應曲線如圖5中的實線所示。作為對比，圖5同時還給出了開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應（虛線）和單純P控制時的單位階躍響應（點劃線），可以看到動態(tài)性能得到有效的改善。
1.4 電機轉角PID控制設計
在轉角控制設計時，該電機的模型為Hp（s），其單位階躍響應如圖6所示。
轉角位置控制中，除穩(wěn)定時間小于30 ms外，其他設計要求與速度控制類似。本文采用PD控制，所設計的增益參數為Kp=270、Kd=4.5，穩(wěn)定時間約為20 ms，階躍響應曲線如圖7中的實線所示。作為對比，圖7同時還給出了開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應（底部虛線）和單純P控制時的單位階躍響應（點劃線）?？梢钥吹轿⒎汁h(huán)節(jié)對于消除過調量有著顯著的作用。
1.5 離散時間PID控制設計
實現離散PID控制有多種方法[6]，這里采用雙線性變換將前面的連續(xù)PID控制轉換為離散PID控制。雙線性變換公式為：
實際應用中只需實現PID控制器的離散化。圖8、圖9分別為轉速和轉角控制下，離散閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應，可以看到其特性滿足要求。與式（19）和式（20）對應的離散PID計算公式分別為：
us（n）=us（n-1）+5.1375e（n）-4.8625e（n-1）（21）
up（n）=-up（n-1）+9270e（n）-8370e（n-1）（22）
2 有載電機仿真實驗
當電機加載工作時，負載的變化會導致電動機扭矩的變化，從而引起電動機轉速的變化。對于絕大多數電動機，扭矩和轉速間的關系可以用圖10所示的線性模型很好地近似，即：
仿真中采用圖11所示的系統(tǒng)進行有載模擬實驗，圖12~圖13是有載仿真實驗舉例。其中，假定負載引起的轉速變化范圍為[-80，80]（rpm），n（t）是周期為0.5 s的對稱三角波。圖13是有載情況下電動機輸出的轉速。可以看到，即使負載導致轉速有很大的變化（趨勢），所設計的PI控制器仍然能有很好的轉速控制作用。
參考文獻
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