摘  要： 首先根據(jù)切比雪夫多項式求根法對LPC系數(shù)到LSF系數(shù)轉(zhuǎn)換過程進(jìn)行分析與推導(dǎo)，并給出了根據(jù)已知的LSF系數(shù)進(jìn)行逆推求LPC系數(shù)迭代算法。然后，借助DDS算法原理實現(xiàn)查找表搜索求根，并在FPGA上實現(xiàn)了LSF系數(shù)到LPC系數(shù)轉(zhuǎn)換。最后，給出了結(jié)論和分析。

　　關(guān)鍵詞： 線性預(yù)測系數(shù)；線譜頻率；切比雪夫多項式；FPGA；DDS

　　線性預(yù)測法（LPC）成功地應(yīng)用于語音信號處理的各個方面，在語音參數(shù)的估計中也被廣泛地應(yīng)用，如基音周期、共振峰頻率和譜特征分析等。線性預(yù)測的基本思想是：由于語音信號之間存在相關(guān)性的特點，可以用過去若干個語音采樣值或它們的線性組合近似表示當(dāng)前語音采樣值。在LPC分析中，最普遍的方法是使用線譜頻率（LSF）表示LPC參量[1]。LSF是頻域參數(shù)，具有良好的量化特性和內(nèi)插特性，小系數(shù)的誤差引起濾波器的局部誤差，構(gòu)成的合成濾波器有較好的穩(wěn)定性[2]。10階的LPC系數(shù)的LSF參數(shù)成功地應(yīng)用在低速率語音編碼器中，如混合激勵線性預(yù)測（MELP）聲碼器。近幾年，在語音信號處理中，LSF參數(shù)研究一直是熱點，參考文獻(xiàn)[3-4]對LSF參數(shù)量化方法進(jìn)行分析與仿真，但由LPC系數(shù)與LSF系數(shù)相互轉(zhuǎn)換的研究少之又少。

　　伴隨語音技術(shù)的不斷發(fā)展，對語音信號數(shù)字化處理的實時性要求越發(fā)嚴(yán)格，專用的語音信號處理芯片能滿足語音信號實時性的要求，LPC與LSF轉(zhuǎn)換是專用語音處理芯片的關(guān)鍵模塊之一。MELP算法語音編碼過程中，首先，把經(jīng)過帶寬擴(kuò)展后的線性預(yù)測系數(shù)轉(zhuǎn)為LSF系數(shù)；其次，LSF參數(shù)按最小間隔排序；最后，對排序后的LSF進(jìn)行4級矢量量化。MELP算法解碼過程中，由內(nèi)插的LSF參數(shù)計算合成濾波器的系數(shù)，得到合成濾波器，激勵信號經(jīng)過合成濾波器得到合成語音。由于LSF參數(shù)的特性，保證了合成濾波器的穩(wěn)定性[5]。LPC與LSF轉(zhuǎn)換算法的FPGA實現(xiàn)對語音編碼、語音合成等領(lǐng)域硬件實現(xiàn)至關(guān)重要。本文給出了LSF到LPC轉(zhuǎn)換運算推導(dǎo)，并給出了算法的實現(xiàn)步驟。

　　1 轉(zhuǎn)換算法原理

　　1.1 由LPC系數(shù)向LSF系數(shù)轉(zhuǎn)換

　　本文針對LPC系數(shù)計算LSF系數(shù)的Chebyshev多項式求解法進(jìn)行研究：

　　P階線性預(yù)測濾波器函數(shù)為：

　　{ai}i=1，2，…，p為線性預(yù)測系數(shù)。預(yù)測系數(shù)ai在最小均方誤差準(zhǔn)則下，由Durbin遞推算法求解自相關(guān)方程得到[6]。

　　LSF[7]作為LPC系數(shù)的等價表現(xiàn)形式，可通過求解p+1階對稱多項式P（z）和反對稱多項式Q（z）的共軛復(fù)根獲得。其中p+1階多項式表示如下：

　　P（z）=A（z）+z-（p+1）×A（z-1）（2）

　　Q（z）=A（z）+z-（p+1）×A（z-1）（3）

　　可以證明，當(dāng)A（z）的根位于單位圓內(nèi)時，P（z）和  Q（z）的根沿著單位圓相互交替出現(xiàn)。當(dāng)p是偶數(shù)時，則P（z）有一個根z=-1，Q（z）有一個根z=1；當(dāng)p為奇數(shù)時，Q（z）有±1兩個實根。設(shè)P（z）的零點為e，設(shè)Q（z）的零點為e，則滿足：0<?棕1<?茲1<…?棕p/1<?茲p/1<π。為計算方便，去掉與LSF系數(shù)無關(guān)的實根，得到兩個新的多項式P′（z）和Q′（z），當(dāng)p為偶數(shù)時：

　　令Tm（x）=cos（mx），其中Tm（x）是m階的Chebyshev多項式。滿足關(guān)系式Tk（x）=2xTk-1（x）-Tk-2（x），初始條件為：T0（x）=1，T1（x）=x，則帶入式（6）、（7）得P（x）和Q（x）：

　　P（x）=TM（x）+p1TM-1（x）+…+pM-1T1（x）+pM（8）

　　Q（x）=TM（x）+q1TM-1（x）+…+qM-1T1（x）+qM（9）

　　Chebyshev多項式求解法本質(zhì)是求解x滿足區(qū)間[-1，1]，求P（x）=0和Q（x）=0的根{xi}，對應(yīng)的LSF系數(shù)由?棕i=arccosxi確定。

　　1.2 由LSF系數(shù)向LPC系數(shù)轉(zhuǎn)換

　　在語音解碼過程中，需要把量化和內(nèi)插后的LSF系數(shù)轉(zhuǎn)換回LPC系數(shù){ai}i=1，2，…，p，逆向推導(dǎo)，已知內(nèi)插的LSP系數(shù)fi，根據(jù)fi可計算出P′（z）和Q′（z）的系數(shù)p′i和q′i。

　　p′i=-2f2i-1p′i+2p′i-2（10）

　　q′i=-2f2iq′i-1+2q′i-2（11）

　　其中f2i-1=cos?棕2i-1，求出p′i和q′i。根據(jù)原來方程式對應(yīng)關(guān)系：

　　P（z）=P′（z）×（1+z-1）（12）

　　Q（z）=Q′（z）×（1-z-1）（13）

　　最后得到LPC系數(shù)可由A（z）+P（z）+Q（z）/2得到參數(shù)ai。

　　2 FPGA實現(xiàn)架構(gòu)

　　2.1 算法實現(xiàn)步驟

　　量化和內(nèi)插后的LSP系數(shù)需要更換成LPC系數(shù)ai。已知量化和內(nèi)插的LSP系數(shù)qi，i=0，1，…，p-1，根據(jù)前文推導(dǎo)，可以得到下面迭代公式：

　　for i=1 to p/2

　　p′（i）=-2q2i-1p′（i-1）+2p′（i-2）

　　for j=i-1 to 1

　　p′（j）=p′（j）-2q2i-1p′（j-1）+2p′（i-2）

　　end

　　end

　　公式中的qi=coswi，余弦是通過查找表方式求得的，迭代過程中的初始值p′（0）=1，p′（-1）=0。上面迭代公式給出的是p′（i）的求法，在求解q′（i）時將上面的迭代公式中的q2i-1換成q2i即可。

　　在求得p′（i）和q′（i）后就可以求得p（i）、q（i），求解公式如下：

　　p1（i）=p′（i）+p′（i-1），i=1，2，…，p/2q1（i）=q′（i）-q′（i-1），i=1，2，…，p/2（14）

　　最后得到LPC系數(shù)：

　　ai=0.5p1（i）+0.5q1（i），       i=1，2，…，p/20.5p1（p+1-i）-0.5q1（p+1-i），i=1，2，…，p/2（15）

　　2.2 余弦信號發(fā)生器

　　FPGA實現(xiàn)LSP到LPC轉(zhuǎn)換是通過上文介紹的迭代算法來實現(xiàn)的。因為qi=coswi，迭代過程中qi的值是根據(jù)wi值來求出的。對于余弦的計算有很多方法，CORDIC旋轉(zhuǎn)是一種方法，查找表也是一種方法。CORDIC旋轉(zhuǎn)方法通過數(shù)學(xué)函數(shù)逼近的原理，每次旋轉(zhuǎn)一定的角度來得到余弦值，但是這種方法得到的精度和迭代的次數(shù)有關(guān)；查找表方法是先將余弦值根據(jù)量化位數(shù)計算出來存在ROM中，每次計算是需要將數(shù)據(jù)進(jìn)行量化然后去ROM中查找量化值所對應(yīng)的余弦值，這種方法計算速度快，但是存在一定的量化誤差，會消耗一定存儲空間。考慮到實時性語言編解碼，本文的設(shè)計方案選擇的是查找表法，在每一輪計算中通過wi值查找ROM來得到qi，借助DDS算法原理[8]，用相位累加器輸出的數(shù)據(jù)作為波形存儲器（ROM）的相位取樣地址，這樣就可以把存儲在波形存儲器內(nèi)的波形抽樣值（二進(jìn)制編碼）經(jīng)查找表查出，完成相位到幅值的轉(zhuǎn)變。

　　憑借MATLAB軟件可以生成ROM中余弦波形的定點數(shù)值，共分3步完成。

　　（1）運用MATLAB計算出余弦波形浮點值，對其進(jìn)行量化，生成定點數(shù)值。

　　（2）產(chǎn)生mif文件（Altera FPGA ROM初始化數(shù)據(jù)文件格式）。

　?。?）將mif文件導(dǎo)入到“getCos”ROM模塊中。

　　2.3 系統(tǒng)框架與結(jié)果分析

　　FPGA實現(xiàn)LSP到LPC轉(zhuǎn)換時主要是根據(jù)給定的wi（或者fi）系數(shù)通過反復(fù)迭代而得到LPC系數(shù)，圖1為迭代算法的流程圖。FPGA算法中一般采用計數(shù)器方式來實現(xiàn)for循環(huán)，算法中有兩個計數(shù)器cnt1和cnt2，它們分別用于決定算法中兩層循環(huán)，cnt1是標(biāo)定系數(shù)個數(shù)，當(dāng)完成P/2個系數(shù)迭代時系統(tǒng)給出計算結(jié)束標(biāo)志，cnt2用來確定當(dāng)前系數(shù)的迭代次數(shù)。地址發(fā)送器是用來確定LSP系數(shù)查詢地址，它是根據(jù)wi和當(dāng)前cnt1值來決定數(shù)據(jù)的地址。這個地址所對應(yīng)的ROM單元中讀出的余弦值就是當(dāng)前迭代coswi值。迭代中設(shè)定初始值p′（0）=1，p′（-1）=0。

　　本文選取線性預(yù)測階數(shù)p=10，LSF系數(shù)到LPC系數(shù)算法FPGA實現(xiàn)頂層框圖如圖2所示，系統(tǒng)在start信號的上升沿開始加載wi，并將數(shù)據(jù)存儲在內(nèi)部寄存器中，為LPC系數(shù)迭代做好準(zhǔn)備。圖2模塊LSP2LP_Exloop，根據(jù)算法流程圖，在FPGA實現(xiàn)過程中，flage標(biāo)識位用于指定當(dāng)前運算是針對P還是Q的求解，因為P對應(yīng)的是奇數(shù)序列，Q對應(yīng)偶數(shù)序列，因為奇序列是相鄰兩項做和如式（12）所示，而偶數(shù)序列是相鄰兩項做差如式（13）所示。當(dāng)p_part和q_part兩個模塊完成迭代計算后，會給將各自的finish信號置為高電平，用以通知LSP2LPC_inter模塊合成ai系數(shù)。LSP2LPC_inter模塊在接收到p_part和q_part的finish信號后，同時將P和Q系數(shù)值載入并且根據(jù)式（15）所示計算過程完成P、Q到ai的合成，并將finish信號置為高電平。圖3為FPGA綜合報告，由此可見資源利用情況。

　　圖4為系統(tǒng)的Quartus II仿真報告，從報告中可以看出系統(tǒng)能準(zhǔn)確地合成系數(shù)，這也說明了設(shè)計的可行性。

　　根據(jù)切比雪夫多項式求根法由LPC系數(shù)到LSF系數(shù)轉(zhuǎn)換過程進(jìn)行分析與推導(dǎo)，根據(jù)已知的LSF系數(shù)進(jìn)行逆推理求LPC系數(shù)，并給出了LSF到LPC系數(shù)轉(zhuǎn)換的實現(xiàn)步驟。借助DDS算法原理，實現(xiàn)查找表搜索求根，利用FPGA實現(xiàn)LSF系數(shù)到LPC系數(shù)轉(zhuǎn)換。與其他多項式相比較，Chebyshev多項式在較高的采樣率下，對線性預(yù)測階數(shù)要求不高，轉(zhuǎn)換性能影響不大。由于在0和π附近變化引起變化很小，可以得到高精度轉(zhuǎn)換參數(shù)值，時序測定時系統(tǒng)時鐘可以達(dá)到66 MHz。最后系統(tǒng)能準(zhǔn)確地合成LPC系數(shù)，說明了設(shè)計的可行性，并為今后的設(shè)計提供了一定的參考價值。

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