0 引言

    神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是一種非線性計(jì)算模型，近年來成為模式識(shí)別中常用的工具之一。在多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)的性能不僅受到隱含層數(shù)、隱含層神經(jīng)元數(shù)量的影響，而且還與激勵(lì)函數(shù)的選取和訓(xùn)練算法直接相關(guān)。

    在目前的研究中，采用最為廣泛的為S型激勵(lì)函數(shù)^[1-2]，S型函數(shù)容易減慢網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，甚至可能導(dǎo)致陷入局部最小值^[3]。針對(duì)這一問題，近幾年采用自適應(yīng)激勵(lì)函數(shù)對(duì)神經(jīng)元輸入的加權(quán)和進(jìn)行計(jì)算已經(jīng)成為一種趨勢(shì)，并應(yīng)用于股票預(yù)測(cè)^[4]、文字識(shí)別^[5]等方面。本文針對(duì)常見的S型函數(shù),改進(jìn)了自適應(yīng)性激勵(lì)函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)框架，提出基于馬爾可夫鏈的學(xué)習(xí)算法，并將其應(yīng)用到故障診斷領(lǐng)域，取得了比較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1 自適應(yīng)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.1 多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

    多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般包括一個(gè)輸入層、一個(gè)輸出層、一個(gè)或者多個(gè)隱藏層。隱藏層每一層網(wǎng)絡(luò)中都包含多個(gè)神經(jīng)元，對(duì)每個(gè)神經(jīng)元的輸入都是由上一層輸出的加權(quán)和，例如對(duì)于第n組樣本數(shù)據(jù)，第k層上的第j個(gè)神經(jīng)元的輸入可以通過計(jì)算上一層的加權(quán)和來計(jì)算，計(jì)算公式為：

其中，d_in和y_in分別為第i個(gè)神經(jīng)元上真實(shí)情況下的輸出值和實(shí)際計(jì)算結(jié)果的輸出值，N為訓(xùn)練樣本的個(gè)數(shù)。

1.2 激勵(lì)函數(shù)

    本文以傳統(tǒng)的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)出基于改進(jìn)的S函數(shù)的自適應(yīng)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其特點(diǎn)在于隱含層的激勵(lì)函數(shù)不再是固定的函數(shù)，而是包含了可變參數(shù)的激勵(lì)函數(shù)，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)框架如圖1所示。其中輸入層的神經(jīng)元數(shù)量由選取的特征的個(gè)數(shù)決定(1，2，…，N)，輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為4個(gè)（S₁，S₂，S₃，S₄），隱含層神經(jīng)元的輸入是輸入層各個(gè)神經(jīng)元輸出的加權(quán)和，并采用了自適應(yīng)性的激勵(lì)函數(shù)對(duì)隱含層的輸入進(jìn)行計(jì)算(I₁，I₂…I_k)。計(jì)算結(jié)果通過加權(quán)求和作為輸出層的輸入。在輸入層并未采用任何激勵(lì)函數(shù)，輸出層采用經(jīng)典的S型激勵(lì)函數(shù)，如：

    式（4）由S型函數(shù)演化而來，是一種常用的自適應(yīng)性激勵(lì)函數(shù)，式中的α和β為可變參數(shù)。雖然該函數(shù)已經(jīng)應(yīng)用到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法中，卻很少有文獻(xiàn)將其應(yīng)用在解決機(jī)械設(shè)備故障分類問題中。

2 基于馬爾可夫鏈的訓(xùn)練算法

2.1 算法描述

    樣本訓(xùn)練即是在給定一定數(shù)量的樣本時(shí)，利用式(3)對(duì)所有的權(quán)重進(jìn)行最優(yōu)化估計(jì)的過程^[6-7]。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中含有噪聲時(shí)，會(huì)造成程序魯棒性很差，給傳統(tǒng)的訓(xùn)練方法帶來困難，本文假設(shè)式(3)中的誤差服從于高斯分布，然后根據(jù)后驗(yàn)概率構(gòu)造出馬爾可夫鏈，完成對(duì)權(quán)重的訓(xùn)練，可以有效避免噪聲對(duì)訓(xùn)練結(jié)果造成的影響，具有收斂速度快的優(yōu)勢(shì)。假設(shè)樣本中含有噪聲，因此實(shí)際輸出與理想輸出之間的關(guān)系為：

    式(5)的含義是對(duì)權(quán)重和自適應(yīng)性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，首先建立出的最大似然估計(jì)為：

    在得到θ的條件分布后，則各個(gè)權(quán)重及可變參數(shù)可以通過以下的算法進(jìn)行更新。

    算法一：

    輸入：樣本X，迭代次數(shù)I，初始值θ⁽⁰⁾={w⁰，α⁰，β⁰}

    從上面算法可以看到，通過不斷對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行更新，形成了馬爾可夫鏈，最終可以得到最小二乘估計(jì)。

2.2 參數(shù)分析

    下面以式（4）為例給出條件分布的計(jì)算公式：

    （1）對(duì)于權(quán)重w_k

    求取其分布時(shí)只需要將其他變量看作固定值，則可以得到其分布：

其中，注意到要想從式（10）中得到估計(jì)量并不是很容易，因此采用了拒絕性采樣對(duì)權(quán)重進(jìn)行更新。其算法可以表示為：

    算法二：

    （2）對(duì)于參數(shù)α

    通過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出參數(shù)α的條件分布仍然服從于正態(tài)分布：

    式（12）中的概率也是很難處理的，為簡(jiǎn)化程序，同樣采用拒絕性采樣算法對(duì)β進(jìn)行更新。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果仿真

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

    為對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能進(jìn)行驗(yàn)證，利用本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)出了分類器，應(yīng)用于軸承故障診斷當(dāng)中。選取的樣本數(shù)據(jù)來自于美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)股東軸承數(shù)據(jù)中心。軸承型號(hào)為SKF公司的6205-2RS型的深溝球軸承。考慮了4種軸承故障，分別為內(nèi)圈單點(diǎn)故障、外圈點(diǎn)蝕及滾動(dòng)體點(diǎn)蝕和正常工作信號(hào)。4種信號(hào)的波形分別如圖2~圖5所示。

    訓(xùn)練樣本空間總共選取了1 136個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體包含512個(gè)采樣點(diǎn)。通過小波分解提取出了20個(gè)小波系數(shù)作為分類器的輸入。

3.2 訓(xùn)練結(jié)果

    由于每段數(shù)據(jù)提取的特征個(gè)數(shù)為20個(gè)，因此將分類器的輸入層神經(jīng)元個(gè)數(shù)設(shè)置為了20個(gè)。通過實(shí)驗(yàn)得到了最佳的隱含層神經(jīng)元數(shù)量。輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于4種故障，最終的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)和參數(shù)設(shè)置如表1所示。

    其中S-MPL代表了S型函數(shù)作為隱含層激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。F1-MPL代表以式（4）中的函數(shù)作為激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。對(duì)F1-MPL的訓(xùn)練過程如圖6和圖7所示。圖6顯示的是利用本文算法的訓(xùn)練過程，其中?滓=0.5，初始值在0～1之間隨機(jī)生成。圖7展示了利用共軛梯度法作為訓(xùn)練算法的收斂過程。共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個(gè)方法，它僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲(chǔ)和計(jì)算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，學(xué)習(xí)率選為1.2。

    從圖6和圖7中的對(duì)比可以看出，利用本文提出的算法在第5次更新時(shí)就基本可以達(dá)到穩(wěn)定，具有穩(wěn)定性高、收斂速度快的特點(diǎn)。

3.3 分類結(jié)果

    通過訓(xùn)練后兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)4類信號(hào)最終的分類結(jié)果如表2所示。

    其中樣本個(gè)數(shù)一欄分別表示了4種類型的信號(hào)的樣本個(gè)數(shù)，S-MPL、F1-MPL分別指的是通過S-MPL網(wǎng)絡(luò)和F1-MPL網(wǎng)絡(luò)分類正確的4種信號(hào)的數(shù)目。因此可以計(jì)算出兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的分類精度如表3所示。

    從表1中看出，本文的訓(xùn)練算法比傳統(tǒng)固定型的S型函數(shù)更加耗時(shí)，這是由于將可變參數(shù)引入到激勵(lì)函數(shù)中后，系統(tǒng)在訓(xùn)練時(shí)往往需要更多的運(yùn)算。然而訓(xùn)練樣本的收斂精度也有所提高，這表明了本文算法訓(xùn)練精度也更高，因此可以推測(cè)，自適應(yīng)性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到其他問題當(dāng)中時(shí)，比傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更加容易搜索到全局最優(yōu)值。

    表2和表3證明了將本文的訓(xùn)練算法應(yīng)用在解決滾動(dòng)軸承故障診斷問題方面的優(yōu)越性，取得了更高的分類精度。對(duì)于正常信號(hào)、滾動(dòng)體點(diǎn)蝕振動(dòng)信號(hào)、內(nèi)圈單點(diǎn)故障信號(hào)、外圈點(diǎn)蝕故障信號(hào)的分類精度分別可以達(dá)到99.69%、99.15%、98.90%、99.67%，平均分類精度可以達(dá)到99.38%。

4 結(jié)論

    本文對(duì)傳統(tǒng)的S型激勵(lì)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種自適應(yīng)性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器；基于馬爾可夫鏈對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，提高了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度；最后，將該分類器應(yīng)用到滾動(dòng)軸承故障診斷問題中。結(jié)果證明，使用該分類器可以比傳統(tǒng)的S型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器獲得更高的分類精度。

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