0 引言

    低密度奇偶校驗碼(Low Density Parity-Check，LDPC)是一種誤碼性能逼近香農(nóng)極限的實用碼，并且能夠做到完全的并行譯碼，一直以來備受研究者的關(guān)注。近年來隨著其編碼和譯碼算法的不斷改進與完善，該碼在深空、水下、移動通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應用^[1-4]。

    LDPC碼的譯碼算法是建立在無環(huán)Tanner圖上的置信傳播(Belief Propagation，BP)算法?；诟怕视虻腂P譯碼算法涉及大量的加法和乘法運算，其又被稱作和積(Sum-Product Algorithm，SPA)算法。該算法中的乘法運算不僅會消耗大量運算時間，而且不利于量化實現(xiàn)^[5-6]。針對此問題，研究者提出使用似然比表示概率消息，用加法運算代替大量乘法運算，基于此方法提出的譯碼算法被稱為LLR-SPA（Sum-Product Algorithm in Log-Likelihood-domain)算法，LLR-SPA算法的提出為LDPC碼的實際應用打下了堅實的基礎。

    LLR-SPA算法雖然極大地降低了BP算法的復雜度，但是其譯碼復雜度仍然較高，限制了LDPC碼的進一步應用。目前，專家學者為LDPC碼的實際應用做了諸多貢獻。參考文獻[7]提出了一種基于LLR-SPA算法的改進的MS(min-sum)譯碼算法，該算法雖然降低了LLR-SPA譯碼算法的復雜度，但其譯碼性能相對較差，難以滿足對譯碼性能要求較高的應用。參考文獻[8-9]提出了一種基于LLR-SPA算法的改進的OMS(offset min-sum)譯碼算法和NMS(normalized min-sum)譯碼算法，這兩種算法雖然能夠提供較高的譯碼精度，但是要根據(jù)實際情況設置相關(guān)的偏移參數(shù)和校正因子，增加了譯碼復雜度，而且也不利于硬件實現(xiàn)。參考文獻[10-11]分別提出了一種基于一階邁克勞林級數(shù)和一階泰勒級數(shù)簡化的譯碼算法，這兩種算法雖然能有效地降低譯碼復雜度，但是犧牲了譯碼精度?；诖?，本文提出一種基于泰勒級數(shù)分段線性近似的簡化算法，該算法是將LLR-SPA譯碼算法中復雜度較高的雅克比修正項采用泰勒級數(shù)進行分段線性近似，在譯碼復雜度相當?shù)那闆r下，大大提高了譯碼精度。

1 LDPC碼的譯碼算法

1.1 LLR-SPA譯碼算法

    LDPC碼根據(jù)檢驗矩陣H_m×n傳送的碼字x={x₁，x₂，…，x_n}和接收的碼字y={y₁，y₂，…，y_n}進行譯碼。

    信息經(jīng)過編碼，采用BPSK調(diào)制，通過AWGN信道傳輸，其信道的噪聲方差為σ²，每個變量節(jié)點的先驗似然比是L(x_n)=log{P(x_n=0|y_n)/P(x_n=1|y_n)}，則LLR-SPA算法的譯碼過程如下：

    (1)初始化，變量節(jié)點傳向校驗節(jié)點的初始信息和校驗節(jié)點傳向變量節(jié)點的初始信息，其計算公式分別如式(1)、式(2)所示：

1.2 基于泰勒級數(shù)的簡化譯碼算法

    本文提出的算法是針對LLR-SPA算法中復雜度較高的雅克比修正項采用泰勒級數(shù)進行分段線性近似，主要是對其校驗節(jié)點進行更新，對于式(3)中的tanh運算采用參考文獻[12]中的核心操作對式(3)重新處理得到式(7)。其中式(7)中的兩個非線性的對數(shù)函數(shù)是雅可比修正項。

其中，U、V表示統(tǒng)計獨立的二進制隨機變量，L(U)、L(V)是U、V的似然比值，f_i、b_i分別表示一組輔助的二進制隨機變量，i=1，2，…，d_c，d_c表示LDPC碼的校驗度，表示模二操作。

    利用式(7)和傳送的碼字x={x₁，x₂，…，x_n}對輔助的二進制隨機變量f_i、b_i分別作遞歸處理，得到L(f_i)和L(b_i)。利用公式其中i∈{2，3，…，d_c-1}。通過這種前向后向遞歸運算完成校驗節(jié)點的更新。

    參考文獻[11]使用一階泰勒級數(shù)對式(7)中的修正項進行處理。本文提出的算法與該算法與原曲線的最大誤差對比結(jié)果如表1所示，本文提出的算法與參考文獻[11]提出的算法近似曲線的對比結(jié)果如圖1所示。本文采用泰勒級數(shù)對式(7)中的修正項進行分段線性近似。使用函數(shù)g(x)=log(1+e^-|x|)表示式(7)中的修正項，在一階泰勒級數(shù)近似的基礎上對曲線g(x)進行分段線性近似，并以g(x)函數(shù)切點x₀為分段節(jié)點進行分段，分段步長為0.75，分段函數(shù)如表2所示。

    從圖1可以看出本文提出的算法有效地解決了參考文獻[11]提出的使用一階泰勒級數(shù)近似時在x=0和g(x)=0處造成誤差的問題。

    該算法與LLR-SPA算法相比，在譯碼性能基本沒有變化的情況下，避免了查表操作和非線性的對數(shù)運算，降低了算法的復雜度。與兩種修正的MS譯碼算法相比無需設置偏移參數(shù)和校正因子，更利于實際應用。

2 仿真結(jié)果

    實驗使用MATLAB從以下幾個方面進行驗證：與原曲線的最大誤差；信噪比和誤比特率。實驗環(huán)境如下：信道采用AWGN信道，調(diào)制方式為BPSK，規(guī)則的LDPC碼(504，3，6)和(6 000，3，6)，迭代次數(shù)分別設為40和80。

    從表1數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法相比于文獻[11]提出的算法與原曲線的最大誤差小，更接近原曲線。

    在迭代次數(shù)為40，使用規(guī)則LDPC碼(504，3，6)的情況下，本文提出的算法與LLR-SPA算法、最小和譯碼算法、一階泰勒級數(shù)近似算法在信噪比和誤比特率方面對比結(jié)果如圖2所示。

    從圖2可以看出，當誤碼比特率為10^-4時，本文提出的算法在譯碼性能上優(yōu)于一階泰勒級數(shù)算法和最小和算法分別約為0.15 dB，0.35 dB。相比于最優(yōu)的LLR-SPA算法，僅有0.05 dB的性能損失。

    在迭代次數(shù)為80，使用規(guī)則LDPC碼(6 000，3，6)的情況下，本文提出的算法與LLR-SPA算法、最小和譯碼算法、一階泰勒級數(shù)近似算法在信噪比和誤比特率方面對比結(jié)果如圖3所示。

    從圖3可以看出，當誤碼比特率為10^-4時，本文提出的算法分別優(yōu)于一階泰勒級數(shù)算法和最小和算法分別約為0.2 dB，0.55 dB；當誤碼比特率為10^-5時，本文提出的算法分別優(yōu)于一階泰勒級數(shù)算法和最小和算法分別約為0.22 dB，0.6 dB。從圖中還可以看出本文提出的算法與最優(yōu)的LLR-SPA算法相比，幾乎沒有性能損失。

3 結(jié)論

    本文旨在提出一種提高譯碼精度的新算法，該算法將LLR-SPA譯碼算法中復雜度較高的雅克比修正項采用泰勒級數(shù)進行分段線性近似。該算法與一階泰勒級數(shù)近似相比在譯碼復雜度基本不變的情況下，極大地提高了譯碼算法的性能；與LLR-SPA譯碼算法相比，不僅避免了查表操作和復雜的非線性對數(shù)函數(shù)的計算，而且在性能上逼近最優(yōu)的LLR-SPA譯碼算法，具有有效性和實用性。

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