摘  要: 反向動(dòng)力學(xué)中CCD算法具有局限性，分析幾何法應(yīng)用于多自由度骨骼具有不可收斂性，而微分求解主要運(yùn)用于小幅度的變化, 因此利用雅可比矩陣使骨骼具有收斂性,將分析幾何法與微分求解法融合，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，IK反向動(dòng)力學(xué)算法的改進(jìn)很有意義。
關(guān)鍵詞： 3D圖形學(xué)； IK反向動(dòng)力學(xué)； 微分求解算法

    肢體運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究往往混略掉人們自身運(yùn)動(dòng)的特性或者引起運(yùn)動(dòng)的真正原因。參考文獻(xiàn)[1]綜述了隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，虛擬人技術(shù)不斷改進(jìn)，新興的3D場(chǎng)景圖建模是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)處理三維世界發(fā)展的多層次數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，但由于機(jī)器人等運(yùn)動(dòng)學(xué)模型受外部約束以及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的限制，很難實(shí)現(xiàn)一些舒服的姿勢(shì)和動(dòng)作。參考文獻(xiàn)[2]主要對(duì)虛擬人技術(shù)的運(yùn)動(dòng)算法實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了研究；參考文獻(xiàn)[3]也對(duì)虛擬人技術(shù)運(yùn)動(dòng)算法做了研究，并提出反向動(dòng)力學(xué)的思想，但都未對(duì)反向動(dòng)力學(xué)算法帶來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行解決。反向動(dòng)力學(xué)是被開發(fā)來(lái)解決這些運(yùn)動(dòng)約束的圖形處理方法的分支，以模型葉節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)來(lái)計(jì)算根節(jié)點(diǎn)信息的方法[4]。
　    簡(jiǎn)單地說(shuō)，IK(Inverse Kinematics)算法就是首先確定末端骨骼的位置信息，根據(jù)末端骨骼的位置信息反向推導(dǎo)出該骨骼繼承鏈上N級(jí)父親骨骼的位置信息。通過(guò)這種方法指定角色的“姿勢(shì)”，即首先把渲染的角色表示成骨骼關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，所謂的姿勢(shì)表示成由此構(gòu)成的夾角，包括狀態(tài)向量θ以及節(jié)點(diǎn)的方向向量和位置。對(duì)于IK算法，基本公式是：
    θ=f^-1(X)                    (1)
其中，X通常是最末端骨骼位置信息，用此算法來(lái)計(jì)算滿足條件的θ。
    參考文獻(xiàn)[5]闡述了IK算法在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中的應(yīng)用，并重點(diǎn)研究了7個(gè)自由度骨骼的運(yùn)動(dòng),但對(duì)奇異點(diǎn)病態(tài)方程的問(wèn)題沒(méi)有提出有效的解決方法。
    當(dāng)前的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，所有角色動(dòng)畫簡(jiǎn)單地由正向動(dòng)力學(xué)算法計(jì)算已經(jīng)不能滿足動(dòng)畫逼真性的需求，一些游戲中正向動(dòng)力學(xué)遇到很多問(wèn)題，即使花大量時(shí)間也是很難去消除或協(xié)調(diào)的[6]。針對(duì)時(shí)效的問(wèn)題,參考文獻(xiàn)[6]對(duì)反向動(dòng)力學(xué)算法應(yīng)用在多處理器中進(jìn)行了研究，對(duì)速降法也提供了一些支持。近些年，隨著實(shí)時(shí)算法的發(fā)展，反向動(dòng)力學(xué)越來(lái)越顯得不可缺少。本文主要通過(guò)幾何分析法與微分求解法的融合，使IK反向動(dòng)力學(xué)算法有效摒棄CCD速降法帶來(lái)的算法不收斂性。CCD速降法對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)的限制會(huì)造成關(guān)節(jié)限制的制約束的合并，尤其是末端鏈僅僅產(chǎn)生移動(dòng)，使畫面產(chǎn)生不自然的感覺(jué)。針對(duì)這一問(wèn)題,首先通過(guò)幾何分析法來(lái)確定關(guān)節(jié)位置，局部采用微分求解法，并且在微分求解過(guò)程中引入稀疏矩陣來(lái)尋找并處理奇異點(diǎn)的問(wèn)題。參考文獻(xiàn)[7]、[8]提及的渲染技術(shù)，利用HLSL語(yǔ)言進(jìn)行畫面的模擬。
1 幾何分析法算法的研究
    實(shí)現(xiàn)IK算法,目前應(yīng)用最多的是CCD(Cyclic Coordinate Descent)。這是一個(gè)迭代算法，通過(guò)多次迭代向目標(biāo)解逐步接近，通常5~10次就會(huì)得到很好的效果，絕大多數(shù)情況下骨骼的目標(biāo)位置都會(huì)收斂到理想位置。但通常CCD算法的每一步都需要啟發(fā)式的構(gòu)造，并且骨骼之間的關(guān)節(jié)不能任意角度旋轉(zhuǎn)。另一個(gè)問(wèn)題是,當(dāng)所有骨骼在一條直線上時(shí)，每一個(gè)骨骼都會(huì)認(rèn)為自身不再需要旋轉(zhuǎn)，CCD的迭代算法會(huì)失效。相對(duì)于CCD算法，常用到的幾何分析法能夠很快地得到骨骼的目標(biāo)位置信息，可以一步算出目標(biāo)位置，有效地摒棄了CCD算法迭代的效率問(wèn)題。但是幾何分析法也存在不足，即對(duì)于結(jié)構(gòu)稍微比較復(fù)雜的框架骨骼，會(huì)得到無(wú)數(shù)多的解。
    在IK反向動(dòng)力學(xué)算法中，對(duì)于一個(gè)N級(jí)骨骼鏈，其N級(jí)父親骨骼信息T是相對(duì)于N-1級(jí)子骨骼信息T相對(duì)運(yùn)動(dòng),相對(duì)于末端骨骼信息，可簡(jiǎn)單表示為：


    這里的α是斜率。對(duì)于關(guān)節(jié)權(quán)重的αi取值為一確定值矩陣的一列，并且值∈(0,1)，確保?駐H的收斂性。然而，并非所有骨骼都可以旋轉(zhuǎn)無(wú)限制角度，以三鏈臂為例，θ1∈[-90，90]，θ2∈[0，110]，θ3∈[-20，20]。對(duì)每個(gè)不同位置的關(guān)節(jié)控制在可允許的范圍內(nèi)，這樣,計(jì)算出的位置幅度范圍小，得出值的過(guò)程較快，并且同時(shí)確保了骨架姿勢(shì)的逼真性。
4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
    利用C#代碼、Direct9.0和HLSL渲染技術(shù)，在Visual Studio 2010環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，部分代碼如下(包括位置信息、骨骼權(quán)重和法線位置等)。
    VS_OUTPUT Transform(
            float4 inputPosition : POSITION,
            float3 inputNormal : NORMAL,
            float2 inputTexCoord :TEXCOORD0,
        float4 weights : TEXCOORD1,
        float4 bones : TEXCOORD2
            )
    {
    VS_OUTPUT Out = (VS_OUTPUT)0;
    float4 pos=mul(inputPosition, Local);
    pos=mul(pos,BoneMatrices[(int)bones.x])*weights.x+
    mul(pos,BoneMatrices[(int)bones.y])*weights.y+
    mul(pos, BoneMatrices[(int)bones.z])*weights.z+
    mul(pos,BoneMatrices[(int)bones.w])*weights.w;
        Out.Pos = mul(pos, WorldViewProjection);
    Out.Normal =mul(inputNormal,World);
        Out.Texcoord = inputTexCoord;
    Out.EyeDir = EyePosition - Out.Pos;
    Out.Direction = LightPosition -Out.Pos;
            return Out;
    }
       實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

    表1為算法改進(jìn)前后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。

    由表1可以看出，本文算法具有很大的改進(jìn)。然而，這些數(shù)據(jù)不是每次實(shí)驗(yàn)都是這樣的，在實(shí)際操作中會(huì)有許多其他客觀因素加入，但只要能夠得出更好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，證明改進(jìn)還是正確的。由實(shí)驗(yàn)分析可知，CCD速降法會(huì)得出更多錯(cuò)誤位置，這是由于計(jì)算角度位置的幅度范圍太大造成的，而幾何分析法和微分求解法完美地融合就可以大幅度減小這些錯(cuò)誤。此外，對(duì)中值期望角的改進(jìn)求法在摒棄了復(fù)雜計(jì)算過(guò)程的同時(shí)，在小范圍內(nèi)的求解計(jì)算并沒(méi)有增加過(guò)多的錯(cuò)誤位置信息，還減少了計(jì)算時(shí)間，因此，改進(jìn)算法很有意義。
    在很多應(yīng)用中，IK算法只是算取骨架的部分骨骼，主骨架位置還是由正向動(dòng)力學(xué)算法求出。隨著3D圖像學(xué)的不斷進(jìn)步以及實(shí)時(shí)算法的發(fā)展和改進(jìn)，IK反向動(dòng)力學(xué)會(huì)得到越來(lái)越廣的方面應(yīng)用，也極大地推進(jìn)了虛擬場(chǎng)景的動(dòng)畫研究。分析幾何法可以快速地確定關(guān)節(jié)角度的大致位置，微分求解法可以小范圍內(nèi)確保關(guān)節(jié)角度的最優(yōu)，二者的結(jié)合可以達(dá)到揚(yáng)長(zhǎng)避短的效果，也使反向動(dòng)力學(xué)算法更優(yōu)化。
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