摘  要： 支持向量機(jī)(SVM)是一種兩類分類算法，如何將SVM算法應(yīng)用于多類分類問(wèn)題，目前已衍生出多種方法。其中“二叉樹”方法應(yīng)用比較廣泛，但分類支持向量機(jī)在樹中中間節(jié)點(diǎn)位置的不同，直接關(guān)系到該方法的分類準(zhǔn)確性?；诙鏄浞椒ㄌ岢隽?ldquo;類間相異度”的策略，根據(jù)類間相異程度來(lái)決定多類的分類順序。
關(guān)鍵詞： 支持向量機(jī)；二叉樹；超球體；相異度

    支持向量機(jī)SVM(Support Vector Machine)[1]是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的VC維理論[2]和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理基礎(chǔ)之上的兩類分類算法。目前，該算法已廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如人臉檢驗(yàn)、文字/手寫體識(shí)別、圖像處理[3]等。支持向量機(jī)屬于一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，核函數(shù)則是其中的核心部分。對(duì)于難以分類的低維空間向量集，通常的做法是向高維空間集轉(zhuǎn)化，但這也增加了計(jì)算的復(fù)雜度，即維數(shù)災(zāi)難[4]問(wèn)題。而核函數(shù)[4]卻可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題，只要選取合適的核函數(shù)，即可得到高維空間的向量機(jī)（也稱超平面[2]）。
    當(dāng)使用向量機(jī)進(jìn)行多類分類時(shí)，需要將多類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩類問(wèn)題。常用的有“一對(duì)多”(One Versus Rest)[5]、“一對(duì)一”(One Versus One)[6]、“二叉樹”(Binary Tree)[7]和“有向無(wú)環(huán)圖”(Directed Acyclic Graph)[8]等方法，本文將對(duì)多類分類支持向量機(jī)[9]的這些方法作概略介紹和比較，同時(shí)對(duì)基于偏二叉樹多類分類向量機(jī)提出一些改進(jìn)意見(jiàn)。
1 SVM多類分類方法
1.1 SVM多類分類方法介紹
    現(xiàn)有一個(gè)多類分類問(wèn)題，其中類別數(shù)為k。當(dāng)使用支持向量機(jī)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行分類時(shí)，需假設(shè)一類為正樣本，另一類為負(fù)樣本。
    “一對(duì)多”方法將類i樣本作為正樣本，而除該類以外的所有類作為負(fù)樣本，在這兩類樣本間訓(xùn)練出向量機(jī)，該方法總共構(gòu)造了k個(gè)分類支持向量機(jī)。在對(duì)某向量進(jìn)行測(cè)試時(shí)，取計(jì)算出最大值的向量機(jī)所對(duì)應(yīng)的類別作為該向量的類別。
    “一對(duì)一”方法是從分類問(wèn)題中選取類別i和類別j中的樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練兩類間的分類向量機(jī)，這樣構(gòu)造出的向量機(jī)的總數(shù)為k(k-1)/2。雖然“一對(duì)一”分類方法產(chǎn)生的分類向量機(jī)的數(shù)目是“一對(duì)多”方法的(k-1)/2倍，但“一對(duì)一”方法的訓(xùn)練規(guī)模要比“一對(duì)多”方法小很多。對(duì)向量的測(cè)試采取計(jì)分的方式，通過(guò)k(k-1)/2個(gè)分類機(jī)的計(jì)算以后，選取得分最高的類別作為該測(cè)試數(shù)據(jù)的類別。
    二叉樹方法是將兩類之間的k-1個(gè)向量機(jī)作為中間節(jié)點(diǎn)，葉子節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)k個(gè)類別樣本，以這樣的方式構(gòu)建一棵分類二叉樹，常用的方式包括滿二叉樹和偏二叉樹。在對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，根節(jié)點(diǎn)的向量機(jī)在全部樣本空間上進(jìn)行訓(xùn)練，而子節(jié)點(diǎn)向量機(jī)則在根節(jié)點(diǎn)的負(fù)樣本類或正樣本類上訓(xùn)練，依次類推，直至k-1個(gè)分類機(jī)在k-1類和k類樣本上進(jìn)行訓(xùn)練。
    有向無(wú)環(huán)圖方法與“一對(duì)一”方法一樣，也是在任意兩類之間訓(xùn)練分類向量機(jī)，也即具有相同的分類向量機(jī)數(shù)目。k(k-1)/2個(gè)分類向量機(jī)作為圖的中間節(jié)點(diǎn)，圖中葉子節(jié)點(diǎn)為k類樣本。但在測(cè)試向量數(shù)據(jù)所屬類別時(shí)，僅需經(jīng)過(guò)k-1個(gè)分類向量機(jī)節(jié)點(diǎn)即可判斷測(cè)試數(shù)據(jù)的類別。
1.2 基于二叉樹的SVM多類分類方法
    在SVM多類分類算法中，分類樹是一種應(yīng)用十分廣泛的多類分類策略。但分類向量機(jī)在樹中所處的節(jié)點(diǎn)位置，直接影響到分類的準(zhǔn)確性和推廣的性能。不同的二叉樹結(jié)構(gòu)，會(huì)使得測(cè)試數(shù)據(jù)得到不同的分類結(jié)果。隨著節(jié)點(diǎn)分類層次的深入，可能會(huì)產(chǎn)生分類“誤差累積”的現(xiàn)象[10]。因此，生成合適的二叉樹結(jié)構(gòu)顯得異常重要。
    生成多類分類二叉樹通常包括兩種思路：第一種是依據(jù)類中樣本點(diǎn)的分布情況，優(yōu)先分出分布區(qū)域較大的類；第二種是依據(jù)類間距離作出判斷，優(yōu)先分出離其他類較遠(yuǎn)的類。而衡量類分布情況的一個(gè)有效方法是計(jì)算各個(gè)類的超球體的體積，體積越大，類的分布區(qū)域也就越大。類的超球體體積定義如下：
    
    本文對(duì)于構(gòu)造偏二叉樹提出了類間相異度的方法，有效解決了上述問(wèn)題。
2 改進(jìn)的偏二叉樹SVM多類分類方法
    本文從類在空間中的分布情況和類間距離這兩方面著手，優(yōu)化分類偏二叉樹的結(jié)構(gòu)。對(duì)于類的分布情況采用參考文獻(xiàn)[11]所提出的超球體的體積來(lái)度量，而類間距離采用超球體重心間的歐氏距離來(lái)度量，關(guān)于歐氏距離的概念見(jiàn)定義2。為綜合考慮以上這兩個(gè)方面，本文引入了類間相異度的概念，具體內(nèi)容見(jiàn)定義3。
    

    輸入：包含n個(gè)樣本對(duì)象（含分類號(hào)）的數(shù)據(jù)集D。
    輸出：包含K個(gè)元素的優(yōu)先分類序列S。
    算法：
    (1)計(jì)算每個(gè)類的最小超球體的重心和半徑；
    (2)repeat；
    (3)根據(jù)定義3計(jì)算每個(gè)類相對(duì)D中其他剩余類的相異度之和；
    (4)選擇步驟(3)中相異度最大的類i，把類標(biāo)號(hào)i添加到S中，刪除D中類標(biāo)號(hào)為i的元素；
    (5)until D中只剩兩個(gè)類的元素；
    (6)把剩余的兩個(gè)類的類標(biāo)號(hào)添加到序列S中。
    算法在步驟(5)返回步驟(3)循環(huán)執(zhí)行，當(dāng)數(shù)據(jù)集中僅包含兩類樣本時(shí)算法結(jié)束。
    以生成分類偏二叉樹的根節(jié)點(diǎn)和左右孩子為例，取出分類序列S中第一個(gè)元素的類標(biāo)號(hào)，將該類和其他類間訓(xùn)練出的向量機(jī)作為根節(jié)點(diǎn)，該類作為左孩子，然后再?gòu)姆诸愋蛄蠸中取出第二個(gè)元素的類標(biāo)號(hào)，將該類和其他類間訓(xùn)練出的向量機(jī)作為右孩子。以同樣的方式生成剩余的中間節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)，最終構(gòu)建出的多類分類偏二叉樹如圖2所示。

3 實(shí)驗(yàn)分析
    本文所有算法均使用C++語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，并使用VC6.0完成編譯。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)：Pentium?誖Dual-Core CPU 2.80 GHz、2 GB內(nèi)存、Windows XP 操作系統(tǒng)。所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均來(lái)自UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中的多類別數(shù)據(jù)集vehicle和letter，具體樣本數(shù)量和維數(shù)如表1所示。

    由于取不同的核參數(shù)λ和懲罰系數(shù)C[12]對(duì)模型的推廣有很大的影響，為了能更好地比較出依據(jù)不同的策略生成的偏二叉樹的推廣性能，本實(shí)驗(yàn)與參考文獻(xiàn)[12]類似，對(duì)相同數(shù)據(jù)集的每一種策略均采用多種(C，λ)參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中C的取值為2、4、8、16、32、64，λ的取值為2、4、8、16，這樣總共有6×4=24種組合，每個(gè)實(shí)驗(yàn)的KTT停止條件的容許誤差為0.001。取出最高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率所對(duì)應(yīng)的(C，λ)參數(shù)及其準(zhǔn)確率進(jìn)行比較。
    從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析中可以看出，對(duì)于數(shù)據(jù)集vehicle，當(dāng)訓(xùn)練樣本的數(shù)量為600時(shí)，在預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率方面，使用本文提出的方法與其他方法相比，并沒(méi)有明顯的提高。而對(duì)于數(shù)據(jù)集letter，由于比vehicle數(shù)據(jù)集在訓(xùn)練時(shí)多出300個(gè)樣本，本文提出的方法在準(zhǔn)確率方面有了明顯的優(yōu)勢(shì)?？傮w來(lái)講，本文提出的根據(jù)類間相異度的策略生成的偏二叉樹要比單獨(dú)根據(jù)類間距離或單獨(dú)根據(jù)類樣本的分布情況生成的偏二叉樹，在準(zhǔn)確率方面有一定的改善。
    基于二叉樹多類分類方法是SVM算法在多類分類問(wèn)題中的一個(gè)重要應(yīng)用，但支持向量機(jī)節(jié)點(diǎn)在二叉樹中所處位置的不同對(duì)分類的準(zhǔn)確性有較大影響。本文首先分析和比較了由SVM算法所產(chǎn)生的多類分類方法，然后提出了一種依據(jù)類間相異度的策略來(lái)生成基于偏二叉樹的多類分類支持向量機(jī)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的算法在準(zhǔn)確性方面有很大的提高。
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