摘  要： 支持向量機(SVM)是一種兩類分類算法，如何將SVM算法應用于多類分類問題，目前已衍生出多種方法。其中“二叉樹”方法應用比較廣泛，但分類支持向量機在樹中中間節(jié)點位置的不同，直接關系到該方法的分類準確性。基于二叉樹方法提出了“類間相異度”的策略，根據(jù)類間相異程度來決定多類的分類順序。
關鍵詞： 支持向量機；二叉樹；超球體；相異度

    支持向量機SVM(Support Vector Machine)[1]是一種基于統(tǒng)計學的VC維理論[2]和結構風險最小化原理基礎之上的兩類分類算法。目前，該算法已廣泛應用于諸多領域，如人臉檢驗、文字/手寫體識別、圖像處理[3]等。支持向量機屬于一種機器學習算法，核函數(shù)則是其中的核心部分。對于難以分類的低維空間向量集，通常的做法是向高維空間集轉化，但這也增加了計算的復雜度，即維數(shù)災難[4]問題。而核函數(shù)[4]卻可以很好地解決這個問題，只要選取合適的核函數(shù)，即可得到高維空間的向量機（也稱超平面[2]）。
    當使用向量機進行多類分類時，需要將多類問題轉化為兩類問題。常用的有“一對多”(One Versus Rest)[5]、“一對一”(One Versus One)[6]、“二叉樹”(Binary Tree)[7]和“有向無環(huán)圖”(Directed Acyclic Graph)[8]等方法，本文將對多類分類支持向量機[9]的這些方法作概略介紹和比較，同時對基于偏二叉樹多類分類向量機提出一些改進意見。
1 SVM多類分類方法
1.1 SVM多類分類方法介紹
    現(xiàn)有一個多類分類問題，其中類別數(shù)為k。當使用支持向量機對此問題進行分類時，需假設一類為正樣本，另一類為負樣本。
    “一對多”方法將類i樣本作為正樣本，而除該類以外的所有類作為負樣本，在這兩類樣本間訓練出向量機，該方法總共構造了k個分類支持向量機。在對某向量進行測試時，取計算出最大值的向量機所對應的類別作為該向量的類別。
    “一對一”方法是從分類問題中選取類別i和類別j中的樣本數(shù)據(jù)訓練兩類間的分類向量機，這樣構造出的向量機的總數(shù)為k(k-1)/2。雖然“一對一”分類方法產生的分類向量機的數(shù)目是“一對多”方法的(k-1)/2倍，但“一對一”方法的訓練規(guī)模要比“一對多”方法小很多。對向量的測試采取計分的方式，通過k(k-1)/2個分類機的計算以后，選取得分最高的類別作為該測試數(shù)據(jù)的類別。
    二叉樹方法是將兩類之間的k-1個向量機作為中間節(jié)點，葉子節(jié)點對應k個類別樣本，以這樣的方式構建一棵分類二叉樹，常用的方式包括滿二叉樹和偏二叉樹。在對樣本進行訓練時，根節(jié)點的向量機在全部樣本空間上進行訓練，而子節(jié)點向量機則在根節(jié)點的負樣本類或正樣本類上訓練，依次類推，直至k-1個分類機在k-1類和k類樣本上進行訓練。
    有向無環(huán)圖方法與“一對一”方法一樣，也是在任意兩類之間訓練分類向量機，也即具有相同的分類向量機數(shù)目。k(k-1)/2個分類向量機作為圖的中間節(jié)點，圖中葉子節(jié)點為k類樣本。但在測試向量數(shù)據(jù)所屬類別時，僅需經(jīng)過k-1個分類向量機節(jié)點即可判斷測試數(shù)據(jù)的類別。
1.2 基于二叉樹的SVM多類分類方法
    在SVM多類分類算法中，分類樹是一種應用十分廣泛的多類分類策略。但分類向量機在樹中所處的節(jié)點位置，直接影響到分類的準確性和推廣的性能。不同的二叉樹結構，會使得測試數(shù)據(jù)得到不同的分類結果。隨著節(jié)點分類層次的深入，可能會產生分類“誤差累積”的現(xiàn)象[10]。因此，生成合適的二叉樹結構顯得異常重要。
    生成多類分類二叉樹通常包括兩種思路：第一種是依據(jù)類中樣本點的分布情況，優(yōu)先分出分布區(qū)域較大的類；第二種是依據(jù)類間距離作出判斷，優(yōu)先分出離其他類較遠的類。而衡量類分布情況的一個有效方法是計算各個類的超球體的體積，體積越大，類的分布區(qū)域也就越大。類的超球體體積定義如下：
    
    本文對于構造偏二叉樹提出了類間相異度的方法，有效解決了上述問題。
2 改進的偏二叉樹SVM多類分類方法
    本文從類在空間中的分布情況和類間距離這兩方面著手，優(yōu)化分類偏二叉樹的結構。對于類的分布情況采用參考文獻[11]所提出的超球體的體積來度量，而類間距離采用超球體重心間的歐氏距離來度量，關于歐氏距離的概念見定義2。為綜合考慮以上這兩個方面，本文引入了類間相異度的概念，具體內容見定義3。
    

    輸入：包含n個樣本對象（含分類號）的數(shù)據(jù)集D。
    輸出：包含K個元素的優(yōu)先分類序列S。
    算法：
    (1)計算每個類的最小超球體的重心和半徑；
    (2)repeat；
    (3)根據(jù)定義3計算每個類相對D中其他剩余類的相異度之和；
    (4)選擇步驟(3)中相異度最大的類i，把類標號i添加到S中，刪除D中類標號為i的元素；
    (5)until D中只剩兩個類的元素；
    (6)把剩余的兩個類的類標號添加到序列S中。
    算法在步驟(5)返回步驟(3)循環(huán)執(zhí)行，當數(shù)據(jù)集中僅包含兩類樣本時算法結束。
    以生成分類偏二叉樹的根節(jié)點和左右孩子為例，取出分類序列S中第一個元素的類標號，將該類和其他類間訓練出的向量機作為根節(jié)點，該類作為左孩子，然后再從分類序列S中取出第二個元素的類標號，將該類和其他類間訓練出的向量機作為右孩子。以同樣的方式生成剩余的中間節(jié)點和葉子節(jié)點，最終構建出的多類分類偏二叉樹如圖2所示。

3 實驗分析
    本文所有算法均使用C++語言實現(xiàn)，并使用VC6.0完成編譯。實驗平臺：Pentium?誖Dual-Core CPU 2.80 GHz、2 GB內存、Windows XP 操作系統(tǒng)。所有實驗數(shù)據(jù)均來自UCI數(shù)據(jù)庫中的多類別數(shù)據(jù)集vehicle和letter，具體樣本數(shù)量和維數(shù)如表1所示。

    由于取不同的核參數(shù)λ和懲罰系數(shù)C[12]對模型的推廣有很大的影響，為了能更好地比較出依據(jù)不同的策略生成的偏二叉樹的推廣性能，本實驗與參考文獻[12]類似，對相同數(shù)據(jù)集的每一種策略均采用多種(C，λ)參數(shù)進行實驗，其中C的取值為2、4、8、16、32、64，λ的取值為2、4、8、16，這樣總共有6×4=24種組合，每個實驗的KTT停止條件的容許誤差為0.001。取出最高的預測準確率所對應的(C，λ)參數(shù)及其準確率進行比較。
    從實驗數(shù)據(jù)的分析中可以看出，對于數(shù)據(jù)集vehicle，當訓練樣本的數(shù)量為600時，在預測準確率方面，使用本文提出的方法與其他方法相比，并沒有明顯的提高。而對于數(shù)據(jù)集letter，由于比vehicle數(shù)據(jù)集在訓練時多出300個樣本，本文提出的方法在準確率方面有了明顯的優(yōu)勢?？傮w來講，本文提出的根據(jù)類間相異度的策略生成的偏二叉樹要比單獨根據(jù)類間距離或單獨根據(jù)類樣本的分布情況生成的偏二叉樹，在準確率方面有一定的改善。
    基于二叉樹多類分類方法是SVM算法在多類分類問題中的一個重要應用，但支持向量機節(jié)點在二叉樹中所處位置的不同對分類的準確性有較大影響。本文首先分析和比較了由SVM算法所產生的多類分類方法，然后提出了一種依據(jù)類間相異度的策略來生成基于偏二叉樹的多類分類支持向量機。實驗結果表明，改進的算法在準確性方面有很大的提高。
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