摘  要： 根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)，建立了符合最小區(qū)域條件的圓柱度評(píng)定的數(shù)學(xué)模型。提出了一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，并以此對(duì)圓柱度測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小區(qū)域評(píng)定，給出了該算法的實(shí)現(xiàn)方法。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，該方法可以在新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)下更快速、準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)圓柱度誤差。
關(guān)鍵詞： 新一代GPS；圓柱度；評(píng)定；粒子群優(yōu)化算法；交叉算子

　隨著現(xiàn)代精密和超精密加工技術(shù)以及納米技術(shù)的迅速發(fā)展與應(yīng)用，對(duì)機(jī)械產(chǎn)品制造精度的要求不斷提高。傳統(tǒng)的以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的第一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范由于在誤差評(píng)定模型、數(shù)據(jù)采集方法等方面存在經(jīng)驗(yàn)性、隨意性等缺點(diǎn)，已經(jīng)不能完全適應(yīng)現(xiàn)代制造業(yè)對(duì)誤差評(píng)定既準(zhǔn)且快的要求[1]。近年來(lái)，隨著以計(jì)量學(xué)為基礎(chǔ)的新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列標(biāo)準(zhǔn)的出現(xiàn)，對(duì)形狀誤差的規(guī)范評(píng)定提出了新的要求。
　在形狀誤差的幾種要素中，圓柱度誤差作為衡量軸類零件形狀誤差的主要指標(biāo)，其精度的高低對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量及其使用壽命有著至關(guān)重要的影響，能否實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差快速、準(zhǔn)確的評(píng)定具有重要的實(shí)際意義。因此，本文以圓柱度精度檢測(cè)為例，依據(jù)新一代GPS形狀誤差規(guī)范認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，提出一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度測(cè)量數(shù)據(jù)的最小區(qū)域評(píng)定。該算法借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，通過(guò)交叉增加粒子多樣性，充分利用群體粒子的優(yōu)良特性，跳出局部最優(yōu)的同時(shí)也加快了收斂速度。
1 基于新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系的圓柱度誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型
　在新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系中，操作是為了規(guī)范幾何產(chǎn)品的誤差評(píng)定而提出的概念，是獲得幾何要素的特征值及特征的幾何變動(dòng)范圍(極限值)的基本數(shù)學(xué)工具。操作分為要素操作和評(píng)估操作。其中，要素操作中的擬合操作定義了基于計(jì)量數(shù)學(xué)的各種擬合目標(biāo)函數(shù)，且用Lp范數(shù)定義了最小二乘、最小區(qū)域、單邊切比雪夫目標(biāo)函數(shù)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型[1]。Lp范數(shù)的定義為：

　式中，i為非理想要素(即實(shí)際被測(cè)幾何要素)上特定點(diǎn)的序號(hào)；p為函數(shù)的級(jí)數(shù)；n為所采用的非理想要素點(diǎn)的個(gè)數(shù)；ri為對(duì)應(yīng)于從非理想要素到所擬合的理想要素距離的余量。
　最小區(qū)域法目標(biāo)函數(shù)的定義是使余量絕對(duì)值中的最大值為最小，令式(1)中的p=∞，即：

　在圓柱度擬合操作中，由于圓柱度誤差是單一實(shí)際圓柱所允許的變動(dòng)全量。因此，按最小區(qū)域法評(píng)定的平面度誤差的關(guān)鍵是尋求某一圓柱面，計(jì)算被測(cè)輪廓上各測(cè)量點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)到此圓柱面軸線的距離，令各距離中的最大最小值之差為最小，則此距離差即為圓柱度誤差值，如圖1所示。

　設(shè)理想圓柱面的軸線方程為：

    在以往的圓柱度評(píng)定過(guò)程中，一般令c=0，n=1，從而將式(5)中的六個(gè)變量簡(jiǎn)化為四個(gè)變量，以減小計(jì)算難度及復(fù)雜度。但這種做法的前提是假設(shè)軸為垂直放置，軸線平行于Z軸，且軸線起點(diǎn)的Z坐標(biāo)位置為零。而在實(shí)際情況中，被測(cè)圓柱面往往會(huì)因加工或定位誤差導(dǎo)致軸線偏差，此時(shí)使用簡(jiǎn)化后的公式是無(wú)法得到精確的評(píng)定結(jié)果的。因此，本文針對(duì)六個(gè)變量的復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)，提出基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行圓柱度誤差評(píng)定，以獲得準(zhǔn)確及高精度的評(píng)定結(jié)果。
2 基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法
2.1 基本粒子群算法
　粒子群優(yōu)化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群體智能理論的全局優(yōu)化方法，通過(guò)群體中粒子間的合作與競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生的群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索[2]。研究實(shí)踐表明，PSO在多維空間函數(shù)尋優(yōu)、動(dòng)態(tài)目標(biāo)尋優(yōu)等方面有著收斂速度快、非劣解質(zhì)量高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，特別適合于工程應(yīng)用。但同時(shí)PSO也存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺點(diǎn)。
　在基本粒子群算法中，每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題被看作是搜索空間中的一個(gè)沒(méi)有體積沒(méi)有質(zhì)量的飛行粒子，粒子在每一次迭代中通過(guò)跟蹤兩個(gè)“極值”來(lái)更新自己：一個(gè)是粒子自身目前找到的最優(yōu)解，即個(gè)體極值pbest；另一個(gè)是全局極值gbest，即整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解[4]。找到這兩個(gè)最優(yōu)解后，粒子根據(jù)如下的公式來(lái)更新自己的速度和新的位置：

　經(jīng)過(guò)上述計(jì)算，在由父代粒子形成的超立方體中隨機(jī)產(chǎn)生了兩個(gè)新的位置，其中在速率的交叉處將兩個(gè)父代個(gè)體的速率之和的長(zhǎng)度進(jìn)行了規(guī)格化。因此，只有粒子的方向受到影響，數(shù)量卻不會(huì)改變。該算法流程圖如圖2所示。

3 實(shí)例驗(yàn)證與結(jié)果討論
　本文使用參考文獻(xiàn)[6]給出的兩組圓柱度誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)按照之前提出的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算分析。根據(jù)圓柱度誤差的特性并參考經(jīng)典PSO參數(shù)集[7]，本文設(shè)置算法的基本參數(shù)如下：
　(1)粒子規(guī)模數(shù)n：一般取20~40，本文取n=40；
　(2)粒子維數(shù)D：由目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)決定，本文取D=6；
　(3)粒子范圍：根據(jù)測(cè)點(diǎn)的分布范圍確定；
　(4)最大速度vmax：由于圓柱度的誤差較小，設(shè)vmax=0.02；
　(5)最大迭代次數(shù)：設(shè)為500次；
　(6)終止條件：循環(huán)達(dá)到終止迭代次數(shù)或最優(yōu)適度值連續(xù)迭代50次，計(jì)算結(jié)果差值小于0.000 000 1。
　參考文獻(xiàn)[6]分別應(yīng)用最小區(qū)域法(MZM)和最小二乘法(LSM)對(duì)這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算；參考文獻(xiàn)[8]和參考文獻(xiàn)[9]則分別應(yīng)用了遺傳算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析。表1和表2為以上幾種算法和本文使用GHPSO算法得到的結(jié)果。圖3和圖4分別為GHPSO算法計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)時(shí)的粒子適應(yīng)度收斂曲線。由這些表和圖中可以看出，本文針對(duì)同一組數(shù)據(jù)計(jì)算得出的結(jié)果明顯優(yōu)于遺傳算法和基本粒子群算法，收斂過(guò)程迅速、穩(wěn)定。
　本文根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系給出了圓柱度誤差的定義及誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型，并將一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度誤差評(píng)定，得到了較好的效果。該改進(jìn)粒子群算法原理較簡(jiǎn)單，且計(jì)算效率高，相比其他幾種算法可以更有效、準(zhǔn)確地評(píng)定圓柱度誤差。同時(shí)，將圓柱度誤差的目標(biāo)函數(shù)稍加改變，即可方便地應(yīng)用于其他形位誤差的評(píng)定。因此，該方法作為一種誤差評(píng)定方法，對(duì)于規(guī)范形狀誤差的評(píng)定過(guò)程具有一定的現(xiàn)實(shí)意義與參考價(jià)值。
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