摘  要： 根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)，建立了符合最小區(qū)域條件的圓柱度評定的數(shù)學(xué)模型。提出了一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，并以此對圓柱度測量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小區(qū)域評定，給出了該算法的實現(xiàn)方法。經(jīng)實例驗證，該方法可以在新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)下更快速、準(zhǔn)確地評價圓柱度誤差。
關(guān)鍵詞： 新一代GPS；圓柱度；評定；粒子群優(yōu)化算法；交叉算子

　隨著現(xiàn)代精密和超精密加工技術(shù)以及納米技術(shù)的迅速發(fā)展與應(yīng)用，對機(jī)械產(chǎn)品制造精度的要求不斷提高。傳統(tǒng)的以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的第一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范由于在誤差評定模型、數(shù)據(jù)采集方法等方面存在經(jīng)驗性、隨意性等缺點，已經(jīng)不能完全適應(yīng)現(xiàn)代制造業(yè)對誤差評定既準(zhǔn)且快的要求[1]。近年來，隨著以計量學(xué)為基礎(chǔ)的新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列標(biāo)準(zhǔn)的出現(xiàn)，對形狀誤差的規(guī)范評定提出了新的要求。
　在形狀誤差的幾種要素中，圓柱度誤差作為衡量軸類零件形狀誤差的主要指標(biāo)，其精度的高低對產(chǎn)品的質(zhì)量及其使用壽命有著至關(guān)重要的影響，能否實現(xiàn)圓柱度誤差快速、準(zhǔn)確的評定具有重要的實際意義。因此，本文以圓柱度精度檢測為例，依據(jù)新一代GPS形狀誤差規(guī)范認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，提出一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度測量數(shù)據(jù)的最小區(qū)域評定。該算法借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，通過交叉增加粒子多樣性，充分利用群體粒子的優(yōu)良特性，跳出局部最優(yōu)的同時也加快了收斂速度。
1 基于新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系的圓柱度誤差評定的數(shù)學(xué)模型
　在新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系中，操作是為了規(guī)范幾何產(chǎn)品的誤差評定而提出的概念，是獲得幾何要素的特征值及特征的幾何變動范圍(極限值)的基本數(shù)學(xué)工具。操作分為要素操作和評估操作。其中，要素操作中的擬合操作定義了基于計量數(shù)學(xué)的各種擬合目標(biāo)函數(shù)，且用Lp范數(shù)定義了最小二乘、最小區(qū)域、單邊切比雪夫目標(biāo)函數(shù)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型[1]。Lp范數(shù)的定義為：

　式中，i為非理想要素(即實際被測幾何要素)上特定點的序號；p為函數(shù)的級數(shù)；n為所采用的非理想要素點的個數(shù)；ri為對應(yīng)于從非理想要素到所擬合的理想要素距離的余量。
　最小區(qū)域法目標(biāo)函數(shù)的定義是使余量絕對值中的最大值為最小，令式(1)中的p=∞，即：

　在圓柱度擬合操作中，由于圓柱度誤差是單一實際圓柱所允許的變動全量。因此，按最小區(qū)域法評定的平面度誤差的關(guān)鍵是尋求某一圓柱面，計算被測輪廓上各測量點Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)到此圓柱面軸線的距離，令各距離中的最大最小值之差為最小，則此距離差即為圓柱度誤差值，如圖1所示。

　設(shè)理想圓柱面的軸線方程為：

    在以往的圓柱度評定過程中，一般令c=0，n=1，從而將式(5)中的六個變量簡化為四個變量，以減小計算難度及復(fù)雜度。但這種做法的前提是假設(shè)軸為垂直放置，軸線平行于Z軸，且軸線起點的Z坐標(biāo)位置為零。而在實際情況中，被測圓柱面往往會因加工或定位誤差導(dǎo)致軸線偏差，此時使用簡化后的公式是無法得到精確的評定結(jié)果的。因此，本文針對六個變量的復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)，提出基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行圓柱度誤差評定，以獲得準(zhǔn)確及高精度的評定結(jié)果。
2 基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法
2.1 基本粒子群算法
　粒子群優(yōu)化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群體智能理論的全局優(yōu)化方法，通過群體中粒子間的合作與競爭產(chǎn)生的群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索[2]。研究實踐表明，PSO在多維空間函數(shù)尋優(yōu)、動態(tài)目標(biāo)尋優(yōu)等方面有著收斂速度快、非劣解質(zhì)量高、魯棒性好等優(yōu)點，特別適合于工程應(yīng)用。但同時PSO也存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺點。
　在基本粒子群算法中，每個優(yōu)化問題被看作是搜索空間中的一個沒有體積沒有質(zhì)量的飛行粒子，粒子在每一次迭代中通過跟蹤兩個“極值”來更新自己：一個是粒子自身目前找到的最優(yōu)解，即個體極值pbest；另一個是全局極值gbest，即整個種群目前找到的最優(yōu)解[4]。找到這兩個最優(yōu)解后，粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和新的位置：

　經(jīng)過上述計算，在由父代粒子形成的超立方體中隨機(jī)產(chǎn)生了兩個新的位置，其中在速率的交叉處將兩個父代個體的速率之和的長度進(jìn)行了規(guī)格化。因此，只有粒子的方向受到影響，數(shù)量卻不會改變。該算法流程圖如圖2所示。

3 實例驗證與結(jié)果討論
　本文使用參考文獻(xiàn)[6]給出的兩組圓柱度誤差的測量數(shù)據(jù)按照之前提出的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法進(jìn)行計算分析。根據(jù)圓柱度誤差的特性并參考經(jīng)典PSO參數(shù)集[7]，本文設(shè)置算法的基本參數(shù)如下：
　(1)粒子規(guī)模數(shù)n：一般取20~40，本文取n=40；
　(2)粒子維數(shù)D：由目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的自變量個數(shù)決定，本文取D=6；
　(3)粒子范圍：根據(jù)測點的分布范圍確定；
　(4)最大速度vmax：由于圓柱度的誤差較小，設(shè)vmax=0.02；
　(5)最大迭代次數(shù)：設(shè)為500次；
　(6)終止條件：循環(huán)達(dá)到終止迭代次數(shù)或最優(yōu)適度值連續(xù)迭代50次，計算結(jié)果差值小于0.000 000 1。
　參考文獻(xiàn)[6]分別應(yīng)用最小區(qū)域法(MZM)和最小二乘法(LSM)對這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行了計算；參考文獻(xiàn)[8]和參考文獻(xiàn)[9]則分別應(yīng)用了遺傳算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計算分析。表1和表2為以上幾種算法和本文使用GHPSO算法得到的結(jié)果。圖3和圖4分別為GHPSO算法計算這兩組數(shù)據(jù)時的粒子適應(yīng)度收斂曲線。由這些表和圖中可以看出，本文針對同一組數(shù)據(jù)計算得出的結(jié)果明顯優(yōu)于遺傳算法和基本粒子群算法，收斂過程迅速、穩(wěn)定。
　本文根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系給出了圓柱度誤差的定義及誤差評定的數(shù)學(xué)模型，并將一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度誤差評定，得到了較好的效果。該改進(jìn)粒子群算法原理較簡單，且計算效率高，相比其他幾種算法可以更有效、準(zhǔn)確地評定圓柱度誤差。同時，將圓柱度誤差的目標(biāo)函數(shù)稍加改變，即可方便地應(yīng)用于其他形位誤差的評定。因此，該方法作為一種誤差評定方法，對于規(guī)范形狀誤差的評定過程具有一定的現(xiàn)實意義與參考價值。
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