摘 要: 根據(jù)新一代GPS標準,建立了符合最小區(qū)域條件的圓柱度評定的數(shù)學模型。提出了一種帶交叉算子的改進粒子群優(yōu)化算法,并以此對圓柱度測量數(shù)據(jù)進行最小區(qū)域評定,給出了該算法的實現(xiàn)方法。經實例驗證,該方法可以在新一代GPS標準下更快速、準確地評價圓柱度誤差。
關鍵詞: 新一代GPS;圓柱度;評定;粒子群優(yōu)化算法;交叉算子
隨著現(xiàn)代精密和超精密加工技術以及納米技術的迅速發(fā)展與應用,對機械產品制造精度的要求不斷提高。傳統(tǒng)的以幾何學為基礎的第一代產品幾何技術規(guī)范由于在誤差評定模型、數(shù)據(jù)采集方法等方面存在經驗性、隨意性等缺點,已經不能完全適應現(xiàn)代制造業(yè)對誤差評定既準且快的要求[1]。近年來,隨著以計量學為基礎的新一代產品幾何技術規(guī)范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列標準的出現(xiàn),對形狀誤差的規(guī)范評定提出了新的要求。
在形狀誤差的幾種要素中,圓柱度誤差作為衡量軸類零件形狀誤差的主要指標,其精度的高低對產品的質量及其使用壽命有著至關重要的影響,能否實現(xiàn)圓柱度誤差快速、準確的評定具有重要的實際意義。因此,本文以圓柱度精度檢測為例,依據(jù)新一代GPS形狀誤差規(guī)范認證標準,提出一種帶交叉算子的改進粒子群優(yōu)化算法應用于圓柱度測量數(shù)據(jù)的最小區(qū)域評定。該算法借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作,通過交叉增加粒子多樣性,充分利用群體粒子的優(yōu)良特性,跳出局部最優(yōu)的同時也加快了收斂速度。
1 基于新一代GPS標準體系的圓柱度誤差評定的數(shù)學模型
在新一代GPS標準體系中,操作是為了規(guī)范幾何產品的誤差評定而提出的概念,是獲得幾何要素的特征值及特征的幾何變動范圍(極限值)的基本數(shù)學工具。操作分為要素操作和評估操作。其中,要素操作中的擬合操作定義了基于計量數(shù)學的各種擬合目標函數(shù),且用Lp范數(shù)定義了最小二乘、最小區(qū)域、單邊切比雪夫目標函數(shù)的統(tǒng)一數(shù)學模型[1]。Lp范數(shù)的定義為:
式中,i為非理想要素(即實際被測幾何要素)上特定點的序號;p為函數(shù)的級數(shù);n為所采用的非理想要素點的個數(shù);ri為對應于從非理想要素到所擬合的理想要素距離的余量。
最小區(qū)域法目標函數(shù)的定義是使余量絕對值中的最大值為最小,令式(1)中的p=∞,即:
在圓柱度擬合操作中,由于圓柱度誤差是單一實際圓柱所允許的變動全量。因此,按最小區(qū)域法評定的平面度誤差的關鍵是尋求某一圓柱面,計算被測輪廓上各測量點Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n)到此圓柱面軸線的距離,令各距離中的最大最小值之差為最小,則此距離差即為圓柱度誤差值,如圖1所示。
設理想圓柱面的軸線方程為:
在以往的圓柱度評定過程中,一般令c=0,n=1,從而將式(5)中的六個變量簡化為四個變量,以減小計算難度及復雜度。但這種做法的前提是假設軸為垂直放置,軸線平行于Z軸,且軸線起點的Z坐標位置為零。而在實際情況中,被測圓柱面往往會因加工或定位誤差導致軸線偏差,此時使用簡化后的公式是無法得到精確的評定結果的。因此,本文針對六個變量的復雜目標函數(shù),提出基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法進行圓柱度誤差評定,以獲得準確及高精度的評定結果。
2 基于遺傳交叉算子的改進粒子群算法
2.1 基本粒子群算法
粒子群優(yōu)化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群體智能理論的全局優(yōu)化方法,通過群體中粒子間的合作與競爭產生的群體智能指導優(yōu)化搜索[2]。研究實踐表明,PSO在多維空間函數(shù)尋優(yōu)、動態(tài)目標尋優(yōu)等方面有著收斂速度快、非劣解質量高、魯棒性好等優(yōu)點,特別適合于工程應用。但同時PSO也存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺點。
在基本粒子群算法中,每個優(yōu)化問題被看作是搜索空間中的一個沒有體積沒有質量的飛行粒子,粒子在每一次迭代中通過跟蹤兩個“極值”來更新自己:一個是粒子自身目前找到的最優(yōu)解,即個體極值pbest;另一個是全局極值gbest,即整個種群目前找到的最優(yōu)解[4]。找到這兩個最優(yōu)解后,粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和新的位置:
經過上述計算,在由父代粒子形成的超立方體中隨機產生了兩個新的位置,其中在速率的交叉處將兩個父代個體的速率之和的長度進行了規(guī)格化。因此,只有粒子的方向受到影響,數(shù)量卻不會改變。該算法流程圖如圖2所示。
3 實例驗證與結果討論
本文使用參考文獻[6]給出的兩組圓柱度誤差的測量數(shù)據(jù)按照之前提出的數(shù)學模型和優(yōu)化算法進行計算分析。根據(jù)圓柱度誤差的特性并參考經典PSO參數(shù)集[7],本文設置算法的基本參數(shù)如下:
(1)粒子規(guī)模數(shù)n:一般取20~40,本文取n=40;
(2)粒子維數(shù)D:由目標優(yōu)化函數(shù)的自變量個數(shù)決定,本文取D=6;
(3)粒子范圍:根據(jù)測點的分布范圍確定;
(4)最大速度vmax:由于圓柱度的誤差較小,設vmax=0.02;
(5)最大迭代次數(shù):設為500次;
(6)終止條件:循環(huán)達到終止迭代次數(shù)或最優(yōu)適度值連續(xù)迭代50次,計算結果差值小于0.000 000 1。
參考文獻[6]分別應用最小區(qū)域法(MZM)和最小二乘法(LSM)對這兩組數(shù)據(jù)進行了計算;參考文獻[8]和參考文獻[9]則分別應用了遺傳算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)對這些數(shù)據(jù)進行計算分析。表1和表2為以上幾種算法和本文使用GHPSO算法得到的結果。圖3和圖4分別為GHPSO算法計算這兩組數(shù)據(jù)時的粒子適應度收斂曲線。由這些表和圖中可以看出,本文針對同一組數(shù)據(jù)計算得出的結果明顯優(yōu)于遺傳算法和基本粒子群算法,收斂過程迅速、穩(wěn)定。
本文根據(jù)新一代GPS標準體系給出了圓柱度誤差的定義及誤差評定的數(shù)學模型,并將一種帶交叉算子的改進粒子群優(yōu)化算法應用于圓柱度誤差評定,得到了較好的效果。該改進粒子群算法原理較簡單,且計算效率高,相比其他幾種算法可以更有效、準確地評定圓柱度誤差。同時,將圓柱度誤差的目標函數(shù)稍加改變,即可方便地應用于其他形位誤差的評定。因此,該方法作為一種誤差評定方法,對于規(guī)范形狀誤差的評定過程具有一定的現(xiàn)實意義與參考價值。
參考文獻
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