??? 摘 要：曝氣機攪拌軸在工作過程中，主軸斷裂時有發(fā)生，其可靠性優(yōu)化設計問題十分重要。本文通過對人工神經網絡的學習研究，以攪拌軸重量為目標函數(shù)、以軸的強度和剛度為約束條件，構造了曝氣機攪拌軸優(yōu)化設計數(shù)學模型，優(yōu)化效果顯著。
??? 關鍵詞：人工神經網絡；攪拌軸；優(yōu)化設計

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??? 倒傘曝氣機在環(huán)境保護和農業(yè)生產中得到了廣泛應用。隨著科學技術和生產發(fā)展的需要，具有性能好、動力效率高、能耗低特點的大功率、大直徑倒傘曝氣機開始出現(xiàn)。但是在實際應用中，主軸斷裂問題時有發(fā)生。雖然加大主軸的直徑可以改善這一問題，但會增大成本和功率消耗。本文采用人工神經網絡自學習優(yōu)化特點，以攪拌軸重量為目標函數(shù)、以軸的剛度和強度為約束條件，去構造大功率曝氣機攪拌軸優(yōu)化設計數(shù)學模型，并通過設計實例驗證其模型的可行性和優(yōu)化效果。
1 BP神經網絡模型
??? 目前，在人工神經網絡的實際應用中，絕大部分采用BP網絡和它的變化形式。Kolmogorov定理定義：對于任一映射φE^m→R^m,φ(X)=Y(E為單位閉區(qū)間)，φ可以精確地由三層神經網絡實現(xiàn)，且該神經網絡的第一層有m個神經元，中間層有(2m+1)個神經元，第三層有n個神經元。從理論上已證明了任意一個映射都能通過一個前向三層神經網絡來實現(xiàn)，從而在數(shù)學上保證了三層BP神經網絡的高度非線性映射能力。一個三層BP神經網絡映射關系如下所示^[1]。
??? 具有r個輸入和一個隱含層的BP神經網絡模型結構，其輸入為：
??? p=[p¹, p²,…，p^q]=[p¹，p²，…p_r]^T，
??? pⁱ=[p_1i, p_{2 i},…p_ri]^T，i=(1,2…)q,
??? p_j=[p_j1, p_j2 ,…p_jq]^T，j=(1,2…r)，
??? 通過權值矩陣w1，閾值矩陣B1與神經元s1相連，每個神經元通過一個求和符號，在與輸入矢量p_j(j=1,2…r)進行加權求和運算后，形成神經元作用函數(shù)f1的輸入，并經神經元作用函數(shù)f1，得到輸出A1，A1又作為神經元s2的輸入，通過權值矩陣w2、閾值矩陣B2與神經元s2相連，再經求和、加權運算后作為神經元作用函數(shù)f2的輸入，經神經元作用函數(shù)f2，得到輸出A2,用公式表示為：
???
??? 在BP神經網絡中，神經元作用函數(shù)f(x)一般為(0,1)S型函數(shù)：

???

??? 該函數(shù)是一個連續(xù)可微的函數(shù)，因此，可以嚴格利用梯度法進行推算，其權值修正的解析式十分明確。
2 曝氣機主軸BP神經網絡模型
2.1 建立神經網絡模型
??? 應用神經網絡方法進行多失效模式相關的可靠性優(yōu)化設計，其主要過程如下：
??? ⑴ 根據給定的零部件系統(tǒng)可靠度設計要求，應用簡單界限估計法，初步確定各失效模式可靠度的界限。
??? ⑵ 先不考慮各失效模式之間的相關性，僅以各失效模式的可靠度作為約束條件進行優(yōu)化設計，得到初始設計點。
??? ⑶ 在初始設計點附近的有限鄰域內，對設計變量進行不同水平的組合，應用隨機模擬方法進行可靠性分析。
??? ⑷ 建立神經網絡模型，將可靠性分析獲得的設計變量和可靠度數(shù)據作為神經網絡的訓練樣本。通過網絡訓練，模擬得到設計變量與零部件各失效模式可靠度和系統(tǒng)可靠度之間的顯性函數(shù)表達式。
??? ⑸ 將零部件的系統(tǒng)可靠度作為約束條件(或目標函數(shù))進行優(yōu)化設計，得到最終優(yōu)化設計點。
2.2曝氣機主軸應力分析
??? BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機如圖1所示。主軸是其重要的組成部分。為了保證安全可靠性，按傳統(tǒng)的設計方法往往把主軸直徑設計得較粗，以致功率消耗大、用材多。

???

式中，ζ為軸徑的制造誤差系數(shù)。
??? 由于曝氣機主軸主要承受扭矩作用，通常設計為等直徑空心軸。基本隨機參數(shù)向量為：

???

式中：D為主軸的外徑(設計變量)；d為主軸的內徑(設計變量)；M_n為傳遞扭矩；E為材料的彈性模量；G為材料的剪切彈性模量；S為材料的剪切強度。
??? 軸的截面尺寸D、d為設計變量。對等直徑空心軸，要求重量最小，即要求截面積最小，按均值模型求解，目標函數(shù)定義為：
??? 　
??? 式中，α=d/D；ω_p為抗扭截面模量(mm³) ；σ_wp為考慮制造誤差的抗扭截面模量(MPa)。
??? 根據應力-強度干涉理論，以應力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為:
???
式中，ω為抗彎截面模量(mm³)；σ_ω為考慮制造誤差的抗彎截面模量(MPa)。
??? 應力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為:

???

式中：σ_n為材料的許用彎曲應力；σ為主軸所受的彎曲應力；M 為主軸所受的彎矩(Nm)。
??? (2) 剛度約束
??? 為保證軸的正常工作，設計時還應滿足扭轉剛度的要求，取傳動軸的許用扭轉角θ=2°。根據材料力學理論，傳動軸扭轉剛度對應的狀態(tài)方程為：

???

式中，n_max為軸的最高轉速；K為臨界轉速的安全系數(shù)，其取值范圍為=1.2～2.0。
??? ⑷ 制造工藝條件

??? g5(x)=D-d-2≥0

??? g6(x)=85-D≥0

2.3 優(yōu)化求解模型
??? 根據可靠性分析的簡單界限理論，主軸系統(tǒng)可靠度的區(qū)間估計為^[2]：

???

式中：m為各失效模式數(shù)，m=4；R_i為各失效模式可靠度；R_min為R_i的最小值；R_s為系統(tǒng)可靠度。
??? 在不考慮各失效模式之間的相關性，以各失效模式作為約束的條件下，進行優(yōu)化設計^[3]，其優(yōu)化設計模型為：

???

3 實例計算
??? 受企業(yè)委托，對其主產品BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機攪拌軸進行可靠性優(yōu)化設計。
??? 優(yōu)化設計前原攪拌軸尺寸為：管外徑D=159 mm，管內徑d=100 mm。故選設計初值
??? 允許誤差ε=1×10^-4，得初始設計點如表1所示。

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??? 考慮各失效模式之間的相關性，應用隨機模擬神經網絡方法，以軸的系統(tǒng)可靠度作為約束條件進行可靠性優(yōu)化設計。在初始設計點附近的有限鄰域內，對設計變量進行不同水平的組合(設計變量較少時，可以采用全面試驗方法；設計變量較多時，可以采用正交設計或均勻設計方法以減少樣本數(shù))。本文采用全面試驗方法，[D,d]^T分別在區(qū)間D=[136,140]和[96,100]均勻選取9個數(shù)據，組合得到81個樣本數(shù)據。應用隨機模擬方法進行可靠性分析，選取模擬次數(shù)為5 000次，計算得到對應的可靠度R=[R₁,R₂,R₃,R₄,R₅]^T，對設計變量樣本數(shù)據x進行歸一化處理為：

???

??? 將歸一化處理后的x-R數(shù)據作為神經網絡的訓練樣本。選用2-5-5的三層神經網絡結構，x和R分別作為網絡的輸入和輸出參數(shù)。傳遞函數(shù)均選用對數(shù)Sigmoid函數(shù)各失效模式可靠度R₁、R₂、R₃、R₄和系統(tǒng)的可靠度R_s(記為R₅)為：

???

式中，ω_ji、v_kj為網絡的連接權值； b_1i、b_2k為網絡的連接閾值。
??? 選取學習速率η、動量系數(shù)k_f和訓練誤差△d_ij分別為0.6、0.8、10^-7，進行網絡訓練，獲得訓練后的網絡參數(shù)。訓練后的人工神經網絡給出了設計變量x與可靠度R之間的顯性函數(shù)表達式，以系統(tǒng)可靠度R_s作為約束條件進行優(yōu)化設計。R⁰_s分別取0.99和0.995，優(yōu)化后的最終設計點如表2所示。

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??? 由Matlab仿真的誤差如圖2所示。

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??? 從圖2可以看出：應用人工神經網絡，對BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機攪拌軸進行可靠性優(yōu)化設計，經過很短的訓練時間就可以達到較高的計算精度，且預測值誤差較小。
??? 本文通過對人工神經網絡的學習研究，以攪拌軸重量為目標函數(shù)、分別以軸的強度與剛度臨界轉速以及制造工藝為約束條件，構造了曝氣機攪拌軸優(yōu)化設計數(shù)學模型。運用該數(shù)學模型，通過對BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機攪拌軸可靠性優(yōu)化設計，實例證明，本方法大功率曝氣機攪拌軸尺寸優(yōu)化效果明顯。
參考文獻
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