??? 摘 要：曝氣機(jī)攪拌軸在工作過程中，主軸斷裂時(shí)有發(fā)生，其可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題十分重要。本文通過對人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)研究，以攪拌軸重量為目標(biāo)函數(shù)、以軸的強(qiáng)度和剛度為約束條件，構(gòu)造了曝氣機(jī)攪拌軸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化效果顯著。
??? 關(guān)鍵詞：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；攪拌軸；優(yōu)化設(shè)計(jì)
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??? 倒傘曝氣機(jī)在環(huán)境保護(hù)和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)發(fā)展的需要，具有性能好、動(dòng)力效率高、能耗低特點(diǎn)的大功率、大直徑倒傘曝氣機(jī)開始出現(xiàn)。但是在實(shí)際應(yīng)用中，主軸斷裂問題時(shí)有發(fā)生。雖然加大主軸的直徑可以改善這一問題，但會(huì)增大成本和功率消耗。本文采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)習(xí)優(yōu)化特點(diǎn)，以攪拌軸重量為目標(biāo)函數(shù)、以軸的剛度和強(qiáng)度為約束條件，去構(gòu)造大功率曝氣機(jī)攪拌軸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并通過設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證其模型的可行性和優(yōu)化效果。
1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型
??? 目前，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際應(yīng)用中，絕大部分采用BP網(wǎng)絡(luò)和它的變化形式。Kolmogorov定理定義：對于任一映射φEm→Rm,φ(X)=Y(E為單位閉區(qū)間)，φ可以精確地由三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，且該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一層有m個(gè)神經(jīng)元，中間層有(2m+1)個(gè)神經(jīng)元，第三層有n個(gè)神經(jīng)元。從理論上已證明了任意一個(gè)映射都能通過一個(gè)前向三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)，從而在數(shù)學(xué)上保證了三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高度非線性映射能力。一個(gè)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射關(guān)系如下所示[1]。
??? 具有r個(gè)輸入和一個(gè)隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)，其輸入為：
??? p=[p1, p2,…，pq]=[p1，p2，…pr]T，
??? pi=[p1i, p2 i,…pri]T，i=(1,2…)q,
??? pj=[pj1, pj2 ,…pjq]T，j=(1,2…r)，
??? 通過權(quán)值矩陣w1，閾值矩陣B1與神經(jīng)元s1相連，每個(gè)神經(jīng)元通過一個(gè)求和符號(hào)，在與輸入矢量pj(j=1,2…r)進(jìn)行加權(quán)求和運(yùn)算后，形成神經(jīng)元作用函數(shù)f1的輸入，并經(jīng)神經(jīng)元作用函數(shù)f1，得到輸出A1，A1又作為神經(jīng)元s2的輸入，通過權(quán)值矩陣w2、閾值矩陣B2與神經(jīng)元s2相連，再經(jīng)求和、加權(quán)運(yùn)算后作為神經(jīng)元作用函數(shù)f2的輸入，經(jīng)神經(jīng)元作用函數(shù)f2，得到輸出A2,用公式表示為：
??? 
??? 在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，神經(jīng)元作用函數(shù)f(x)一般為(0,1)S型函數(shù)：
??? 
??? 該函數(shù)是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，因此，可以嚴(yán)格利用梯度法進(jìn)行推算，其權(quán)值修正的解析式十分明確。
2 曝氣機(jī)主軸BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型
2.1 建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型
??? 應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行多失效模式相關(guān)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，其主要過程如下：
??? ⑴ 根據(jù)給定的零部件系統(tǒng)可靠度設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用簡單界限估計(jì)法，初步確定各失效模式可靠度的界限。
??? ⑵ 先不考慮各失效模式之間的相關(guān)性，僅以各失效模式的可靠度作為約束條件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到初始設(shè)計(jì)點(diǎn)。
??? ⑶ 在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的有限鄰域內(nèi)，對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行不同水平的組合，應(yīng)用隨機(jī)模擬方法進(jìn)行可靠性分析。
??? ⑷ 建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將可靠性分析獲得的設(shè)計(jì)變量和可靠度數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本。通過網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，模擬得到設(shè)計(jì)變量與零部件各失效模式可靠度和系統(tǒng)可靠度之間的顯性函數(shù)表達(dá)式。
??? ⑸ 將零部件的系統(tǒng)可靠度作為約束條件(或目標(biāo)函數(shù))進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到最終優(yōu)化設(shè)計(jì)點(diǎn)。
2.2曝氣機(jī)主軸應(yīng)力分析
??? BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機(jī)如圖1所示。主軸是其重要的組成部分。為了保證安全可靠性，按傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法往往把主軸直徑設(shè)計(jì)得較粗，以致功率消耗大、用材多。
??? 曝氣機(jī)在正常工作的情況下，主軸一方面受到減速器扭矩Mn的作用，另一方面葉輪在旋轉(zhuǎn)時(shí)，也會(huì)受到水的沖擊力，即彎矩作用。沖擊力的大小跟葉輪直徑大小有關(guān)系，且彎矩是不斷變化的，它的大小經(jīng)過長期的實(shí)驗(yàn)證明符合正態(tài)分布，這樣就可以利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。
??? 在計(jì)算軸的可靠性時(shí)必須考慮軸在制造過程中產(chǎn)生的誤差△d,軸的標(biāo)準(zhǔn)差為σd：
??? 
式中，ζ為軸徑的制造誤差系數(shù)。
??? 由于曝氣機(jī)主軸主要承受扭矩作用，通常設(shè)計(jì)為等直徑空心軸?；倦S機(jī)參數(shù)向量為：
??? 
式中：D為主軸的外徑(設(shè)計(jì)變量)；d為主軸的內(nèi)徑(設(shè)計(jì)變量)；Mn為傳遞扭矩；E為材料的彈性模量；G為材料的剪切彈性模量；S為材料的剪切強(qiáng)度。
??? 軸的截面尺寸D、d為設(shè)計(jì)變量。對等直徑空心軸，要求重量最小，即要求截面積最小，按均值模型求解，目標(biāo)函數(shù)定義為：
??? 
??? 式中，α=d/D；ωp為抗扭截面模量(mm3) ；σwp為考慮制造誤差的抗扭截面模量(MPa)。
??? 根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，以應(yīng)力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為:
???
式中，ω為抗彎截面模量(mm3)；σω為考慮制造誤差的抗彎截面模量(MPa)。
??? 應(yīng)力極限狀態(tài)表示的狀態(tài)方程為:
??? 
式中：σn為材料的許用彎曲應(yīng)力；σ為主軸所受的彎曲應(yīng)力；M 為主軸所受的彎矩(Nm)。
??? (2) 剛度約束
??? 為保證軸的正常工作，設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)滿足扭轉(zhuǎn)剛度的要求，取傳動(dòng)軸的許用扭轉(zhuǎn)角θ=2°。根據(jù)材料力學(xué)理論，傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度對應(yīng)的狀態(tài)方程為：
??? 
式中，nmax為軸的最高轉(zhuǎn)速；K為臨界轉(zhuǎn)速的安全系數(shù)，其取值范圍為=1.2～2.0。
??? ⑷ 制造工藝條件
??? g5(x)=D-d-2≥0
??? g6(x)=85-D≥0
2.3 優(yōu)化求解模型
??? 根據(jù)可靠性分析的簡單界限理論，主軸系統(tǒng)可靠度的區(qū)間估計(jì)為[2]：
??? 
式中：m為各失效模式數(shù)，m=4；Ri為各失效模式可靠度；Rmin為Ri的最小值；Rs為系統(tǒng)可靠度。
??? 在不考慮各失效模式之間的相關(guān)性，以各失效模式作為約束的條件下，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]，其優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為：
??? 
3 實(shí)例計(jì)算
??? 受企業(yè)委托，對其主產(chǎn)品BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機(jī)攪拌軸進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。
??? 優(yōu)化設(shè)計(jì)前原攪拌軸尺寸為：管外徑D=159 mm，管內(nèi)徑d=100 mm。故選設(shè)計(jì)初值
??? 允許誤差ε=1×10-4，得初始設(shè)計(jì)點(diǎn)如表1所示。
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??? 考慮各失效模式之間的相關(guān)性，應(yīng)用隨機(jī)模擬神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，以軸的系統(tǒng)可靠度作為約束條件進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的有限鄰域內(nèi)，對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行不同水平的組合(設(shè)計(jì)變量較少時(shí)，可以采用全面試驗(yàn)方法；設(shè)計(jì)變量較多時(shí)，可以采用正交設(shè)計(jì)或均勻設(shè)計(jì)方法以減少樣本數(shù))。本文采用全面試驗(yàn)方法，[D,d]T分別在區(qū)間D=[136,140]和[96,100]均勻選取9個(gè)數(shù)據(jù)，組合得到81個(gè)樣本數(shù)據(jù)。應(yīng)用隨機(jī)模擬方法進(jìn)行可靠性分析，選取模擬次數(shù)為5 000次，計(jì)算得到對應(yīng)的可靠度R=[R1,R2,R3,R4,R5]T，對設(shè)計(jì)變量樣本數(shù)據(jù)x進(jìn)行歸一化處理為：
??? 
??? 將歸一化處理后的x-R數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本。選用2-5-5的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，x和R分別作為網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出參數(shù)。傳遞函數(shù)均選用對數(shù)Sigmoid函數(shù)
各失效模式可靠度R1、R2、R3、R4和系統(tǒng)的可靠度Rs(記為R5)為：
??? 
式中，ωji、vkj為網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值； b1i、b2k為網(wǎng)絡(luò)的連接閾值。
??? 選取學(xué)習(xí)速率η、動(dòng)量系數(shù)kf和訓(xùn)練誤差△dij分別為0.6、0.8、10-7，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，獲得訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。訓(xùn)練后的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)給出了設(shè)計(jì)變量x與可靠度R之間的顯性函數(shù)表達(dá)式，以系統(tǒng)可靠度Rs作為約束條件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。R0s分別取0.99和0.995，優(yōu)化后的最終設(shè)計(jì)點(diǎn)如表2所示。
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??? 由Matlab仿真的誤差如圖2所示。
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??? 從圖2可以看出：應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機(jī)攪拌軸進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，經(jīng)過很短的訓(xùn)練時(shí)間就可以達(dá)到較高的計(jì)算精度，且預(yù)測值誤差較小。
??? 本文通過對人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)研究，以攪拌軸重量為目標(biāo)函數(shù)、分別以軸的強(qiáng)度與剛度臨界轉(zhuǎn)速以及制造工藝為約束條件，構(gòu)造了曝氣機(jī)攪拌軸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用該數(shù)學(xué)模型，通過對BDY-4000型倒傘型葉輪表面曝氣機(jī)攪拌軸可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)例證明，本方法大功率曝氣機(jī)攪拌軸尺寸優(yōu)化效果明顯。
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