??? 摘 要：針對考慮最小交易量、交易費(fèi)用，以及單項(xiàng)目最大投資上限約束的多目標(biāo)投資組合模型，對目標(biāo)函數(shù)添加懲罰函數(shù)項(xiàng)來處理約束條件的方法。本文通過對交叉算子、變異算子的改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種遺傳算法進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)算例表明，該算法是有效的。
??? 關(guān)鍵詞：投資組合；多目標(biāo)；遺傳算法；異常變異

?

??? 風(fēng)險(xiǎn)投資具有高風(fēng)險(xiǎn)、高收益、高增長潛力和高技術(shù)的特點(diǎn),如何增加風(fēng)險(xiǎn)投資的收益潛力,降低風(fēng)險(xiǎn),是極其重要的。
??? 在金融市場眾多可供投資的風(fēng)險(xiǎn)或無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中(股票、債券、投資基金、權(quán)益產(chǎn)品、銀行存款等), 選擇適當(dāng)數(shù)量的資產(chǎn), 進(jìn)行合理的組合投資, 可以減小投資的風(fēng)險(xiǎn), 確保投資的收益。Markowitz^[1]于1952年提出的均值-方差組合模型是在禁止融資和沒有無風(fēng)險(xiǎn)借貸的假設(shè)下,以個(gè)別股票收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(Efficient Frontier),即一定收益率水平下方差最小的投資組合。這是一個(gè)二次規(guī)劃問題，利用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法容易求解。
??? 最小交易量和交易費(fèi)用是投資組合中的重要因素，最小交易量是單筆交易中最小的交易數(shù)量，我國上海和深圳交易所的股票交易中，最小交易量為100股，近來投資組合優(yōu)化問題的研究中有些考慮了最小交易量^[2-3]。? 交易費(fèi)用是指交易中所要支付的費(fèi)用。沒有交易費(fèi)的證券組合投資將導(dǎo)致證券市場的無序。我國為了規(guī)范證券市場，在交易中要征收個(gè)人所得稅、印花稅等費(fèi)用。參考文獻(xiàn)[4]、[5]也有考慮。參考文獻(xiàn)[6]中同時(shí)考慮了最小交易量和交易費(fèi)用，建立了一個(gè)改進(jìn)的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型。該模型是一個(gè)帶有很強(qiáng)約束的混合整數(shù)二次規(guī)劃模型。針對這一模型，本文通過對目標(biāo)函數(shù)加入懲罰項(xiàng)的方法，使得約束條件降弱，對轉(zhuǎn)化后的模型，運(yùn)用一種改進(jìn)的整數(shù)編碼的遺傳算法進(jìn)行求解，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該算法是有效的。
1? 考慮最小交易量和交易費(fèi)用的投資組合模型
1.1 傳統(tǒng)的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型
??? 設(shè)有N種不同的投資項(xiàng)目，x_i,i=1,2…,N表示投資各個(gè)項(xiàng)目所占總投資金額的比重，μ_i表示投資項(xiàng)目i的期望收益率，分別表示投資項(xiàng)目i收益率的方差及與投資項(xiàng)目j收益率的協(xié)方差的無偏估計(jì)：
??? 　　?????????????
??? 則投資組合的期望收益可表示為
??? 投資組合的風(fēng)險(xiǎn)表示為：
???

??? 對投資者來說，總是希望投資的期望收益盡可能的大，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)又盡可能的小，因此就得到了目標(biāo)函數(shù)，即：
???
??? 令表示投資者對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡指數(shù)，則(1)式可轉(zhuǎn)化為：
??? 　　　　　　　????
??? 當(dāng)λ=0表示投資者更關(guān)注收益，是收益最大化，并沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)λ=1，表示投資者更關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)，而不考慮收益。再加上對投資總額的限制，可以得到傳統(tǒng)的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型：
???
1.2 改進(jìn)的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型^[6]
??? 假設(shè)投資總金額為C，可允許的最小值和最大值為C₀和C₁，假設(shè)最小交易量為NB個(gè)基本單位，投資i的單位價(jià)格為P_i，則投資i的最小投資金額為c_i=NB×p_i。設(shè)一種投資組合k=(k₁,k₂,…,k_N)，則投資的總金額。設(shè)交易費(fèi)用為g(C)，則投資組合的期望收益率為：
???
??? 設(shè)μ_i為投資i允許的最大投資金額，則可得到改進(jìn)的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型：
???
這是一個(gè)混合整數(shù)的二次規(guī)劃問題，是NP完全問題，用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難求解。根據(jù)優(yōu)化方法，在目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰項(xiàng)來處理約束，如式(6)，設(shè)M是一個(gè)大自然數(shù)，則模型轉(zhuǎn)化為：

??? 當(dāng)投資組合不滿足式(6)時(shí)，式(8)的目標(biāo)函數(shù)值將會(huì)很大，而投資組合就受到懲罰，從而達(dá)到與約束式(6)相同的約束作用。
2? 整數(shù)編碼的遺傳算法
2.1遺傳算法的改進(jìn)策略
2.1.1編碼策略
??? 傳統(tǒng)的遺傳算法是二進(jìn)制編碼，采用整數(shù)編碼的策略，每個(gè)染色體對應(yīng)一種投資組合，直接用整數(shù)向量k=(k₁,k₂,…k_N)表示，每個(gè)k_i的取值在之間，其中為下取整運(yùn)算。這樣得到的編碼可滿足式(7)。
2.1.2 交叉策略
??? 本算法采用單個(gè)染色體，單點(diǎn)交叉的策略，即任意兩個(gè)染色體的任意位的等位基因相互交叉。
2.1.3 變異策略
??? 本算法采用群體變異策略，即所有染色體，每個(gè)基因位都等概率地發(fā)生變異，變異算子如下：
???
??? 其中β為變異步長，取正整數(shù)。
2.1.4 異常變異策略
??? 為了防止算法早熟，采用了異常變異策略，當(dāng)交叉和變異進(jìn)行了D代之后，或者種群的適應(yīng)度聚度超過某一閾值α之后，整個(gè)群體發(fā)生無方向變異(最簡單的方法是重新初始化種群)，受參考文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，適應(yīng)度聚度如下：

???
表示交叉和變異t代時(shí)染色體i的適應(yīng)度(文中取為適應(yīng)值)。
2.2遺傳算法步驟
??? (1)參數(shù)設(shè)定：設(shè)定種群規(guī)模為N，進(jìn)化代數(shù)為H，異常變異發(fā)生代數(shù)為D，異常變異的適應(yīng)度聚度閾值為α。
??? (2)初始化種群：根據(jù)編碼策略初始化種群，記錄最優(yōu)值。
??? (3)交叉和變異：按照法則進(jìn)行交叉和變異，更新最優(yōu)值。
??? (4)異常變異：若交叉和變異代數(shù)等于D，或者適應(yīng)度聚度滿足S≥α，則轉(zhuǎn)到(2)。
??? (5)終止檢驗(yàn)：若滿足進(jìn)化終止準(zhǔn)則，終止計(jì)算，輸出最優(yōu)值。
3? 仿真算例
??? 考慮如下的投資組合問題：有6種股票，表1給出了6種股票8個(gè)時(shí)間段的收益率，表2給出了6種股票的協(xié)方差，表3給出了6種股票的價(jià)格。

??? 由表4可以看出：
??? (1)該算法求解上述模型得到了很好的結(jié)果，計(jì)算時(shí)間不超過1min；
??? (2)對于取不同閾值得到的平均適應(yīng)值與最優(yōu)適應(yīng)值的相對誤差在10^-2之內(nèi)，說明算法是穩(wěn)定的。
??? (3)當(dāng)閾值取0.85左右時(shí)，效果更好。
??? (4)平均計(jì)算時(shí)間隨閾值的增加而增加。
??? 本文針對考慮最小交易量、交易費(fèi)用以及投資項(xiàng)目的最大上限約束的多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型，通過在目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰項(xiàng)來處理投資總金額的約束，將模型的約束條件弱化，并提出了一種整數(shù)編碼的遺傳算法，該算法求解多目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型是可行的、有效的。
參考文獻(xiàn)
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[2]?Kellerer H, Mansini? R, Speranza M G. On selecting a portfolio with fixed costs ang minimum lots[J].Annals of Oprations Research,2000,99(3):287-304.
[3]?Fernandez? A,? Gomez? S. Portfolio selection using neural networks. Computer & Operations Research.2007;(34):1177-1191.
[4]?Chang? T? J, Meade N, Beasley J, et al. Heuristics for cardinality constrained portfolio optimization.Computer & Operations Research, 2000(27):1271-1302.
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[7]?Duan Yu Hong，GAO Yue Lin， LI Ji Min. A new adaptive particle swarm optimization algorithm with dynamically changing inertia weight. Intelligent Information Management Systems and Technologies, 2006, 2(2): 245-255.