高斯白噪聲的功率密度

　　高斯白噪聲是指噪聲的概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)特性，同時(shí)它的功率譜密度函數(shù)是常數(shù)的一類噪聲。這里值得注意的是，高斯型白噪聲同時(shí)涉及到噪聲的兩個(gè)不同方面，即概率密度函數(shù)的正態(tài)分布性和功率譜密度函數(shù)均勻性，二者缺一不可。

　　在通信系統(tǒng)的理論分析中，特別是在分析、計(jì)算系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)，經(jīng)常假定系統(tǒng)中信道噪聲為高斯型白噪聲。一是因?yàn)楦咚剐桶自肼暱捎镁唧w的數(shù)學(xué)表達(dá)式表述，便于推導(dǎo)分析和運(yùn)算;二是高斯型白噪聲確實(shí)反映了實(shí)際信道中的加性噪聲情況，比較真實(shí)地代表了信道噪聲的特性。

　　高斯噪聲的一維概率密度函數(shù)可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：

　　其中：

　　μ：數(shù)學(xué)期望，表示噪聲分布中心，即均值

　　σ2：方差

　　σ：標(biāo)準(zhǔn)偏差

　　δ：隨機(jī)誤差(δ=χ-μ)

　　通常，通信信道中噪聲的均值μ=0(高斯白噪聲)。由此，我們可得到一個(gè)重要的結(jié)論：在噪聲均值為零時(shí)，噪聲的平均功率等于噪聲的方差σ2。

　　高斯白噪聲的峰均比

　　如果對(duì)高斯白噪聲進(jìn)行足夠時(shí)間的測(cè)試和統(tǒng)計(jì)，峰均比K約為10dB(99.8%概率)或最大12dB(99.99%概率)，如表1所示。

　　表1 在足夠長(zhǎng)時(shí)間條件下高斯白噪聲的峰均比

　　圖1 p(ρ)和p(?)的波形

　　窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)分布

　　一個(gè)均值為零，方差為σ2的窄帶高斯噪聲，假定它是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則其隨機(jī)包絡(luò)服從瑞利分布，相位?服從均勻分布。頻譜儀中頻帶寬內(nèi)的噪聲和大多數(shù)通信系統(tǒng)噪聲滿足此條件，如圖1所示。即：

 頻譜儀功率測(cè)試原理

　　根據(jù)現(xiàn)代超外差式頻譜分析儀原理(見圖2)，進(jìn)入頻譜儀的射頻信號(hào)經(jīng)過混頻器變?yōu)橹蓄l，中頻濾波器對(duì)此信號(hào)的帶寬進(jìn)行限制(RBW)，再經(jīng)電壓包絡(luò)進(jìn)行檢波，然后經(jīng)視頻濾波器，最后通過數(shù)字檢波器的計(jì)算得到測(cè)試頻譜。

　　圖2 現(xiàn)代超外差式頻譜分析儀原理框圖

　　可以明確：對(duì)于正弦連續(xù)波的功率測(cè)試，只要信噪比足夠高，頻譜儀的測(cè)試設(shè)置相對(duì)簡(jiǎn)單，本文不做過多敘述。本文主要針對(duì)模擬和數(shù)字調(diào)制信號(hào)以及噪聲信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確功率測(cè)試的原理分析及儀器設(shè)置，并對(duì)其帶來的誤差項(xiàng)進(jìn)行評(píng)估。

　　檢波器的作用及類型

　　現(xiàn)代頻譜儀的檢波器通常是數(shù)字的，是一些加權(quán)算法，是對(duì)視頻信號(hào)的處理和計(jì)算。對(duì)應(yīng)頻譜上每一個(gè)顯示像素點(diǎn)，都有N個(gè)采樣值，如圖3所示。

　　圖3 中頻信號(hào)經(jīng)包絡(luò)檢波器和視頻濾波器輸出視頻信號(hào)及其采樣

　　檢波器有多種，包括自動(dòng)峰值檢波器、最大(小)峰值檢波器、平均值檢波、均方根檢波器(RMS)等。

　　RMS檢波器中計(jì)算對(duì)應(yīng)于每個(gè)像素點(diǎn)的所有采樣值的均方根。結(jié)果為像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻寬內(nèi)的信號(hào)功率。在RMS計(jì)算時(shí)，包絡(luò)的采樣值要求采用線性刻度，且：

　　檢波器和平均功率

　　現(xiàn)代頻譜儀的檢波器包括兩部分：包絡(luò)檢波器獲得正弦波的均方根值(峰值電壓的0.707倍);數(shù)字檢波器為取值加權(quán)算法。頻譜儀內(nèi)的檢波器是電壓檢波器，頻譜儀顯示功率測(cè)試值的方法是：Pi=Vi2/R，頻譜儀通常是50歐姆阻抗，因此：

　　其中pi是頻譜功率顯示點(diǎn)，Vi是電壓采樣點(diǎn)，R是頻譜儀阻抗。

　　根據(jù)以上推論，要通過頻譜儀獲得平均功率，必須選擇真正的RMS檢波器。

　　為什么要平均

　　對(duì)于噪聲和類噪聲信號(hào)的頻譜，需要對(duì)蹤跡進(jìn)行平滑以獲得穩(wěn)定的讀數(shù)，也就是頻譜儀對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行平均。平均的結(jié)果是對(duì)噪聲和類噪聲信號(hào)進(jìn)行平滑，即去除頻譜“毛刺”，對(duì)于單頻點(diǎn)連續(xù)波信號(hào)的測(cè)試值來說，結(jié)果沒有改變。

　　由于頻譜儀進(jìn)行功率測(cè)試時(shí)，功率值是通過電壓采樣和檢波值計(jì)算而得，因此，測(cè)試人員必須清楚由于平均對(duì)測(cè)試值帶來的影響，否則就會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)論。

　　根據(jù)概率論，帶內(nèi)高斯噪聲分布為瑞利分布。對(duì)于瑞利分布的噪聲，當(dāng)采樣足夠多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差(σ)與平均誤差(算術(shù)平均值)(

)之間具有如下關(guān)系：

　　對(duì)于頻譜儀來說，中頻信號(hào)經(jīng)包絡(luò)檢波器后獲得電壓有效值(RMS)，因此平均誤差(

)幅度包絡(luò)要除以，因此，在頻譜儀測(cè)試過程中，

　　所以，在頻譜儀測(cè)試時(shí)，電壓包絡(luò)線性平均值對(duì)應(yīng)的功率值(

2)比真正的平均功率(RMS檢波所對(duì)應(yīng)的s2)小1.05dB。

 對(duì)數(shù)平均與線性平均的關(guān)系

　　根據(jù)窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)分布，帶內(nèi)高斯噪聲分布為瑞利分布。

　　式中，ρ為噪聲隨機(jī)包絡(luò)，?為噪聲的隨機(jī)相位。

　　電壓采樣值線性平均后取對(duì)數(shù)：

　　電壓采樣值對(duì)數(shù)值平均(幾何平均)：

　　可見，對(duì)于窄帶高斯白噪聲，對(duì)數(shù)平均比線性平均低1.45dB。即頻譜儀測(cè)試時(shí)，采用對(duì)數(shù)平均(對(duì)數(shù)放大器打開)，對(duì)于電壓測(cè)試值來說，幅度包絡(luò)進(jìn)行對(duì)數(shù)加權(quán)運(yùn)算，對(duì)大信號(hào)放大的增益小，對(duì)小信號(hào)放大的增益大。在對(duì)數(shù)平均的情況下，要比線性平均小1.45dB，比真實(shí)平均功率小2.5dB。

　　頻譜儀實(shí)現(xiàn)平均的方式

　　頻譜儀實(shí)現(xiàn)平均的主要方式有四種：減小視頻濾波器(VBW)使其小于中頻帶寬(RBW);平均值檢波器(AV) ;RMS檢波器;多次測(cè)量結(jié)果進(jìn)行算術(shù)平均來作蹤跡平滑。

　　視頻濾波器是置于電壓包絡(luò)檢波器之后，數(shù)字加權(quán)檢波器之前的數(shù)字低通濾波器。視頻濾波器對(duì)電壓包絡(luò)采樣值在頻域進(jìn)行低通濾波，相當(dāng)于時(shí)域采樣值的平均。

　　AV檢波器是對(duì)視頻信號(hào)進(jìn)行算術(shù)平均，獲得電壓平均值;RMS檢波器是對(duì)視頻信號(hào)進(jìn)行均方根運(yùn)算，能夠獲得功率平均值。

　　由取樣檢波器得到的平均噪聲電平，當(dāng)使用對(duì)數(shù)電平顯示時(shí)，其平均值低1.45dB。當(dāng)使用線性電平顯示且大的視頻帶寬時(shí)(如VBW≥10RBW)，可和AV檢波器一樣得到真實(shí)的平均結(jié)果。

　　對(duì)于自動(dòng)峰值檢波器，不建議使用多蹤跡平均。若打開平均功能，通常會(huì)自動(dòng)切換到取樣檢波。

　　使用RMS檢波器進(jìn)行平均功率測(cè)試時(shí)，不允許過程中插入電壓平均功能。因此，通常此時(shí)不允許進(jìn)行蹤跡平均，同理也不允許通過VBW進(jìn)行平均，一般設(shè)VBW≥3RBW。根據(jù)平均功率和對(duì)數(shù)平均與線性平均值的關(guān)系，如果在使用RMS檢波器時(shí)加入了上述平均設(shè)置，會(huì)使測(cè)試結(jié)果比實(shí)際值小2.5dB (其中包括線性平均的1.05dB和對(duì)數(shù)平均的1.45dB) 。

　　頻譜儀常用功率測(cè)試方法及信號(hào)處理算法

　　在頻譜儀的應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)，不管是通信信號(hào)的測(cè)試還是其它調(diào)制信號(hào)的測(cè)試，如廣播、電視以及軍用信號(hào)，通常在信號(hào)帶寬內(nèi)對(duì)整個(gè)信號(hào)平均功率的測(cè)試是十分重要的。以下將對(duì)兩種主要的測(cè)試方法進(jìn)行分析，以避免頻譜儀使用過程中的錯(cuò)誤設(shè)置。信道功率

　　信道功率測(cè)試功能通過對(duì)信道帶寬內(nèi)的功率密度積分來進(jìn)行信道功率的測(cè)量，獲得信道帶寬內(nèi)的平均功率。

　　其中，PCH為信道功率，PD為功率密度，CHBW為信道帶寬。

　　在應(yīng)用中，上述算法會(huì)在選擇的信道帶寬內(nèi)對(duì)像素點(diǎn)的線性值(Pi)求和后除以像素點(diǎn)數(shù)，再除以中頻濾波器噪聲帶寬，乘以信道帶寬，最后取對(duì)數(shù)。

　　其中：

　　BCH為信道帶寬，單位為Hz;

　　BN,IF中頻濾波器的噪聲帶寬，單位為Hz。

　　分辨率帶寬(RBW)相對(duì)于要進(jìn)行精確測(cè)量的信道帶寬要很小。通常設(shè)為1%~3%的信道帶寬。

　　信道功率測(cè)量一般采用RMS檢波器，因?yàn)樗玫降慕Y(jié)果可以進(jìn)行功率計(jì)算獲得真正的信道內(nèi)平均功率。有時(shí)可用采樣檢波器，但是測(cè)試結(jié)果存在偏差。由于對(duì)噪聲或類似噪聲的信號(hào)不能找出峰值或均值檢波出的視頻電壓與輸入信號(hào)功率的關(guān)系，因此不應(yīng)采用峰值檢波和均值檢波。有些通信測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)尤其是時(shí)分信號(hào)采用峰值檢波檢測(cè)瞬態(tài)功率，而不是平均功率。

　　當(dāng)使用采樣檢波器時(shí)，如果顯示的頻譜范圍相對(duì)于分辨率帶寬很大，離散的信號(hào)分量(正弦波信號(hào))可能由于頻譜儀有限的屏幕像素點(diǎn)而被漏掉顯示，因此信道或鄰道功率的測(cè)量就不正確。因?yàn)閿?shù)字調(diào)制信號(hào)是類噪聲信號(hào)，取樣檢波得到蹤跡就會(huì)類似噪聲，不穩(wěn)定。為了得到穩(wěn)定的結(jié)果，需要采用蹤跡平均，但平均后的信號(hào)測(cè)試結(jié)果會(huì)偏離真實(shí)值。

　　當(dāng)選擇使用RMS檢波器時(shí)，每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功率是從多個(gè)電壓測(cè)量值中得到的均方根結(jié)果，V2RMS對(duì)應(yīng)的功率P是真正的平均功率。

　　通過增大掃描時(shí)間，每一像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)更多的電壓采樣值Vi，達(dá)到蹤跡平滑的目的。因此，測(cè)量信道功率時(shí)選擇RMS檢波器優(yōu)于取樣檢波器。

　　當(dāng)使用RMS檢波器或取樣檢波器時(shí)，通常此時(shí)不允許進(jìn)行蹤跡平均，同理也不允許通過VBW進(jìn)行平均，一般設(shè)VBW≥3RBW。

　　當(dāng)被測(cè)信號(hào)為脈沖和時(shí)分通信信號(hào)時(shí)，可加入時(shí)間門控功能，進(jìn)行時(shí)隙內(nèi)平均功率測(cè)試。

　　時(shí)域功率

　　根據(jù)頻譜儀測(cè)試原理，如果選擇的中頻帶寬RBW大于信號(hào)帶寬，且VBW>RBW，設(shè)頻譜儀掃描寬度SPAN=0，此時(shí)頻譜儀的本振停止掃描，在中頻帶寬內(nèi)進(jìn)行單一頻點(diǎn)的時(shí)域測(cè)量，顯示橫軸為時(shí)間、縱軸為幅度(功率)，顯示的蹤跡對(duì)應(yīng)檢波以后的電壓采樣值。本功能對(duì)于脈沖信號(hào)和時(shí)分通信信號(hào)的功率測(cè)試十分有用。

　　在頻譜儀內(nèi)部集成了一些算法，可以在設(shè)定的時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行功率計(jì)算。要獲得準(zhǔn)確的功率測(cè)量結(jié)果，必須合理設(shè)置加權(quán)檢波器和功率算法。通常采用的是采樣值檢波器。

　　采樣值檢波器蹤跡顯示的是電壓包絡(luò)采樣值Vi。根據(jù)檢波器和平均功率的關(guān)系，如果要得到平均功率，需要選擇算法“RMS”;如果要得到峰值包絡(luò)功率，選擇“PEAK”;如果選擇“MEAN”，則對(duì)應(yīng)平均電壓，沒有與其對(duì)應(yīng)的功率值。

　　深入了解頻譜儀時(shí)域測(cè)試原理后，有時(shí)也可采用RMS檢波方式。此時(shí)采用PEAK功率算法，獲得設(shè)定時(shí)間段內(nèi)的最大平均功率;選擇“MEAN”獲得設(shè)定時(shí)間段內(nèi)的平均功率。這種方法有時(shí)會(huì)在時(shí)分通信信號(hào)測(cè)試中，對(duì)不同時(shí)隙功率進(jìn)行測(cè)試時(shí)采用。

　　功率測(cè)試時(shí)頻譜儀設(shè)置規(guī)則總結(jié)

　　綜合文中所述，可以歸納出幾點(diǎn)在功率測(cè)試中應(yīng)注意的事項(xiàng)，有助于正確利用頻譜儀，并得出較為準(zhǔn)確的測(cè)試結(jié)果。

　　r頻譜儀RMS檢波對(duì)應(yīng)平均功率

　　r高斯白噪聲的峰均比為10dB~12dB

　　rRMS檢波時(shí)，不允許進(jìn)行蹤跡平均，同時(shí)VBW≥3RBW

　　r需要平滑蹤跡時(shí)，注意對(duì)數(shù)平均的結(jié)果小于線性平均(如1.45dB)

　　r信道功率測(cè)量

　　• 一般采用RMS檢波

　　• 不允許進(jìn)行蹤跡平均

　　• VBW≥3RBW

　　• 否則測(cè)試值會(huì)比實(shí)際值小(最大2.51dB)

　　r時(shí)域功率測(cè)量

　　•用來測(cè)試脈沖和時(shí)分通信信號(hào)功率

　　•通常采用采樣值檢波

　　•VBW>RBW且RBW>信號(hào)帶寬