0 引言
    倒立擺是日常生活中許多重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題的抽象模型，本身是一種自然不穩(wěn)定體，它在控制過程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問題，如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問題。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿盡快地達(dá)到預(yù)期的平衡位置，而且還要使它們不會(huì)有太強(qiáng)的振蕩幅度、速度以及角速度，當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)達(dá)到期望位置后，系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動(dòng)而保持平衡。作為一種控制裝置，它具有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于模擬實(shí)現(xiàn)多種不同控制方法的特點(diǎn)，作為一個(gè)被控對(duì)象它是一個(gè)高階次、非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)，只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了，因此對(duì)倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
    對(duì)于倒立擺系統(tǒng)來說，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成，如圖1所示。其中，小車的質(zhì)量M=1．32 kg，擺桿質(zhì)量m=0．07 kg，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)軸心距離l=0．2 m，擺桿與垂直向下方向的夾角為θ，小車滑動(dòng)摩擦系數(shù)，fc=0．1。

    倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法一般有利用牛頓力學(xué)的分析方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。
    一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應(yīng)為：
   
    式中：L是拉格朗日算子；V是系統(tǒng)動(dòng)能；G是系統(tǒng)勢(shì)能。
   
    式中：D是系統(tǒng)耗散能；fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力。
    一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的總動(dòng)能為：
 
     一級(jí)倒立擺系統(tǒng)有4個(gè)狀態(tài)變量，分別是，根據(jù)式(7)寫出系統(tǒng)狀態(tài)方程，并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：
   

2 倒立擺性能分析
    系統(tǒng)的能控性是控制器設(shè)計(jì)的前提，所以在設(shè)計(jì)前對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性分析，根據(jù)能控性矩陣T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系統(tǒng)是完全可控的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 LQR控制器的設(shè)計(jì)
3．1 LQR控制器原理
    線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對(duì)象是線性系統(tǒng)，這個(gè)線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式，即：，Y=Cx+Du。通過確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K，使性能指標(biāo)的值極小。其中，加權(quán)矩陣Q和R是用來平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)重；P是Riccati方程的解。這時(shí)求解Riccati代數(shù)方程：
   
    就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值：
   
    LQR用于單級(jí)擺的原理圖如圖2所示。

3．2 加權(quán)矩陣Q和R的選擇
    在選取Q和R時(shí)，主要從以下幾方面考慮：
    (1)Q是正定或半正定矩陣，R是正定矩陣。
    (2)Q陣中對(duì)角線上的元素與狀態(tài)變量一一對(duì)應(yīng)，數(shù)值越大，則表示該狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)的影響越顯著。
    (3)加權(quán)矩陣R不要過小，否則會(huì)導(dǎo)致控制量的增大。控制量太大會(huì)超過系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，R陣也不要太大，否則控制作用太小會(huì)影響控制性能。
    綜合以上考慮，取Q=diag([100，100，100，100])，R=1，利用Matlab提供的LQR函數(shù)，可得控制器的增益矩陣：
    K=[-10．000 0 -24．140 8 250．036 0 158．553 3]
3．3 利用遺傳算法優(yōu)化Q陣
    遺傳算法是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法，它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制，并用在人工系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。
    采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣Q的具體步驟如下：
    (1)選擇編碼策略，把參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體結(jié)構(gòu)空間。
    (2)確定解碼方法。
    (3)確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的類型及數(shù)學(xué)描述形式，在LQR最優(yōu)控制中取目標(biāo)函數(shù)J，J=trace(P)。
    (4)設(shè)計(jì)遺傳算子。
    (5)確定遺傳策略。設(shè)群體大小為80，最大迭代次數(shù)為200，交叉概率選為0．9，變異概率選為0．01，并隨機(jī)產(chǎn)生初始群體。
    (6)計(jì)算群體中的個(gè)體或染色體解碼后的適應(yīng)值。在本設(shè)計(jì)中將適應(yīng)值取為目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù)，即f=1／J。
    (7)進(jìn)行遺傳算法搜索過程，即采用隨機(jī)采樣的方法選擇個(gè)體，通過交叉和變異產(chǎn)生新個(gè)體，再計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值J’。
    (8)判斷群體性能是否滿足指標(biāo)或者是否完成迭代次數(shù)，若不滿足則重復(fù)步驟(7)。
    通過上述算法即可確定使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣Q中待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量K。

4 仿真結(jié)果及分析
    取Q=diag([100，100，100，100])，R=1時(shí)，得到的一級(jí)倒立擺仿真波形如圖3所示。由圖可見，小車經(jīng)過5．2 s達(dá)到平衡，而擺角經(jīng)過6．5 s達(dá)到平衡。對(duì)Q陣優(yōu)化后系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量減少，響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)時(shí)間減少，系統(tǒng)的靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性都得到改善，如圖4所示。

5 結(jié)語(yǔ)
    本文利用拉格朗日方程建立了直線一級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)的性能，并利用LQR控制器進(jìn)行控制。結(jié)果表明，LQR控制器對(duì)該系統(tǒng)具有良好的控制作用。