??? 其中λ_i和ρ_j分別是度為i的變量節(jié)點(diǎn)和度為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的1的個(gè)數(shù)占校驗(yàn)矩陣中總的1的個(gè)數(shù)的比例。d_l和d_v分別是變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大" title="最大">最大度。
如果碼長(zhǎng)為N，則對(duì)應(yīng)Tanner圖中度為i的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：
???

??? 然后按度的不同把所有節(jié)點(diǎn)劃分到不同的子包中，各個(gè)子包對(duì)應(yīng)特定度的節(jié)點(diǎn)。在重傳時(shí)，包含度為i的節(jié)點(diǎn)的子包對(duì)應(yīng)的重傳比例為p_i，它表示重傳數(shù)據(jù)中度為i的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)占重傳節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例。定義為:
???
??? 其中t_i表示度為i的變量節(jié)點(diǎn)的重傳個(gè)數(shù)，表示一次重傳所傳輸?shù)目偟墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。
當(dāng)收到重傳請(qǐng)求時(shí)，發(fā)送端就根據(jù)重傳比例在相應(yīng)的子包中取出相應(yīng)數(shù)量的節(jié)點(diǎn)組成重傳數(shù)據(jù)進(jìn)行重傳。接收端再將接收到的重傳數(shù)據(jù)與先前收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行合并，并再次嘗試譯碼，直到譯碼成功或者達(dá)到最大重傳次數(shù)。
??? 為能獲得最好的性能，需要給出特定的重傳比例p_i。以下的分析表明本文提出的算法可以獲得最佳的重傳比例，從而獲得最優(yōu)的系統(tǒng)性能。
2 性能分析
??? 在AWGN信道中，調(diào)制方式為BPSK調(diào)制時(shí)，得到信道模型為:
??? y=x+n??????????????????????????? (4)
??? 其中,x∈{±1}為發(fā)送信號(hào)，n是均值為0、方差為 的高斯噪聲，y為接收信號(hào)。
對(duì)此，可以運(yùn)用高斯近似（GA）來(lái)分析算法的漸進(jìn)性能。根據(jù)參考文獻(xiàn)[4]，高斯近似的結(jié)果為：
???
??? 其中,r_l=m_v^l是第l次迭代后輸出信號(hào)的均值，初始值為r₀=φ(s₀)，其中
???

??? 根據(jù)GA，如果當(dāng)l趨于無(wú)窮時(shí)，r_l收斂到0，則LDPC碼的譯碼錯(cuò)誤可以任意小。
等式(5)是一個(gè)關(guān)于rl的迭代式。當(dāng)?shù)螖?shù)l趨于無(wú)窮時(shí)，r_l會(huì)減小并收斂到一個(gè)常數(shù)，而當(dāng)SNR大于門限值時(shí)，這個(gè)常數(shù)將為0。

??? 由p_i是度為i的變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的重傳比例，因此相應(yīng)的初始狀態(tài)為:
???
??? 由于信道初始信息可以通過(guò)(7)式對(duì)接收到的子塊進(jìn)行軟合并而增大，因此重傳可以通過(guò)降低門限值來(lái)加快收斂速度。
??? 在DDB-HARQ中，先前收到的譯碼失敗的信號(hào)并不直接丟棄，而是和新收到的重傳信號(hào)進(jìn)行軟合并。經(jīng)過(guò)HARQ接收機(jī)軟合并后，根據(jù)參考文獻(xiàn)[5]，(5)式可化簡(jiǎn)為:
???

??? 為了討論重傳次數(shù)趨于無(wú)窮的漸進(jìn)性能，可將(8)式改寫為:
???

??? 其中,和i無(wú)關(guān)。
??? 由(9)式可知,當(dāng)l趨于無(wú)窮時(shí)，r_l是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)。它的值只與λi和s_i有關(guān)。其中si是信道信息，和選擇的方式無(wú)關(guān)，而λi對(duì)于特定的度分布也是常數(shù)。因此，r_l可以寫成:
???
??? 其中,。
??? 從(10)式可以看出，K越小，門限值收斂的速度越快。為了提高重傳的功率效率，應(yīng)該找到盡可能小的K和相應(yīng)的s_i,所以要研究在什么情況下K會(huì)取得最小值。令:
???
??? 根據(jù)(7)式，(11)式可以寫成:
???

??? 由此得到優(yōu)化模型,即要找到一組在滿足條件：
???

的p_i，使得(12)式取得極小值。根據(jù)這個(gè)優(yōu)化模型，得出的p_i就是最佳的重傳比例。
??? 由于(12)式是一個(gè)多約束條件下求極值的問(wèn)題，無(wú)法得出閉式解。但是可以運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法求出特定度分布所對(duì)應(yīng)的F(p_i)的極小值，從而得出最佳重傳比例p_i。
??? 根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]，?準(zhǔn)(x)可以簡(jiǎn)化為：
??? ?

??? 將這個(gè)簡(jiǎn)化式代入" title="代入">代入優(yōu)化模型，通過(guò)數(shù)學(xué)建模軟件，比如說(shuō)LINGO，運(yùn)用數(shù)值迭代的方法得到pi的數(shù)值解。由于該優(yōu)化模型從整體上考慮了所有度節(jié)點(diǎn)對(duì)譯碼的貢獻(xiàn)，因此利用優(yōu)化結(jié)果所得的pi值進(jìn)行重傳，就可以使得系統(tǒng)達(dá)到最大的重傳功率利用率，從而獲得最好的系統(tǒng)性能。
3 仿真及結(jié)果分析
??? 在仿真過(guò)程中，采用的非規(guī)則LDPC編碼的度分布為：
???

??? 采用的碼長(zhǎng)N=1 024，碼率為R=1/2。每次重傳的比特?cái)?shù)為256。通過(guò)LINGO優(yōu)化軟件，根據(jù)優(yōu)化模型，可以得到表1所示的最佳重傳比例。

??????????????????
??? 從表1中可以看出，優(yōu)化的比例并不只是重傳度大的節(jié)點(diǎn)，同時(shí)也是重傳度較小的節(jié)點(diǎn)。這可以理解為：雖然有些度比較小，但是它對(duì)應(yīng)的比例很大，這樣在整個(gè)譯碼過(guò)程中可以提供很多的信息量，所以在重傳節(jié)點(diǎn)中包含這些節(jié)點(diǎn)必然會(huì)增加重傳后譯碼成功的可能性。
??? 本文在仿真中每次重傳256個(gè)比特，重傳比例為1/4。改善的DDB-HARQ重傳算法各個(gè)度對(duì)應(yīng)的重傳比特?cái)?shù)由表1中的t_i給出。只有重傳度較大的算法是從發(fā)送信號(hào)中取出256個(gè)度和最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重傳。
??? 圖1是最大重傳次數(shù)為1次時(shí)的誤碼率曲線。從圖中可以看出，采用重傳技術(shù)后誤碼性能有明顯的改善。改進(jìn)的DDB-HARQ方案在高信噪比下比只重傳最大度節(jié)點(diǎn)的方案性能增益更大。這是因?yàn)樵谛旁氡容^大時(shí)，度大的節(jié)點(diǎn)正確接收的概率已經(jīng)很大，重傳后得到的額外信息量并不大，而改進(jìn)的算法由于包括各個(gè)度的節(jié)點(diǎn)，因而性能還能進(jìn)一步提高。

??????????????????
??? 圖2是最大重傳次數(shù)為3次時(shí)的誤碼率曲線。從仿真圖中可以看出，改進(jìn)的DDB-HARQ算法比只重傳度大的節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)性能有明顯的改善，說(shuō)明經(jīng)過(guò)優(yōu)化的重傳比例確實(shí)改善了重傳效率。重傳次數(shù)為3次比重傳次數(shù)為1次有更大的性能增益。這是因?yàn)橹貍鞔螖?shù)增加后，譯碼器可以更確切地掌握對(duì)譯碼幫助最大的接收信息，從而提高譯碼的成功率。