??? 其中λ_i和ρ_j分別是度為i的變量節(jié)點和度為j的校驗節(jié)點對應(yīng)的1的個數(shù)占校驗矩陣中總的1的個數(shù)的比例。d_l和d_v分別是變量節(jié)點和校驗節(jié)點對應(yīng)的最大" title="最大">最大度。
如果碼長為N，則對應(yīng)Tanner圖中度為i的節(jié)點的個數(shù)為：
???

??? 然后按度的不同把所有節(jié)點劃分到不同的子包中，各個子包對應(yīng)特定度的節(jié)點。在重傳時，包含度為i的節(jié)點的子包對應(yīng)的重傳比例為p_i，它表示重傳數(shù)據(jù)中度為i的節(jié)點個數(shù)占重傳節(jié)點總數(shù)的比例。定義為:
???
??? 其中t_i表示度為i的變量節(jié)點的重傳個數(shù)，表示一次重傳所傳輸?shù)目偟墓?jié)點個數(shù)。
當收到重傳請求時，發(fā)送端就根據(jù)重傳比例在相應(yīng)的子包中取出相應(yīng)數(shù)量的節(jié)點組成重傳數(shù)據(jù)進行重傳。接收端再將接收到的重傳數(shù)據(jù)與先前收到的數(shù)據(jù)進行合并，并再次嘗試譯碼，直到譯碼成功或者達到最大重傳次數(shù)。
??? 為能獲得最好的性能，需要給出特定的重傳比例p_i。以下的分析表明本文提出的算法可以獲得最佳的重傳比例，從而獲得最優(yōu)的系統(tǒng)性能。
2 性能分析
??? 在AWGN信道中，調(diào)制方式為BPSK調(diào)制時，得到信道模型為:
??? y=x+n??????????????????????????? (4)
??? 其中,x∈{±1}為發(fā)送信號，n是均值為0、方差為 的高斯噪聲，y為接收信號。
對此，可以運用高斯近似（GA）來分析算法的漸進性能。根據(jù)參考文獻[4]，高斯近似的結(jié)果為：
???
??? 其中,r_l=m_v^l是第l次迭代后輸出信號的均值，初始值為r₀=φ(s₀)，其中
???

??? 根據(jù)GA，如果當l趨于無窮時，r_l收斂到0，則LDPC碼的譯碼錯誤可以任意小。
等式(5)是一個關(guān)于rl的迭代式。當?shù)螖?shù)l趨于無窮時，r_l會減小并收斂到一個常數(shù)，而當SNR大于門限值時，這個常數(shù)將為0。

??? 由p_i是度為i的變量節(jié)點對應(yīng)的重傳比例，因此相應(yīng)的初始狀態(tài)為:
???
??? 由于信道初始信息可以通過(7)式對接收到的子塊進行軟合并而增大，因此重傳可以通過降低門限值來加快收斂速度。
??? 在DDB-HARQ中，先前收到的譯碼失敗的信號并不直接丟棄，而是和新收到的重傳信號進行軟合并。經(jīng)過HARQ接收機軟合并后，根據(jù)參考文獻[5]，(5)式可化簡為:
???

??? 為了討論重傳次數(shù)趨于無窮的漸進性能，可將(8)式改寫為:
???

??? 其中,和i無關(guān)。
??? 由(9)式可知,當l趨于無窮時，r_l是一個幾何級數(shù)。它的值只與λi和s_i有關(guān)。其中si是信道信息，和選擇的方式無關(guān)，而λi對于特定的度分布也是常數(shù)。因此，r_l可以寫成:
???
??? 其中,。
??? 從(10)式可以看出，K越小，門限值收斂的速度越快。為了提高重傳的功率效率，應(yīng)該找到盡可能小的K和相應(yīng)的s_i,所以要研究在什么情況下K會取得最小值。令:
???
??? 根據(jù)(7)式，(11)式可以寫成:
???

??? 由此得到優(yōu)化模型,即要找到一組在滿足條件：
???

的p_i，使得(12)式取得極小值。根據(jù)這個優(yōu)化模型，得出的p_i就是最佳的重傳比例。
??? 由于(12)式是一個多約束條件下求極值的問題，無法得出閉式解。但是可以運用數(shù)值計算的方法求出特定度分布所對應(yīng)的F(p_i)的極小值，從而得出最佳重傳比例p_i。
??? 根據(jù)參考文獻[8]，?準(x)可以簡化為：
??? ?

??? 將這個簡化式代入" title="代入">代入優(yōu)化模型，通過數(shù)學建模軟件，比如說LINGO，運用數(shù)值迭代的方法得到pi的數(shù)值解。由于該優(yōu)化模型從整體上考慮了所有度節(jié)點對譯碼的貢獻，因此利用優(yōu)化結(jié)果所得的pi值進行重傳，就可以使得系統(tǒng)達到最大的重傳功率利用率，從而獲得最好的系統(tǒng)性能。
3 仿真及結(jié)果分析
??? 在仿真過程中，采用的非規(guī)則LDPC編碼的度分布為：
???

??? 采用的碼長N=1 024，碼率為R=1/2。每次重傳的比特數(shù)為256。通過LINGO優(yōu)化軟件，根據(jù)優(yōu)化模型，可以得到表1所示的最佳重傳比例。

??????????????????
??? 從表1中可以看出，優(yōu)化的比例并不只是重傳度大的節(jié)點，同時也是重傳度較小的節(jié)點。這可以理解為：雖然有些度比較小，但是它對應(yīng)的比例很大，這樣在整個譯碼過程中可以提供很多的信息量，所以在重傳節(jié)點中包含這些節(jié)點必然會增加重傳后譯碼成功的可能性。
??? 本文在仿真中每次重傳256個比特，重傳比例為1/4。改善的DDB-HARQ重傳算法各個度對應(yīng)的重傳比特數(shù)由表1中的t_i給出。只有重傳度較大的算法是從發(fā)送信號中取出256個度和最大的節(jié)點進行重傳。
??? 圖1是最大重傳次數(shù)為1次時的誤碼率曲線。從圖中可以看出，采用重傳技術(shù)后誤碼性能有明顯的改善。改進的DDB-HARQ方案在高信噪比下比只重傳最大度節(jié)點的方案性能增益更大。這是因為在信噪比較大時，度大的節(jié)點正確接收的概率已經(jīng)很大，重傳后得到的額外信息量并不大，而改進的算法由于包括各個度的節(jié)點，因而性能還能進一步提高。

??????????????????
??? 圖2是最大重傳次數(shù)為3次時的誤碼率曲線。從仿真圖中可以看出，改進的DDB-HARQ算法比只重傳度大的節(jié)點的系統(tǒng)性能有明顯的改善，說明經(jīng)過優(yōu)化的重傳比例確實改善了重傳效率。重傳次數(shù)為3次比重傳次數(shù)為1次有更大的性能增益。這是因為重傳次數(shù)增加后，譯碼器可以更確切地掌握對譯碼幫助最大的接收信息，從而提高譯碼的成功率。