??? 摘 要： 介紹一種新的多尺度分析" title="多尺度分析">多尺度分析方法，并給出了一維EMD實現(xiàn)方法及其在信號處理中的應(yīng)用以及二維EMD實現(xiàn)方法及其在圖像處理" title="圖像處理">圖像處理中應(yīng)用，該方法的應(yīng)用實例及分析過程，同時分析了EMD的優(yōu)越性和應(yīng)用前景。
??? 關(guān)鍵詞： HHT? 多尺度分析? EMD
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??? 自然界的絕大多數(shù)現(xiàn)象都是非線性、非平穩(wěn)又或者伴有非線性、非平穩(wěn)現(xiàn)象的過程，因而在信號分析" title="信號分析">信號分析中，非平穩(wěn)信號分析是重要而常見的，以往對它們的處理方法都或多或少存在缺點和不足[1]。希爾伯特-黃變換HHT(Hilbert-Huang Transform)是繼小波變換之后,由美國科學(xué)家Norden E Huang等人于1998年提出的又一種多尺度分析的全新方法。是一種適合處理非線性，非平穩(wěn)信號的分析方法。非線性、非平穩(wěn)信號分析的主要目的是要揭示信號時頻變化規(guī)律。這種規(guī)律雖然目前可以通過短時傅立葉變換、小波變換等時頻分析法進行分析，但這些方法都是通過幅值譜來展示頻率變化規(guī)律的，實質(zhì)都是以傅立葉變換(FT)為理論依據(jù)，因此不可避免地會因FT分析非線性、非平穩(wěn)信號所帶來的缺陷，如出現(xiàn)虛假頻率，因此所顯示的信號的頻率變化規(guī)律只能是粗略的。此外，小波變換作為近年來廣泛受到關(guān)注和應(yīng)用的多尺度分析方法也存在不能克服的缺陷，如最優(yōu)小波基的選取、變換層數(shù)的確定，在不同小波基下處理所得的結(jié)果大不相同。正是在這一背景下，N.E.Huang等人創(chuàng)造性地提出了固有模態(tài)函數(shù)IMF(Intrinsic Mode Function)概念和經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸釫MD(Empirical Mode Decomposition)方法，再將信號分解所得的各階IMF進行Hilbert變換，形成時間頻率能量譜，從而得到瞬時頻率并定義為Hilbert譜。美國NASA宇航中心將這種形式的Hilbert變換稱為Hilbert-Huang變換（HHT）。這是一種以瞬時頻率為核心概念的方法，理論上能精確給出信號中頻率隨時間變化的規(guī)律，避免了虛假頻率等冗余現(xiàn)象，同時EMD的基隨信號自適應(yīng)地產(chǎn)生，不同信號的基是惟一的，不需要選擇。HHT方法一出現(xiàn)就受到廣大研究人員的青睞。現(xiàn)已應(yīng)用到地球物理、生物醫(yī)學(xué)、振動工程、機械工程、故障檢測、圖像處理等領(lǐng)域，實踐表明，較依賴于先驗函數(shù)基的Fourier分析和小波分析等方法，HHT更適合處理非平穩(wěn)信號，是一種具有自適應(yīng)性的時頻局部化多尺度分析方法。將Nunes等人的一維EMD思想應(yīng)用于二維圖像處理中，使EMD的發(fā)展向前邁進了一步。本文給出了二維EMD的實現(xiàn)方法及應(yīng)用。
1 EMD的實現(xiàn)及應(yīng)用
1.1 一維EMD和Hilbert的實現(xiàn)
??? Hilbert-Huang變換分為兩步：首先用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法EMD獲得有限數(shù)目的固有模態(tài)函數(shù)IMF，然后再利用Hilbert變換和瞬時頻率方法獲得信號的時-頻譜——Hilbert譜。由于瞬時頻率方法對任意信號不都適用, 它只對單分量信號(Monocomponent signal)才有意義，而對于自然界和工程應(yīng)用領(lǐng)域，獲取的信號一般都不能滿足單分量信號的要求，因此，必須對信號進行適當(dāng)?shù)奶幚?。?jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法(EMD)就是通過對信號進行分解，使之能夠表示為許多單分量信號之和。在Hilbert-Huang變換中，為了把復(fù)雜的信號分解為簡單的單分量信號的組合, EMD所獲得的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)必須滿足下列兩個條件[2-3]：
??? (1)在整個信號長度上，一個IMF的極值點和過零點數(shù)目必須相等或至多只相差一點。
??? (2)在任意時刻，由極大值點定義的上包絡(luò)線和由極小值點定義的下包絡(luò)線的平均值為零，也就是說，IMF 的上下包絡(luò)線對稱于時間軸。滿足上述條件的IMF就是一個單分量信號。對于給定的信號，Huang所介紹的EMD方法是：
??? 首先找到信號的極大值和極小值，通過三次樣條擬合，從而獲得信號的上包絡(luò)曲線envmax和下包絡(luò)曲線envmin, 計算上下包絡(luò)曲線的平均值曲線m1：m1=(envmax+envmin)/2。設(shè)分析信號為x(t)，則：
??? x(t)-m1=h1
??? 從理論上講，h1即為第一階IMF分量，但由于樣條擬合h1不一定滿足IMF的條件，因此把h1作為原始數(shù)據(jù)，重復(fù)上述步驟，反復(fù)減均，直到滿足IMF的條件為止。然后，從原始信號中減去h1即可獲得信號的逼近分量R1。
??? x(t)-h1=R1
??? 對R1重復(fù)上面的過程, 就可以獲得第二階IMF分量。通過EMD方法對信號的一次次的篩分，就可以獲得信號的多個IMF分量和一個逼近分量Rn，從而信號可由下式表示：
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??? 因此，對任何一個信號x(t)，都可以將其分解為n個固有模態(tài)分量和1個殘余分量Rn之和，其中，分量h1，h2，…h(huán)n，包含了信號從高到低不同頻率段的成分，且這些成分在頻域相互正交，而Rn則表示了信號x(t)的整體趨勢。
??? 以上分解過程可以解釋為時空尺度濾波的過程，每一個IMF分量都反映了信號的不同特征尺度的分量，代表著信號的非線性非平穩(wěn)信號的內(nèi)在模態(tài)特征。若各階IMF都滿足Hilbert變換的前提條件，可以對它們作Hilbert變換：
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??? x(t)和y(t)形成一復(fù)共軛對，則其解析信號z(t)=x(t)+iy(t)=a(t)eiθ(t)，幅值函數(shù)a(t)=
相位函數(shù)
??? 再對相位函數(shù)求導(dǎo)即得IMF分量的瞬時頻率為：
得到信號的Hilbert譜：
更進一步，通過對時間積分可獲得信號的Hilbert邊際譜：
1.2 一維EMD的應(yīng)用
??? 這里選取三個正弦函數(shù)(一個頻率較低且幅值較大，另兩個頻率較高且幅值較小)和一個階躍函數(shù)的疊加信號，對其進行四層EMD分解，如圖1所示。圖1中，從左到右是原始信號，從上到下是第一層到第四層IMF分量及四層分解后的殘余。實驗結(jié)果證明，信號經(jīng)EMD后得到了從高頻到低頻不同頻率段的成分、殘余代表信號的主要趨勢。如果兩個相對高頻的正弦函數(shù)成分為噪聲，則得到的殘余成分非常接近于能量較大的低頻正弦函數(shù)成分和階躍函數(shù)成分的疊加。如圖1(f)所示的一個波形。實驗結(jié)果很明顯地反映了EMD的去噪" title="去噪">去噪作用，而且這種去噪是完全自適應(yīng)性的處理，效果理想。從圖中也可看出，一維EMD存在邊界效應(yīng)，現(xiàn)已有一些研究人員提出了解決辦法，如Huang提出的用特征波CW對原始信號進行延拓的方法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對數(shù)據(jù)序列進行延拓的方法、基于AR模型的Levinson-Durbin算法的線性預(yù)測的方法以及采用最大熵譜(即Burg)估計進行邊界延拓的方法，一定程度上避免了邊界效應(yīng)。
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2 二維EMD的實現(xiàn)及應(yīng)用
2.1 基于一維EMD提出二維EMD方法的實現(xiàn)
??? (1)求曲面局部極值點就是求出曲面上所有的比周圍臨近點都大或都小的點。本文采用3×3（或5×5或7×7，總之是奇數(shù)維）數(shù)組，通過中心點與周圍點比較分別確定極大值點和極小值點。對于一般邊界數(shù)據(jù)的處理，因為只有在一半的鄰域內(nèi)有數(shù)據(jù)，所以只能在1/2的鄰域區(qū)間內(nèi)尋找極值點。對于四個角處的數(shù)據(jù)處理，則考慮1/4鄰域區(qū)間。
??? (2)極值點找出來之后，要對各極大值點和各極小值點分別進行曲面擬合。本文采用三角剖分結(jié)合線性插值" title="插值">插值或立方插值進行曲面擬合。三角剖分支持呈散射狀分布的數(shù)據(jù)點的插值且速度較快。這樣，經(jīng)插值后得到極大值點曲面包絡(luò)和極小值點曲面包絡(luò)，將兩曲面數(shù)據(jù)求平均得到均值包絡(luò)曲面數(shù)據(jù)。
??? (3)用原始曲面減去均值包絡(luò)曲面。
??? (4)與一維EMD方法相似需計算終止條件，這里用maxima表示減勻前曲面數(shù)據(jù)的最大值的絕對值，用maximd表示該曲面的均值包絡(luò)曲面數(shù)據(jù)的最大值的絕對值，計算終止條件：
，收斂速度較快些。
2.2 二維EMD的應(yīng)用
??? 根據(jù)上述二維EMD的分解原理和分解方法，本文對標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像進行五層的EMD分解，其結(jié)果如圖2所示。圖2中，從左到右是原始信號，從上到下是第一層到第五層二維IMF分量，依次得到從低頻到高頻的不同頻帶范圍內(nèi)的分量。高頻分量代表圖像的細(xì)節(jié)，與現(xiàn)有的幾種提取圖像邊緣的方法相比，這里提取的細(xì)節(jié)更為全面，同時又只攜帶了很少的能量。用EMD將圖像分解成各層細(xì)節(jié)和輪廓（殘余）之后也為圖像進一步處理（如圖像增強、圖像壓縮等）提供了新的前提。在將圖像分解為高頻、次高頻等分量的過程中，圖像中各點經(jīng)歷著提取自身的相對高頻、次高頻的過程，所以，相信基于這種方法的圖像處理效果與以往的處理方法相比會有所不同，效果更自然，有其獨特的視覺意義。
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??? 圖3是另一幅圖像的五層二維EMD分解結(jié)果，從左到右是原始信號，從上到下是第一層到第五層二維IMF分量。由圖可以看出，第一、二層已經(jīng)很好很完整地提取出圖像的高頻成分，包括如圖片中的一行文字、高頻的背景成分及圖像自身的完全的細(xì)節(jié)等。所以，可以看到二維EMD 將會在圖像的去噪、圖像的增強、圖像分割以及圖像的特征提取等方面有新的可研究的前景，為圖像分析打開了新的方向。
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??? 本文討論了一維Hilbert-Huang變換的原理，并將其應(yīng)用于信號分析中。同時，給出了二維EMD的實現(xiàn)過程并將其應(yīng)用于二維圖像分析中。一維EMD 作為一種多尺度分析方法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域，實現(xiàn)了對非平穩(wěn)信號的分析和處理。雖然二維EMD還剛剛起步，但通過分析已清楚其在圖像處理領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用有著相當(dāng)廣闊的前景，為圖像分析打開了一個新的方向。下一步的工作是對將二維EMD 應(yīng)用于圖像壓縮和圖像的特征提取等方面作進一步的探索。
參考文獻
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[2] WU Zhaohua，HUANG N E.A study of the characteristics?of white noise using the empirical mode decomposition?method.Proc.Roy.Soc.London A，Dec，2002.
[3] 鐘佑明，秦樹人，湯寶平.Hilbert-Huang變換中的理論研究[J]．振動與沖擊，2002，21(4)：13-17．