摘 要： 基于高階" title="高階">高階統(tǒng)計(jì)量（HOS）的分析方法，針對(duì)多輸入多輸出的MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出的情況進(jìn)行了探討，在對(duì)時(shí)域中其盲辨識(shí)原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域" title="頻域">頻域分析的思路，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，基于互多譜累積量" title="累積量">累積量實(shí)現(xiàn)了MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)，并對(duì)其實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行了總結(jié)和仿真。
關(guān)鍵詞： 高階統(tǒng)計(jì)量 MIMO 盲辨識(shí)? 互多譜
系統(tǒng)盲辨識(shí)的目標(biāo)是通過n個(gè)系統(tǒng)輸出來辨識(shí)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)，通過H(z)估計(jì)恢復(fù)出系統(tǒng)的r個(gè)輸入。MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)有著很重要的應(yīng)用，因?yàn)樵S多問題都可以歸結(jié)為MIMO盲辨識(shí)問題。MIMO系統(tǒng)的辨識(shí)是對(duì)SIMO方法的擴(kuò)展。本文提出一種基于頻域分析的方法來辨識(shí)n×r的MIMO系統(tǒng)，其輸入信號(hào)" title="輸入信號(hào)">輸入信號(hào)為獨(dú)立同分布的量。通常情況下討論的MIMO問題都是輸出信號(hào)的個(gè)數(shù)n≥r[1]。這種情況下一般經(jīng)過解卷積來恢復(fù)輸入信號(hào)。在本文中考慮輸入多于輸出的情況，也就是說n
假定MIMO系統(tǒng)模型為：
x=Hs （1）
其中x=[x1(t)x2(t)]T 為二維輸出矢量信號(hào)，s=[s1(t)s2(t)s3(t)]T為三維輸入信號(hào)矢量，si(t)為零均值獨(dú)立同分布非高斯白噪聲，H為2×3維瞬態(tài)矩陣。為方便起見，定義以下累積量[2]：
∧為對(duì)角陣，ejΦ用來替代每一行的模糊相位。P為行交換矩陣，
為混合矩陣的估計(jì)值，可以通過（9）式得到。這樣即可通過（10）式得到H，從而由（1）式估計(jì)出輸入信號(hào)。
2 基于頻域?qū)崿F(xiàn)的MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)
為了更進(jìn)一步方便對(duì)MIMO系統(tǒng)進(jìn)行盲辨識(shí)，將（1）式進(jìn)行傅立葉變換得到（11）式：
X(ω)=H(ω)S(ω) (11)
可以通過估計(jì)xi(ω1)、xj(ω2)……的互累計(jì)量譜得到輸入信號(hào)的信息，但是根據(jù)Brillinger定理[3]可以得到式（12）：
cum{xi(ω1),xj(ω2),xk(ω3),xl(ω4)}=0,
ω1+ω2+ω3+ω4≠2πK ? (12)
其中K為整數(shù)，這樣，C40和C30就會(huì)為0，就很難估計(jì)輸入信號(hào)的值。因此在這里盡量避開X(ω),利用類似于（6）、（7）、（8）式的方法，定義一組基于系統(tǒng)輸出的互多譜的張量，為便于分析先從時(shí)域入手定義輸出信號(hào)的三種不同類型的四階互累計(jì)量：
在（16）和（17）中如果令ω1=ω2=ω3=ω則可得到與C31對(duì)應(yīng)的頻域的張量表示形式：
對(duì)應(yīng)于實(shí)脈沖情況，可用（22）式的兩個(gè)線性方程構(gòu)成的方程組來實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式G(ω)的估計(jì)。
同樣的方法，可以通過（18）式得到其對(duì)應(yīng)的張量如（23）式：
下面依次對(duì)式(24)中的參量進(jìn)行估算：
(1) 估算∧(ω)：
對(duì)∧(ω)的估算可以借助功率譜" title="功率譜">功率譜，假定用PX(ω)來表示輸出信號(hào)的功率譜，則：
摘 要： 基于高階統(tǒng)計(jì)量（HOS）的分析方法，針對(duì)多輸入多輸出的MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出的情況進(jìn)行了探討，在對(duì)時(shí)域中其盲辨識(shí)原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域分析的思路，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，基于互多譜累積量實(shí)現(xiàn)了MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)，并對(duì)其實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行了總結(jié)和仿真。
關(guān)鍵詞： 高階統(tǒng)計(jì)量 MIMO 盲辨識(shí) 互多譜
系統(tǒng)盲辨識(shí)的目標(biāo)是通過n個(gè)系統(tǒng)輸出來辨識(shí)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)，通過H(z)估計(jì)恢復(fù)出系統(tǒng)的r個(gè)輸入。MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)有著很重要的應(yīng)用，因?yàn)樵S多問題都可以歸結(jié)為MIMO盲辨識(shí)問題。MIMO系統(tǒng)的辨識(shí)是對(duì)SIMO方法的擴(kuò)展。本文提出一種基于頻域分析的方法來辨識(shí)n×r的MIMO系統(tǒng)，其輸入信號(hào)為獨(dú)立同分布的量。通常情況下討論的MIMO問題都是輸出信號(hào)的個(gè)數(shù)n≥r[1]。這種情況下一般經(jīng)過解卷積來恢復(fù)輸入信號(hào)。在本文中考慮輸入多于輸出的情況，也就是說n
假定MIMO系統(tǒng)模型為：
x=Hs ?。?）
其中x=[x1(t)x2(t)]T 為二維輸出矢量信號(hào)，s=[s1(t)s2(t)s3(t)]T為三維輸入信號(hào)矢量，si(t)為零均值獨(dú)立同分布非高斯白噪聲，H為2×3維瞬態(tài)矩陣。為方便起見，定義以下累積量[2]：
∧為對(duì)角陣，ejΦ用來替代每一行的模糊相位。P為行交換矩陣，為混合矩陣的估計(jì)值，可以通過（9）式得到。這樣即可通過（10）式得到H，從而由（1）式估計(jì)出輸入信號(hào)。
2 基于頻域?qū)崿F(xiàn)的MIMO系統(tǒng)的盲辨識(shí)
為了更進(jìn)一步方便對(duì)MIMO系統(tǒng)進(jìn)行盲辨識(shí)，將（1）式進(jìn)行傅立葉變換得到（11）式：
X(ω)=H(ω)S(ω) (11)
可以通過估計(jì)xi(ω1)、xj(ω2)……的互累計(jì)量譜得到輸入信號(hào)的信息，但是根據(jù)Brillinger定理[3]可以得到式（12）：
cum{xi(ω1),xj(ω2),xk(ω3),xl(ω4)}=0,
ω1+ω2+ω3+ω4≠2πK ? (12)
其中K為整數(shù)，這樣，C40和C30就會(huì)為0，就很難估計(jì)輸入信號(hào)的值。因此在這里盡量避開X(ω),利用類似于（6）、（7）、（8）式的方法，定義一組基于系統(tǒng)輸出的互多譜的張量，為便于分析先從時(shí)域入手定義輸出信號(hào)的三種不同類型的四階互累計(jì)量：
在（16）和（17）中如果令ω1=ω2=ω3=ω則可得到與C31對(duì)應(yīng)的頻域的張量表示形式：
對(duì)應(yīng)于實(shí)脈沖情況，可用（22）式的兩個(gè)線性方程構(gòu)成的方程組來實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式G(ω)的估計(jì)。
同樣的方法，可以通過（18）式得到其對(duì)應(yīng)的張量如（23）式：
下面依次對(duì)式(24)中的參量進(jìn)行估算：
(1) 估算∧(ω)：
對(duì)∧(ω)的估算可以借助功率譜，假定用PX(ω)來表示輸出信號(hào)的功率譜，則：
其中P(p)即為所需要確定的交換陣，可以通過求解（27）式得到P(p)。
如果系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，則到此即可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，如果為非最小相位系統(tǒng)，則要繼續(xù)下面的估算。
(3)估算ejΦ(ω)
相位的恢復(fù)可以借助（26）式進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合（24）和（26）式，得到：
3 仿真
為了驗(yàn)證上述方案的可行性，本文按上述方法對(duì)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。其中n=2,r=3,DFT長度為128，H(z)表達(dá)式如(30)式：
由圖1可以看出，除0和?仔外，其他頻率點(diǎn)的性能都比較好。
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圖2給出了幅度和相位估計(jì)的波形，圖中虛線表示真實(shí)值，實(shí)線表示估計(jì)值，可以看出，只要通過改進(jìn)0和?仔點(diǎn)的插入值就可改進(jìn)估計(jì)的特性。
本文在對(duì)MIMO卷積系統(tǒng)盲辨識(shí)原理進(jìn)行時(shí)域分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域分析的思路，并且針對(duì)卷積MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出這一特殊情況，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，在頻域中對(duì)其盲辨識(shí)的過程進(jìn)行了探討，最后總結(jié)出在頻域中對(duì)MIMO系統(tǒng)進(jìn)行盲辨識(shí)的一般步驟，該步驟方案的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)后經(jīng)過仿真證明具有較好的信道性能。該步驟可以推而廣之，擴(kuò)展到所有輸入信號(hào)數(shù)目大于輸出信號(hào)數(shù)目的MIMO系統(tǒng)。
參考文獻(xiàn)
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2 Binning Chen, Athina P. Petropulu.Frequency domain MIMO system identification based on second and higher-order Statistics.IEEE Transactions on Signal Processing, 2001;49(8)1677～1688
3 Serviere C, Capdevielle V. An identification method of FIR digital filters in frequency domain.In:European Signal Processing Conference - EUSIPCO’1994, 2000
4 Binning Chen, Athina P. Petropulu. Blind identification of convolutive MIMO systems with 3 sources and 2 sensors.IEEE Transactions on Signal Processing, 2002
5 Jitendra K, Tugnait. Identification and deconvolution of multichannel linear Non-Gaussian processes using higher order statistics and inverse filter criteria. IEEE IEEE Transactions on Signal Processing, 1997;45(3)
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