0 引言

　　由于人為調制等原因，大多數雷達和通信信號都體現出一種特殊的周期性，即循環(huán)平穩(wěn)特性，不同調制樣式的信號具有不同的循環(huán)平穩(wěn)特性[1]，因此，基于信號循環(huán)平穩(wěn)特性的參數估計方法在信號的選擇性和噪聲抑制方面具有顯著優(yōu)勢[2]。

　　陣列信號處理是信號循環(huán)平穩(wěn)特性成功應用的一個典型例子[2]。GARDNER W A首先把信號的循環(huán)平穩(wěn)特性引入到陣列測向方法中，提出了相應的Cyclic MUSIC（簡記為C-MUSIC）方法[3]。文獻[4，5]分析了C-MUSIC方法對高斯和非高斯窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向的性能，但該分析都是基于理想陣列結構進行的。隨后，CHARGE P等通過綜合考慮入射信號的循環(huán)相關函數和共軛循環(huán)相關函數，對已有的C-MUSIC方法進行了擴展，提出了Extended Cyclic MUSIC（簡記為EC-MUSIC）方法[6]。與C-MUSIC方法相比，EC-MUSIC方法更有效地利用了入射信號的信息，因此具有更優(yōu)的測向性能。當入射信號帶寬較為顯著時，YAN H對C-MUSIC方法進行了修正，提出了Improved Cyclic MUSIC方法[7]，極大地減小了實際信號的非零帶寬在C-MUSIC方法中所帶來的測向偏差。該修正思想同樣可用于EC-MUSIC方法中，借以減小對非零帶寬近似窄帶信號的測向偏差[7]。

　　在實際系統(tǒng)中，接收陣列可能存在各種模型誤差，如陣列互耦、通道不一致性等。當此類誤差存在時，C-MUSIC方法和EC-MUSIC方法可能產生測向偏差。本文以常規(guī)陣列中很難消除的陣列互耦效應為對象，通過建立互耦條件下Cyclic MUSIC方法和EC-MUSIC方法的偽數據模型，考查這兩種方法的測向性能受互耦效應的影響情況，給出了均勻線陣和一般線陣中測向偏差的解析表達式，并通過仿真實驗驗證了信號入射方向和陣元間距變化時該理論偏差的準確性。

1 互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向方法的偽數據模型

　　假設K個循環(huán)頻率為的窄帶信號從不同方向=同時入射到M元均勻線陣上，則陣列接收數據模型為：

　　其中x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xM(t)]T為陣列在t時刻的接收數據構成的向量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sK(t)]T為各入射信號在t時刻的波形，A(f，)=為第k個信號在相鄰陣元間的傳播時延）為K個信號的導向矢量，為表述方便，以下的討論中簡記并特別標記為陣列加性噪聲。另外，記信號sk(t)的幅度包絡為gk(t)，即sk(t)=。

　　互耦條件下陣列觀測數據為[8]：

　　其中分別為互耦條件下和理想情況下t時刻陣列的接收數據，C為陣列互耦矩陣。在以下的敘述中，如無特別說明，均表示變量在互耦條件下的取值。

　　第p個陣元t時刻的接收數據為：

　　其中cpu為C的第(p，u)個元素。

　　1.1 互耦條件下C-MUSIC方法的偽數據模型

　　互耦條件下第p個陣元和第q個陣元接收數據的循環(huán)互相關函數為：

　　其中為共軛運算符，為共軛轉置運算符，且：

　　進一步地，其中，

　　結合文獻[3]給出的無互耦偽數據矩陣，得到互耦條件下考慮窄帶信號非零帶寬時的陣列偽數據矩陣為：

　　其中

　　1.2 互耦條件下EC-MUSIC方法的偽數據模型

　　經過類似的推導，得到互耦條件下第p個陣元和第q個陣元接收數據的共軛循環(huán)互相關函數為：

　　因此，其中為轉置運算符。

　　進而得到互耦條件下EC-MUSIC方法的陣列偽數據矩陣為：

　　其中， 

　　結合文獻[6]給出的理想情況下EC-MUSIC方法的偽數據矩陣，得到互耦條件下考慮窄帶信號非零帶寬時的陣列偽數據矩陣為：

2 互耦條件下C-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進行特征值分解，得到互耦條件下C-MUSIC方法的信號子空間和噪聲子空間：

　　結合式(6)、式(10)不難看出，信號子空間與真實信號方向矩陣之間存在如下關系：

　　其中分別表示由矩陣的各列所張成的子空間。

　　如果互耦條件下，空間多個目標仍然可以分辨，則由空間譜函數：

　　估計得到的信號波達方向所構成的陣列導向矢量與真實導向矢量間滿足如下關系：

　　a

　　其中為幅度調整系數。

　　記和為相應的互耦條件下對應的變量。由互耦條件下陣列接收數據的循環(huán)互相關協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計值之后，可用如下罰函數確定

　　參考文獻[9]中的數學推導，可以由以上罰函數得到互耦條件下對第k個信號角度的估計誤差為：

　　其中為電磁波傳播速度，1為全1列向量，其維數由上下文確定，分別為復數的實部和虛部，⊙表示矩陣或向量點乘運算符。

3 互耦條件下EC-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進行特征值分解，得到互耦條件下EC-MUSIC方法中偽數據協(xié)方差矩陣的信號子空間和噪聲子空間：

　　互耦條件下波達方向的估計結果由如下空間譜估計函數得到[6]：

　　其中，表示取L2范數，

　　為了消除加權向量h的影響，將上述空間譜函數轉化為：

　　由于為二階單位矩陣乘以系數，因此當h等于矩陣的最小特征值對應的特征向量時，取最小值，且該最小值等于矩陣的最小特征值。定義該矩陣為E，則：

　　由于因此：

　　其中

　　經過類似參考文獻[6]附錄中的推導過程可以得到結論：進而有：

　　因此，該矩陣的最小特征值為：

　　最終的空間譜函數為：

　　通過搜索的峰值可以得到信號波達方向的估計值由于：

　　因此

　　同時，觀察的特征分解式(16)不難看出：

　　故

　　所以，當有：

　　進而即空間譜函數的峰值出現在滿足式處，即：

　　其中為幅度調整系數。

　　由陣列接收數據的循環(huán)互相關協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計值之后，可用如下罰函數確定：

　　經過一系列的數學推導[9]，可以由以上罰函數得到互耦條件下對第k個窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號的入射角度的估計誤差為：

4 仿真

　　為了驗證以上理論分析結果的正確性，在以下的實驗中均假設一個遠場BPSK信號入射到均勻線性陣列上，并假設窄帶接收陣列由多個細線偶極子天線沿x軸排列而成。信號帶寬與載波頻率之比為0.02，可近似看作窄帶信號，但為了減小非零帶寬給窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向模型所帶來的誤差，測向方法選擇Improved Cyclic MUSIC及其擴展形式。陣列的阻抗由開環(huán)計算方法得到[10]，細線偶極子天線之間的阻抗參考文獻[11]進行計算。

　　(1)實驗1：假設一個相對帶寬為2%的BPSK信號入射到8元均勻線陣上，相鄰陣元間距等于半波長，仿真得到C-MUSIC方法、EC-MUSIC方法的角度估計偏差和由式(15)、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖1所示。

圖1  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨信號入射方向的變化情況

　　(2)實驗2：在實驗1的基礎上保持信號入射方向為20°，相鄰陣元間距從0.1倍波長到半波長之間變化，仿真得到C-MUSIC方法、EC-MUSIC方法的角度估計偏差和由式(15)、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖2所示。

圖2  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨相鄰陣元間距的變化情況

　　上述仿真結果表明，在陣列互耦效應存在的情況下，本文所得到的窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號陣列測向方法及其共軛擴展方法的測向偏差的理論結果都具有較高的準確度，很好地反映了兩種方法的測向誤差隨信號入射方向和陣列結構的變化情況。

5 結束語

　　本文通過分析互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向方法C-MUSIC以及EC-MUSIC的偽數據矩陣模型，借助數學分析得到了這兩種方法的測向偏差受互耦效應影響情況的解析表達式，并借助仿真實驗驗證了所得理論偏差的準確性。該解析結果對陣列誤差條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號陣列測向方法的性能分析以及實際系統(tǒng)的誤差校正都具有較強的指導意義。

　　參考文獻

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　　[5] SCHELL S V.Performance analysis of the cyclic MUSIC method of direction estimation for cyclostationary signals[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(11)：3042-3050.

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