0 引言

　　由于人為調(diào)制等原因，大多數(shù)雷達(dá)和通信信號(hào)都體現(xiàn)出一種特殊的周期性，即循環(huán)平穩(wěn)特性，不同調(diào)制樣式的信號(hào)具有不同的循環(huán)平穩(wěn)特性[1]，因此，基于信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)特性的參數(shù)估計(jì)方法在信號(hào)的選擇性和噪聲抑制方面具有顯著優(yōu)勢[2]。

　　陣列信號(hào)處理是信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)特性成功應(yīng)用的一個(gè)典型例子[2]。GARDNER W A首先把信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)特性引入到陣列測向方法中，提出了相應(yīng)的Cyclic MUSIC（簡記為C-MUSIC）方法[3]。文獻(xiàn)[4，5]分析了C-MUSIC方法對高斯和非高斯窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)測向的性能，但該分析都是基于理想陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行的。隨后，CHARGE P等通過綜合考慮入射信號(hào)的循環(huán)相關(guān)函數(shù)和共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)，對已有的C-MUSIC方法進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了Extended Cyclic MUSIC（簡記為EC-MUSIC）方法[6]。與C-MUSIC方法相比，EC-MUSIC方法更有效地利用了入射信號(hào)的信息，因此具有更優(yōu)的測向性能。當(dāng)入射信號(hào)帶寬較為顯著時(shí)，YAN H對C-MUSIC方法進(jìn)行了修正，提出了Improved Cyclic MUSIC方法[7]，極大地減小了實(shí)際信號(hào)的非零帶寬在C-MUSIC方法中所帶來的測向偏差。該修正思想同樣可用于EC-MUSIC方法中，借以減小對非零帶寬近似窄帶信號(hào)的測向偏差[7]。

　　在實(shí)際系統(tǒng)中，接收陣列可能存在各種模型誤差，如陣列互耦、通道不一致性等。當(dāng)此類誤差存在時(shí)，C-MUSIC方法和EC-MUSIC方法可能產(chǎn)生測向偏差。本文以常規(guī)陣列中很難消除的陣列互耦效應(yīng)為對象，通過建立互耦條件下Cyclic MUSIC方法和EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型，考查這兩種方法的測向性能受互耦效應(yīng)的影響情況，給出了均勻線陣和一般線陣中測向偏差的解析表達(dá)式，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了信號(hào)入射方向和陣元間距變化時(shí)該理論偏差的準(zhǔn)確性。

1 互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)測向方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　假設(shè)K個(gè)循環(huán)頻率為的窄帶信號(hào)從不同方向=同時(shí)入射到M元均勻線陣上，則陣列接收數(shù)據(jù)模型為：

　　其中x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xM(t)]T為陣列在t時(shí)刻的接收數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sK(t)]T為各入射信號(hào)在t時(shí)刻的波形，A(f，)=為第k個(gè)信號(hào)在相鄰陣元間的傳播時(shí)延）為K個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量，為表述方便，以下的討論中簡記并特別標(biāo)記為陣列加性噪聲。另外，記信號(hào)sk(t)的幅度包絡(luò)為gk(t)，即sk(t)=。

　　互耦條件下陣列觀測數(shù)據(jù)為[8]：

　　其中分別為互耦條件下和理想情況下t時(shí)刻陣列的接收數(shù)據(jù)，C為陣列互耦矩陣。在以下的敘述中，如無特別說明，均表示變量在互耦條件下的取值。

　　第p個(gè)陣元t時(shí)刻的接收數(shù)據(jù)為：

　　其中cpu為C的第(p，u)個(gè)元素。

　　1.1 互耦條件下C-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　互耦條件下第p個(gè)陣元和第q個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)函數(shù)為：

　　其中為共軛運(yùn)算符，為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符，且：

　　進(jìn)一步地，其中，

　　結(jié)合文獻(xiàn)[3]給出的無互耦偽數(shù)據(jù)矩陣，得到互耦條件下考慮窄帶信號(hào)非零帶寬時(shí)的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

　　其中

　　1.2 互耦條件下EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　經(jīng)過類似的推導(dǎo)，得到互耦條件下第p個(gè)陣元和第q個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)的共軛循環(huán)互相關(guān)函數(shù)為：

　　因此，其中為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

　　進(jìn)而得到互耦條件下EC-MUSIC方法的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

　　其中， 

　　結(jié)合文獻(xiàn)[6]給出的理想情況下EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)矩陣，得到互耦條件下考慮窄帶信號(hào)非零帶寬時(shí)的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

2 互耦條件下C-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進(jìn)行特征值分解，得到互耦條件下C-MUSIC方法的信號(hào)子空間和噪聲子空間：

　　結(jié)合式(6)、式(10)不難看出，信號(hào)子空間與真實(shí)信號(hào)方向矩陣之間存在如下關(guān)系：

　　其中分別表示由矩陣的各列所張成的子空間。

　　如果互耦條件下，空間多個(gè)目標(biāo)仍然可以分辨，則由空間譜函數(shù)：

　　估計(jì)得到的信號(hào)波達(dá)方向所構(gòu)成的陣列導(dǎo)向矢量與真實(shí)導(dǎo)向矢量間滿足如下關(guān)系：

　　a

　　其中為幅度調(diào)整系數(shù)。

　　記和為相應(yīng)的互耦條件下對應(yīng)的變量。由互耦條件下陣列接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計(jì)值之后，可用如下罰函數(shù)確定

　　參考文獻(xiàn)[9]中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以由以上罰函數(shù)得到互耦條件下對第k個(gè)信號(hào)角度的估計(jì)誤差為：

　　其中為電磁波傳播速度，1為全1列向量，其維數(shù)由上下文確定，分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，⊙表示矩陣或向量點(diǎn)乘運(yùn)算符。

3 互耦條件下EC-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進(jìn)行特征值分解，得到互耦條件下EC-MUSIC方法中偽數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的信號(hào)子空間和噪聲子空間：

　　互耦條件下波達(dá)方向的估計(jì)結(jié)果由如下空間譜估計(jì)函數(shù)得到[6]：

　　其中，表示取L2范數(shù)，

　　為了消除加權(quán)向量h的影響，將上述空間譜函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

　　由于為二階單位矩陣乘以系數(shù)，因此當(dāng)h等于矩陣的最小特征值對應(yīng)的特征向量時(shí)，取最小值，且該最小值等于矩陣的最小特征值。定義該矩陣為E，則：

　　由于因此：

　　其中

　　經(jīng)過類似參考文獻(xiàn)[6]附錄中的推導(dǎo)過程可以得到結(jié)論：進(jìn)而有：

　　因此，該矩陣的最小特征值為：

　　最終的空間譜函數(shù)為：

　　通過搜索的峰值可以得到信號(hào)波達(dá)方向的估計(jì)值由于：

　　因此

　　同時(shí)，觀察的特征分解式(16)不難看出：

　　故

　　所以，當(dāng)有：

　　進(jìn)而即空間譜函數(shù)的峰值出現(xiàn)在滿足式處，即：

　　其中為幅度調(diào)整系數(shù)。

　　由陣列接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計(jì)值之后，可用如下罰函數(shù)確定：

　　經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)[9]，可以由以上罰函數(shù)得到互耦條件下對第k個(gè)窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的入射角度的估計(jì)誤差為：

4 仿真

　　為了驗(yàn)證以上理論分析結(jié)果的正確性，在以下的實(shí)驗(yàn)中均假設(shè)一個(gè)遠(yuǎn)場BPSK信號(hào)入射到均勻線性陣列上，并假設(shè)窄帶接收陣列由多個(gè)細(xì)線偶極子天線沿x軸排列而成。信號(hào)帶寬與載波頻率之比為0.02，可近似看作窄帶信號(hào)，但為了減小非零帶寬給窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)測向模型所帶來的誤差，測向方法選擇Improved Cyclic MUSIC及其擴(kuò)展形式。陣列的阻抗由開環(huán)計(jì)算方法得到[10]，細(xì)線偶極子天線之間的阻抗參考文獻(xiàn)[11]進(jìn)行計(jì)算。

　　(1)實(shí)驗(yàn)1：假設(shè)一個(gè)相對帶寬為2%的BPSK信號(hào)入射到8元均勻線陣上，相鄰陣元間距等于半波長，仿真得到C-MUSIC方法、EC-MUSIC方法的角度估計(jì)偏差和由式(15)、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖1所示。

圖1  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨信號(hào)入射方向的變化情況

　　(2)實(shí)驗(yàn)2：在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上保持信號(hào)入射方向?yàn)?0°，相鄰陣元間距從0.1倍波長到半波長之間變化，仿真得到C-MUSIC方法、EC-MUSIC方法的角度估計(jì)偏差和由式(15)、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖2所示。

圖2  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨相鄰陣元間距的變化情況

　　上述仿真結(jié)果表明，在陣列互耦效應(yīng)存在的情況下，本文所得到的窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)陣列測向方法及其共軛擴(kuò)展方法的測向偏差的理論結(jié)果都具有較高的準(zhǔn)確度，很好地反映了兩種方法的測向誤差隨信號(hào)入射方向和陣列結(jié)構(gòu)的變化情況。

5 結(jié)束語

　　本文通過分析互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)測向方法C-MUSIC以及EC-MUSIC的偽數(shù)據(jù)矩陣模型，借助數(shù)學(xué)分析得到了這兩種方法的測向偏差受互耦效應(yīng)影響情況的解析表達(dá)式，并借助仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所得理論偏差的準(zhǔn)確性。該解析結(jié)果對陣列誤差條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)陣列測向方法的性能分析以及實(shí)際系統(tǒng)的誤差校正都具有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

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