0 引言

    擴(kuò)頻通信技術(shù)是一種十分重要的抗干擾通信技術(shù)，具有抗干擾能力強(qiáng)、可進(jìn)行多址通信、隱蔽性好、抗多徑衰落等多種優(yōu)勢，在移動通信、衛(wèi)星導(dǎo)航、信號偵查與探測等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用^[1]。擴(kuò)頻序列是影響擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能的重要因素，近些年來，混沌序列由于其初值敏感性、類隨機(jī)特性、數(shù)量眾多等性質(zhì)^[2]在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用,目前研究比較深入的有改進(jìn)型Logistic映射^[3]、Chebyshev映射^[4]、Tent映射^[5]等。上述映射雖然擁有良好的類隨機(jī)特性和相關(guān)性，迭代公式簡單，工程上易于實現(xiàn)，但是均為一維單級迭代映射，結(jié)構(gòu)簡單，生成的混沌序列復(fù)雜度不夠高，通過相空間重構(gòu)、反向迭代等方法被破譯的可能性較大^[6]。因此本文提出了一種通過迭代級聯(lián)混沌映射構(gòu)造新型擴(kuò)頻序列的方法，將迭代方程的輸入輸出值在不同的單級混沌映射間切換，在反復(fù)迭代的過程中改善了系統(tǒng)的動力學(xué)特性，擴(kuò)展了系統(tǒng)的密鑰空間，增加了混沌序列的復(fù)雜度，更有利于提高擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的安全保密性。

1 迭代級聯(lián)混沌映射

1.1 迭代級聯(lián)混沌映射的提出

    改進(jìn)型Logistic混沌映射定義為^[3]：

    當(dāng)初始值x₀∈(-1，1)，分型參數(shù)μ=2時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，并且為滿映射。

    Chebyshev混沌映射定義為^[4]：

    初始值x₀∈(-1，1)，ω為映射的階數(shù)，當(dāng)ω=2ⁿ時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

    考慮到改進(jìn)型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射具有相同的取值范圍和相同的概率密度分布函數(shù)，為了提高混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度和安全性，可將上述兩種映射通過迭代級聯(lián)的方法構(gòu)造出一種新型混沌映射，將一個混沌映射的輸出作為另一個混沌映射的初值并進(jìn)行反復(fù)迭代^[7]。每次迭代在兩種單級混沌映射中隨機(jī)選擇一種，當(dāng)映射總迭代次數(shù)為N時，整個混沌系統(tǒng)共有2^N種不同的混沌映射組合方式，大大提高了混沌系統(tǒng)的密鑰空間。由于每次迭代的初值在不同的混沌映射中切換，有效提高了相空間軌道的模糊性，進(jìn)一步提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度、保密性、安全性。當(dāng)每次迭代都選擇同一種混沌映射時，迭代級聯(lián)混沌映射將退化為普通的單級映射，此時改進(jìn)型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射成為新型混沌映射的兩種特殊形式。

    鑒于迭代級聯(lián)混沌映射組合方法多達(dá)2^N種，難以逐一分析，本文針對其中一種映射交替迭代的特殊情況進(jìn)行分析。新型混沌映射數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

    給定初值x₀后，迭代公式在兩種單級混沌映射中交替切換，每次迭代的結(jié)果由兩種單級混沌映射的相關(guān)參數(shù)和迭代次數(shù)共同決定，大大提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度和安全性，下面對該新型混沌映射的性質(zhì)進(jìn)行分析。

1.2 新型混沌映射遍歷性分析

    分岔圖可以清楚地反映出分形參數(shù)μ與混沌映射離散數(shù)值分布的關(guān)系^[6]。圖1中給出了改進(jìn)型Logistic混沌映射和新型混沌映射的分岔圖。

    由圖1可以看出對于改進(jìn)型Logistic混沌映射，只有在分形參數(shù)μ=2時，迭代結(jié)果才會映射在整個[-1，1]區(qū)間，這種狀態(tài)被稱作滿映射狀態(tài)。當(dāng)分形參數(shù)取其他數(shù)值時，混沌序列迭代數(shù)值范圍縮小，數(shù)值分布集中，系統(tǒng)的遍歷性和隨機(jī)性降低。而本文提出的新型混沌映射擴(kuò)展了滿映射狀態(tài)的分布區(qū)間，使分形參數(shù)μ的可選取范圍大大增加，這進(jìn)一步擴(kuò)展了混沌系統(tǒng)的密鑰空間，系統(tǒng)安全性、保密性能得到提升。

2 混沌序列性能分析

2.1 混沌序列的數(shù)字量化

    為了將混沌映射產(chǎn)生的實值序列應(yīng)用到擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，需要對實值序列進(jìn)行數(shù)字量化處理，將實值序列轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制序列。二值量化法是一種最常見的數(shù)值量化方法，其核心思想是尋找一個判決門限T，將序列數(shù)值與門限T比較，方法如下式：

    二值量化法原理簡單，但是判決門限T的選擇將影響到混沌擴(kuò)頻序列的平衡性，擴(kuò)頻序列的平衡性反映了二進(jìn)制序列中1與-1數(shù)量的均勻程度，其定義式為:

其中U與V分別表示序列中1與－1的數(shù)目，N表示序列長度?；煦缧蛄械钠胶庑耘c載波抑制度有密切的關(guān)系，低平衡性的混沌序列會導(dǎo)致直擴(kuò)系統(tǒng)的載漏增大，將破壞擴(kuò)頻系統(tǒng)保密性、抗干擾和抗偵破的能力^[8]。選擇合適的判決門限，提高序列的平衡性對提升擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的性能有重要的意義。下面對迭代級聯(lián)混沌映射的判決門限進(jìn)行分析。

    由圖1可以看出，雖然保證數(shù)值分布為滿映射的分形參數(shù)μ的取值范圍大大增加，但當(dāng)分形參數(shù)μ=2時混沌映射數(shù)值分布更加均勻，有更良好的隨機(jī)性，因此在新型混沌映射模型式(5)中，設(shè)置相關(guān)參數(shù)μ=2，ω=4，迭代次數(shù)10 000次，對其數(shù)值在[-1，1]區(qū)間上的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖2所示。

    由圖2可以看出在給定參數(shù)下，新型混沌映射的數(shù)值分布規(guī)律與構(gòu)成新型混沌映射的兩個子映射的概率密度分布函數(shù)類似，兩邊高、中間窄，近似關(guān)于x=0成軸對稱分布，因此可以選取T=0作為新型混沌映射的判決門限。

2.2 平衡性分析

    下面分析新型混沌序列二值化后的平衡性。隨機(jī)選取50個不同的初值，計算平衡性的平均值并繪出曲線，結(jié)果如圖3所示。可以看出隨著序列的長度增加，序列的平衡性越來越好，新型混沌序列的平衡性優(yōu)于改進(jìn)型Logistic混沌序列和Chebyshev混沌序列。

2.3 復(fù)雜度分析

    有限長序列的復(fù)雜度是指它與隨機(jī)序列的相似程度，可以在一定程度上反映出通信系統(tǒng)的保密性能和抗截獲性能。傳統(tǒng)偽隨機(jī)擴(kuò)頻序列的復(fù)雜度通常采用Berlekamp-Massey算法進(jìn)行衡量，但該算法是一種計算線性復(fù)雜度的算法，有較大的局限性，并不適合用來衡量混沌序列的復(fù)雜度^[9]。文獻(xiàn)[10]提出了一種通過近似熵（ApEn）算法來衡量混沌擴(kuò)頻序列復(fù)雜度的方法，該算法通過描述序列維數(shù)增加時混沌軌道的分離程度來衡量混沌序列的復(fù)雜度，物理意義清晰，計算方法簡單易實現(xiàn)，其計算步驟如下：

    (1)混沌序列長度為N，以序列值域為樣本得到N點數(shù)據(jù)a(1)，a(2)，…，a(N)。

    (2)構(gòu)造m維向量組：

    (5)定義近似熵(ApEn)為：

    ApEn數(shù)值越大，混沌序列的復(fù)雜度越高。上述參數(shù)中m通常取1或2，r通常取0.1~0.25倍樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差^[9]。

    下面對經(jīng)過二值化的新型混沌序列、Logistic混沌序列、Chebyshev混沌序列三者的ApEn進(jìn)行仿真計算，計算參數(shù)為N分別取1 000、2 000、4 000，r取0.12，m取2，計算結(jié)果如表1所示。由表1可以看出新型混沌序列的復(fù)雜度最高，改進(jìn)型Logisitc混沌序列次之，Chebyshev混沌序列復(fù)雜度最低。這也證實了本文提出用迭代級聯(lián)混沌映射構(gòu)造的新型混沌序列確實具有更高的復(fù)雜度，更有利于提高通信系統(tǒng)的保密性和抗截獲性。

2.4 相關(guān)性分析

    相關(guān)性是衡量擴(kuò)頻序列性能的重要指標(biāo)，與擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的抗干擾能力和抗多址能力密切相關(guān)。理想的擴(kuò)頻序列應(yīng)該具備類似白噪聲一樣尖銳的自相關(guān)函數(shù)，和處處為零的互相關(guān)函數(shù)^[11]。理論上無限長混沌序列可以滿足上述性質(zhì)，但在實際應(yīng)用中混沌序列不可能取到無限長，要經(jīng)過截短處理后才能使用，這在一定程度上破壞了混沌序列的相關(guān)特性。圖4顯示一個初值為x=0.1，參數(shù)設(shè)定為μ=2，ω=4，序列長度為2 000的新型混沌序列自相關(guān)函數(shù)值和互相關(guān)函數(shù)值的分布情況，從圖中可以看出新型混沌序列的自相關(guān)函數(shù)值有尖銳的相關(guān)峰，自相關(guān)函數(shù)旁瓣值和互相關(guān)函數(shù)值均接近于零,表明新型混沌序列有良好的相關(guān)性能。

3 擴(kuò)頻通信仿真

    為了進(jìn)一步驗證本文提出的新型迭代級聯(lián)混沌擴(kuò)頻序列的性能,通過MATLAB軟件對3種混沌序列進(jìn)行擴(kuò)頻通信仿真。仿真條件設(shè)定序列碼長1 024，信噪比取值范圍是[-15 dB，10 dB]，調(diào)制方式為BPSK，混沌序列參數(shù)選取μ=2、ω=4，每種混沌序列隨機(jī)選取1 000個初值設(shè)并計算誤碼率平均值,經(jīng)過AWGN信道后誤碼率曲線如圖5所示。由圖5可以看出3種混沌序列在理想高斯白噪聲信道下誤碼率曲線相互交叉，基本重合，誤碼率性能相當(dāng)。

    下面考慮AWGN信道中加入干擾信號的情況，仿真條件不變，在高斯信道中加入單音干擾信號，誤碼率曲線如圖6所示，圖中可以看出新型混沌序列的誤碼率明顯低于改進(jìn)型Logistic混沌序列和Chebyshev混沌序列，說明新型混沌序列相對于其他兩種混沌序列具有更強(qiáng)的抗干擾能力。

4 結(jié)論

    本文在改進(jìn)型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射的基礎(chǔ)上提出了一種新型迭代級聯(lián)混沌映射。其組合方式多樣，迭代方程由多個參數(shù)共同決定，有效提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度和安全性。通過對該映射進(jìn)行遍歷性分析，發(fā)現(xiàn)其滿映射分布區(qū)間更廣，隨機(jī)性能更好。對新型混沌序列二值化判決門限的選取進(jìn)行了分析，仿真對比驗證3種混沌序列的平衡性、復(fù)雜度和相關(guān)性，結(jié)果表明，本文提出的新型混沌序列復(fù)雜度高，具有良好的相關(guān)性和平衡性，抗干擾能力更強(qiáng)，更加適用于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中。

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