王蔚
　?。暇┼]電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210000）

       摘要：該文主要是利用牽制控制方法對(duì)一類具有時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步控制。該方法不同于最早的全局控制，僅是對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制。將這些節(jié)點(diǎn)的輸出量的差值作為控制器從而達(dá)到等同于全局控制的效果。同時(shí)根據(jù)最新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控原理計(jì)算出牽制控制所需要的最少節(jié)點(diǎn)數(shù)目，繼而通過設(shè)定合適的Lyapunov函數(shù)，并基于穩(wěn)定性和線性矩陣不等式等理論得出滿足要求的控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。最后，采用小世界模型進(jìn)行仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。
　　關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；牽制控制；狀態(tài)延時(shí)；最大匹配　　

0引言
　　復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)幾乎隨處可見，如萬維網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、無線通訊網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)等。這些網(wǎng)絡(luò)都與人們的生活息息相關(guān)，對(duì)這些網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究不但會(huì)促進(jìn)某些科學(xué)分支的發(fā)展，還會(huì)極大地改變?nèi)祟惖纳罘绞?。因此?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究尤為重要。其中，網(wǎng)絡(luò)同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中最重要的一個(gè)分支。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題可以分為內(nèi)部同步和外部同步。內(nèi)部同步是指網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)最終都收斂于同一個(gè)平衡點(diǎn)；外部同步是指不同網(wǎng)絡(luò)間達(dá)到的一種平衡狀態(tài)［12］。
　　最早關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究多是基于理想狀態(tài)下進(jìn)行的。如今，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在建模控制及優(yōu)化時(shí)，通常會(huì)考慮一些不確定因素，如存在時(shí)延。例如，參考文獻(xiàn)［3］研究了兩類時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，其中一類網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)具有不同時(shí)延，另一類網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)不僅狀態(tài)具有不同時(shí)延，每個(gè)節(jié)點(diǎn)本身的時(shí)延也不同。針對(duì)這兩類網(wǎng)絡(luò)，利用矩陣測(cè)度理論給出了網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù)。參考文獻(xiàn)［4］考慮在噪聲條件下，研究具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的外部同步問題，并采用自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)控制器。上述這些文獻(xiàn)研究的時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都是連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，而現(xiàn)實(shí)生活中更多的網(wǎng)絡(luò)是離散型網(wǎng)絡(luò)，如社會(huì)中的人際網(wǎng)絡(luò)、生物學(xué)中的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及工程應(yīng)用中的電力網(wǎng)絡(luò)等。因此研究離散型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更具有現(xiàn)實(shí)意義。本文主要研究關(guān)于離散型時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部同步控制［56］。
　　最早對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制的方法是全局控制，就是對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)都施加控制器。但由于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，若對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都施加控制會(huì)使成本增高，因此通常只是控制部分有利的節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的控制。這就是目前研究較多的控制方法——牽制控制［7］。牽制控制同樣分為內(nèi)部牽制和外部牽制控制。本文主要利用牽制控制使所研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到外部同步。
　　參考文獻(xiàn)［711］都是對(duì)牽制控制的研究，多是基于兩個(gè)基本問題：一是可行性問題，即僅僅控制少部分節(jié)點(diǎn)能否達(dá)到網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定同步；二是有效性問題，即選取哪些節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行控制。參考文獻(xiàn)［78］提出了牽制控制的策略，即對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性反饋控制，使網(wǎng)絡(luò)所有的節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步狀態(tài)。參考文獻(xiàn)［9］利用一個(gè)節(jié)點(diǎn)來牽制控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)；參考文獻(xiàn)［10］利用自適應(yīng)的方法來牽制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，自適應(yīng)牽制的方法克服了預(yù)估反饋增益的問題。上述這些文獻(xiàn)研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本都是在理想情況下的連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，具有一定的局限性。
　　在分析并結(jié)合上述這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建出一種更為合理的離散型時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并利用Poission過程來描述耦合時(shí)延。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，同時(shí)結(jié)合隨機(jī)分析法，給出了離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在存在耦合時(shí)延時(shí)控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。最后，以包含20個(gè)節(jié)點(diǎn)的離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為例，進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證本文所提出的控制設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。
1問題描述
　　假設(shè)一個(gè)具有時(shí)變時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：
　　

　　其中,i=1,2,3,...,N,節(jié)點(diǎn)i具有n個(gè)狀態(tài)：xi(k)=(xi1(k),xi2(k),...,xin(k))T, f(xi(k))=Aixi(k),Ai∈Rn×n,A=diag(A1,A2,A3,...,AN),?！蔙n×n是一個(gè)內(nèi)部耦合矩陣。W=(wij)∈RN×N,表示網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中wij0(i≠j),但不能全部為0?！芅m=1wkm=∑Nm=1wmk=0(k=1,2,3,...,N)。τ(k)為網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)變時(shí)滯，假設(shè)其滿足Poission分布如下：
　　Prob(τ(k)=τ)=λττ!e－τ,τ∈R,0<λ<1，方差σ2=λ。節(jié)點(diǎn)i的輸出yi(k)∈Rm,C=diag(C1,C2,C3,...,CN)。
2牽制控制器的設(shè)計(jì)
　　本文采用牽制控制的思想，假設(shè)控制的節(jié)點(diǎn)屬于一個(gè)集合S，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)屬于集合N。
　　

　　用式（2）減去式（1）可以得到誤差系統(tǒng)如下：
　　

　　設(shè)計(jì)如下的牽制反饋控制器：
　　

　　在下面論證過程中會(huì)用到以下引理。
　　

　　這樣狀態(tài)估計(jì)器如（式（2））在牽制控制器ui的選擇控制下可以有效地估計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（如式（1））的狀態(tài)。
　　證明：構(gòu)建Lyapunove函數(shù)
　　

　　W是將W中元素wij替換為a2λmax(ΓTΓ)w2ij后的矩陣。因此，由Lyapunov定理可知：只要ΔV(k)≤0，則當(dāng)k→∞時(shí)，估計(jì)誤差就將趨于0，繼而可以得出狀態(tài)估計(jì)器可以有效地估計(jì)原網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)信息。從而得出定理1的結(jié)論。
3數(shù)值仿真
　　仿真中，利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型。該模型是由20個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三種狀態(tài)，可表示為xi=(xi1,xi2,xi3)T,i=1,2,3...,20，參數(shù)可設(shè)定如下：
　

　　根據(jù)最大匹配算法可以算出該網(wǎng)絡(luò)至少要控制3個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)上述判斷選取增益矩陣K=(0.9,0.8,0.9)T,其仿真結(jié)果如下圖1~圖3所示，3幅圖中橫坐標(biāo)代表時(shí)間刻度，豎坐標(biāo)ei1(k)、ei2(k)、ei3(k)表示節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差。

　　由仿真圖可知，節(jié)點(diǎn)誤差收斂于零，故狀態(tài)估計(jì)器（式（2））在牽制反饋控制器ui的作用下可以有效地估計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（式（1））的狀態(tài)。
4結(jié)論
　　本文主要研究了具有狀態(tài)延時(shí)的離散時(shí)間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制狀態(tài)估計(jì)的問題。將牽制控制的方法運(yùn)用到狀態(tài)延時(shí)離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，即通過控制網(wǎng)絡(luò)中少部分節(jié)點(diǎn)，以達(dá)到對(duì)整個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的目的，大大降低了狀態(tài)估計(jì)的成本，具有實(shí)際工程運(yùn)用的價(jià)值。利用Lyapunove穩(wěn)定性理論，給出了牽制控制狀態(tài)估計(jì)器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，并同時(shí)在理論上給出了需要牽制多少個(gè)節(jié)點(diǎn)才能達(dá)到有效進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的要求。最后，通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器的可行性和有效性。
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