0 引言

　　被廣泛應用的三相電壓型逆變器是由多個全控型開關器件、二極管和濾波電感、電容等組成的一類時變的、耦合的、多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)[1]，為方便控制，人們總希望將其化為線性系統(tǒng)。精確線性化這種非線性控制方法通過非線性坐標變換可將原來的非線性系統(tǒng)化為線性系統(tǒng)，從而將非線性系統(tǒng)的綜合問題化為線性系統(tǒng)的綜合問題[2]。經(jīng)文獻檢索，該方法已被應用到Buck變換器、逆變器等電力電子變換器系統(tǒng)中[3-4]。在上述文獻中，應用精確線性化得到的線性系統(tǒng)采用線性控制策略時，多結(jié)合最優(yōu)控制方法。在選取二次型性能指標中的對稱矩陣Q和R時，在文獻[3]中采用經(jīng)驗矩陣數(shù)值，對怎樣選取、如何選取并未給出依據(jù)；在文獻[4]中選取的Q矩陣與系統(tǒng)的負載參數(shù)有關，一旦選取特定的Q矩陣，當負載參數(shù)發(fā)生變化時，采用原來反饋增益矩陣，系統(tǒng)的動態(tài)響應是否仍然較優(yōu)值得商榷。如何選擇反饋增益矩陣參數(shù)，減少其隨機性是值得探討的問題。

　　反步法是一種對帶有參數(shù)嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)有效的設計方法，比較適合在線控制[5]。精確線性化得到的線性系統(tǒng)一般均可化為帶有參數(shù)嚴格反饋形式模型，再對其采用反步法，比較容易得到系統(tǒng)的控制規(guī)律。本文將這兩種方法結(jié)合起來應用于三相電壓型逆變器系統(tǒng)中，并推導出一種非線性復合控制的模型，為逆變器的有效控制提供理論依據(jù)。

1 三相電壓型逆變器的線性化分析

　　1.1 三相電壓型逆變器的數(shù)學模型分析

　　圖1為三相電壓型逆變器的電路拓撲，圖中sij(i∈{a，b，c})，j∈{p，n})為全控型器件，Lf、Cf為濾波電感和電容，R為負載電阻。電路工作時每相橋臂中僅有一個開關器件導通，定義開關函數(shù)Si，當Si=1表示與p相連，Si=0表示與n相連。定義虛擬線電流iab=ia-ib，ibc=ib-ic，ica=ic-ia，線開關函數(shù)sab=sa-sb，sbc=sb-sc，sca=sc-sa。依據(jù)6個開關的8種狀態(tài)和基爾霍夫定律可以得到[1]：

　　對于式(1)這樣的多輸入、多輸出的非線性系統(tǒng)，存在uAB+uBC+uCA=0，iab+ibc+ica=0。式(1)中獨立的微分方程數(shù)僅有4個，不妨取式(1)中的第1、2、4、5行。引入開關周期平均算子式(2)將式(1)離散系統(tǒng)變換為連續(xù)的系統(tǒng)[1]，其中TS為開關周期，x(t)為電路中的某電量。

　　對式(1)求開關周期平均后，得到式(3)，式中各量均為開關周期平均值，為討論方便，各變量仍保持原有書寫格式。dab=da-db，dbc=db-dc，dca=dc-da為線間占空比。

　　1.2 三相電壓型逆變器的線性化條件驗證

　　對于式(3)選取狀態(tài)變量為x，控制輸入變量為占空比d，輸出變量為線電壓y。具體含義為x=[x1 x2 x3 x4]T=[iab ibc uAB uBC]T，d=[dab dbc]T，y=[h1(x) h2(x)]T=[uAB uBC]T。系統(tǒng)的維數(shù)為4，式(3)對應的仿射非線性數(shù)學模型為式(4)：

　　依據(jù)微分幾何理論，如果滿足下述2個條件則系統(tǒng)可實現(xiàn)線性化[2]：

　　(1)矩陣[g1(x) g2(x) adf g1(x) adf g2(x)]在x0鄰域內(nèi)的秩為4。

　　(2)下述4個向量場的集合在x=x0處每個都是對合的：

　　D1={g1(x)}，D2={g1(x)，g2(x)}，

　　D3={g1(x)，g2(x)，adf g1(x)}，

　　D4={g1(x)，g2(x)，adf g1(x)，adf g2(x)}。

　　對條件(1)的驗證，通過計算李括號得到式(5)：

　　顯然[g1(x) g2(x) adf g1(x) adf g2(x)]為對角陣，且與x無關，可以驗證它在全局范圍內(nèi)的秩均為4。即條件(1)滿足。將式(5)帶入向量場D1、D2、D3、D4中，由于它們與x無關為恒向量場，任意兩個恒向量場的李括號為零向量，因此D1、D2、D3、D4均是對合的，即條件(2)滿足。當系統(tǒng)滿足條件(1)和(2)時，可以選取一組輸出函數(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)反饋線性化。對輸出h1(x)=x3，計算相應的李導數(shù)有：

　　根據(jù)上式計算的結(jié)果和系統(tǒng)相對階的概念可知，對輸出h1(x)的關系度為2[3]。對輸出h2(x)=x4，計算相應的李導數(shù)，同理可得到對輸出h2(x)的關系度為2。通過坐標變換可將原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個能控的線性系統(tǒng)。

　　1.3 精確線性化

　　令z1=h1(x)，z2=Lf   h1(x)，z3=h2(x)，z4=Lf   h2(x)，并對其求導可得到式(11)：

2 三相電壓型逆變器的反步設計方法

　　將式(12)所示的系統(tǒng)模型寫成具有參數(shù)嚴格反饋形式的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的一般表達式[2]：

　　其中z1=[z1  z3]T=[x3  x4]T=[uAB  uBC]T，z2=[z2  z4]T，v=[v1  v2]T，F(xiàn)1(z1)=0，F(xiàn)2(z1，z2)=0，G1(z1)=I2×2，G2(z1，z2)=I2×2。系統(tǒng)的階數(shù)為2，應用反步設計法時可按兩步進行：

　　(1)定義系統(tǒng)跟蹤誤差相量矩陣E1為式(15)，式中z1ref為輸出期望值。

　　對上式進行求導并整理后得到：

　　定義輔助誤差相量E2矩陣函數(shù)為：

　　其中z2ref為虛擬控制相量。將式(17)代入式(16)中可得：

　　設計虛擬控制相量z2ref為：

　　式中k1=k11  00   k12為反饋增益矩陣，k11、k12為正實數(shù)。將式(19)代入式(18)得到：

　　對于式(20)，如果E2→0，則E1→0。

　　選取Lyapunov 函數(shù)為：

　　對式(21)求導，可得到：

　　(2)對式(18)求導得到：

　　設計控制相量v為：

　　式中k2=k21  00   k22為反饋增益矩陣，k21、k22為正實數(shù)。將式(24)代入式(23)得到：

　　選取Lyapunov函數(shù)為：

　　對式(26)求導可得到：

　　根據(jù)Lyapunov 第二方法可判定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

3 實驗驗證

　　實驗參數(shù)：給定三相對稱輸出電壓峰值為100 V，輸出頻率設定為50 Hz，udc=150 V，TS=0.1 ms，R=20 ，Lf=5 mH，Cf=5 F。反饋增益選為：k11=k12=6 000，k21=k22=12 000。圖2為起動實驗波形，圖3為負載突變時波形，負載由20 跳變?yōu)?0 ，然后再由10 跳變?yōu)?0 。圖4為直流電壓突變實驗波形，其中直流電壓變化范圍為150 V→120 V→150 V。從實驗結(jié)果可看出系統(tǒng)具有較好的動態(tài)、靜態(tài)性能，對負載擾動、直流電壓擾動具有較強的抗擾能力。

4 結(jié)論

　　本文將三相逆變器系統(tǒng)的仿射非線性數(shù)學模型，經(jīng)過精確線性化得到具有參數(shù)嚴格反饋形式模型，再應用反步設計方法，推導出系統(tǒng)的控制模型。最后通過實驗驗證了該復合控制策略的有效性。

　　參考文獻

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　　[2] 胡躍明．非線性控制系統(tǒng)理論與應用[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2005：188-193．

　　[3] 鄧衛(wèi)華，張波，胡宗波，等．CCM Buck變換器的狀態(tài)反饋精確線性化的非線性解耦控制研究[J]．中國電機工程學報，2004，24(5)：120-125.

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　　[5] YANG J H，WU J，HU Y M．Backstepping method and its applications to nonlinear robust  control[J]．Control and Decision，2002，17(S)：64l-647.