0 引言

    隨著無人機(jī)技術(shù)的不斷完善，無人機(jī)的應(yīng)用越來越廣泛。如何使無人機(jī)在規(guī)劃的某片區(qū)域中尋找出一條從起始點到目標(biāo)點既安全又滿足相應(yīng)約束條件且所花費代價最小的航跡一直是研究的熱點^[1]。標(biāo)準(zhǔn)解決航跡規(guī)劃問題的順序是按照預(yù)先選定好的航跡代價函數(shù)，通過一定的搜索算法，選出總的代價函數(shù)值最小的路線作為規(guī)劃出的航跡^[2-3]。

    在路徑規(guī)劃中，常用的搜索算法有A*算法、動態(tài)規(guī)劃法、Dijkstra算法、遺傳算法等。在這些算法中，由于A*算法計算簡單，算法實現(xiàn)容易且在理論上能夠保證規(guī)劃出的路徑全局最優(yōu)，因此得到廣泛應(yīng)用^[3]。但是把A*算法應(yīng)用在航跡規(guī)劃中搜索空間將急劇增加，由此導(dǎo)致收斂時間變長，所需內(nèi)存空間增加。針對這個問題，本文提出把無人機(jī)的機(jī)動限制結(jié)合到搜索空間中從而縮小搜索空間，同時對A*算法中的open表的管理進(jìn)行改進(jìn)，以提高收斂時間，縮小內(nèi)存使用量。

1 改進(jìn)A*算法實現(xiàn)航跡規(guī)劃

    航跡規(guī)劃的本質(zhì)是在規(guī)劃的區(qū)域內(nèi)，在給定的約束條件下尋找一條從起點到目標(biāo)點的最優(yōu)或次優(yōu)的飛行航跡。傳統(tǒng)的規(guī)劃算法是基于預(yù)先確定的航跡代價函數(shù)生成一條具有最小代價的航跡^[4-5]。然而，在許多應(yīng)用中，這樣得到的最小代價的航跡并不能滿足實際需求。在實際應(yīng)用中，航跡規(guī)劃需考慮無人機(jī)的機(jī)動性能、碰撞概率、飛行時間等約束條件，同時由于無人機(jī)航跡規(guī)劃的地域廣闊，因此形成的搜索空間大。通常的搜索算法要獲得一條最優(yōu)航跡需要很長的收斂時間和極大的內(nèi)存空間，所以在實際應(yīng)用中需對搜索算法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)。由于A*算法計算速度快、實現(xiàn)容易且能達(dá)到全局最優(yōu)的特點，因此選擇對A*算法進(jìn)行改進(jìn)，使其適用于無人機(jī)航跡規(guī)劃。

1.1 改進(jìn)A*算法

    無人機(jī)由于受機(jī)動性能、最小飛行距離、航跡距離、飛行高度等的約束，通過A*規(guī)劃出來的航跡不一定能夠滿足無人機(jī)的實際飛行條件。在擴(kuò)展節(jié)點時通常把相關(guān)的約束條件結(jié)合到搜索算法中，這樣既有效減少了搜索空間，也縮短了規(guī)劃所需的時間。無人機(jī)飛行時為達(dá)到最佳狀態(tài)一般需要滿足的約束條件有：最小飛行距離、最大拐彎角、最大爬升/下滑角、最長飛行距離、最低離地高度^[6]。

    假設(shè)給定了起始點和目標(biāo)位置，一條從起始位置到當(dāng)前節(jié)點的航跡，最小航跡段長度為L，最大拐彎角為φ，最大爬升/下滑角為θ，則從當(dāng)前位置在最小飛行距離、最大拐彎角以及最大爬升/下滑角的約束條件下能夠到達(dá)的就只有有限的位置空間。如圖1所示，節(jié)點o處的縱向的張角為2θ₂，在水平面上的張角為2θ₁，扇面的半徑為最小飛行距離。

    圖1是未經(jīng)離散化的可搜索空間示意圖。在離散規(guī)劃空間時，柵格的邊長長度為無人機(jī)的最小飛行距離。把規(guī)劃空間離散化后結(jié)合無人機(jī)的約束條件可縮小算法搜索空間。無人機(jī)飛行是有方向性的，在進(jìn)行當(dāng)前節(jié)點擴(kuò)展時，飛行反方向的節(jié)點以及垂直于該飛行方向的鄰接節(jié)點都可以裁剪掉。這樣在水平方向上的最大拐彎角就可以限制在3個搜索空間中，垂直方向上的最大爬升/下滑角也同樣可以限制在3個搜索空間中，這樣把擴(kuò)展當(dāng)前節(jié)點的后繼節(jié)點的搜索空間縮小為9個。如圖2所示，B節(jié)點是當(dāng)前新擴(kuò)展節(jié)點，A點是B點的父親節(jié)點，C點為新擴(kuò)展節(jié)點的鄰接計算節(jié)點。

    在三維空間中，每個柵格都是一個立方體，在水平剖面和豎直剖面上都要滿足最小步長、最大拐彎角和最大爬升/下滑角。但是在實際控制中，最大轉(zhuǎn)彎角和最大爬升/下滑角可以通過一定的關(guān)系轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化為其他直接控制的參數(shù)來滿足要求。下面就分別對水平面和豎直平面進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1.1.1 水平面關(guān)系轉(zhuǎn)化

    假設(shè)無人機(jī)當(dāng)前節(jié)點的坐標(biāo)為(x，y，z)，新擴(kuò)展的節(jié)點坐標(biāo)為(x₁，y₁，z₁)，航跡偏角為θ，航跡傾斜角為β，轉(zhuǎn)彎半徑為R，最大側(cè)向過載為N_ymax，S₁、S₂分別為水平面上兩節(jié)點的擴(kuò)展步長。三維航跡規(guī)劃是基于地球坐標(biāo)系，水平方向是通過改變航向來躲避障礙物，因此在水平方向上的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖3所示。

    根據(jù)圖3的幾何關(guān)系可知新擴(kuò)展的節(jié)點坐標(biāo)為：

1.1.2 縱向關(guān)系轉(zhuǎn)化

    無人機(jī)的縱向機(jī)動性能主要受到最大爬升/下滑角的限制。在低空飛行時，可以通過對地形坡度的限制來達(dá)到對最大爬升角的限制。

    如圖4所示，假設(shè)當(dāng)前節(jié)點的空間坐標(biāo)為(x_i，y_i，z_i)，待擴(kuò)展節(jié)點的空間坐標(biāo)為(x_i+1，y_i+1，z_i+1)，兩節(jié)點之間的距離為l，其爬升角為β，則由幾何關(guān)系可知：

1.1.3 對open表結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)

    由于在進(jìn)行節(jié)點擴(kuò)展尋找最優(yōu)航跡時頻繁地對open表中的節(jié)點執(zhí)行插入、刪除、排序操作，同時open表中的節(jié)點數(shù)目也相對較多，每次執(zhí)行插入、刪除操作后都需要對open表進(jìn)行排序。順序存儲結(jié)構(gòu)執(zhí)行插入、刪除、排序操作均較費時。執(zhí)行插入、刪除操作的時間復(fù)雜度是O(n)，排序的時間復(fù)雜度為O(n²)。由于在搜索時從open表中刪除的是代價值最小的節(jié)點，而open表是按照節(jié)點代價值大小來組成的有序表，因此實際在執(zhí)行刪除操作時的時間復(fù)雜度是O(1)，當(dāng)有新節(jié)點插入時即需對open表進(jìn)行排序以保證open表一直處于有序狀態(tài)。由此分析得出對open表的管理主要時間花銷是在節(jié)點排序上，為提高整體的運行效率，這里對open表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的改進(jìn)，通過采用樹形的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來管理open表。最小二叉堆是一種典型的樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過最小二叉堆對節(jié)點進(jìn)行排序的時間復(fù)雜度為O(n log₂ n)，通過此種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可減少open表節(jié)點排序的時間花銷。

1.2 代價函數(shù)的建立

    軍用無人機(jī)航跡規(guī)劃的目標(biāo)是在滿足無人機(jī)物理特性約束以及具體飛行任務(wù)約束的前提下生成超低空地形跟隨、地形回避以及威脅回避的飛行軌跡，以提高無人機(jī)的生存概率。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中P_Ci為無人機(jī)在第i航跡的撞地概率；P_Di是無人機(jī)在第i段航跡被敵方雷達(dá)探測到的概率，P_Ki為無人機(jī)在第i段航跡被敵方雷達(dá)探測到并被擊毀的概率^[7]。由于這些概率和地區(qū)的地形、威脅的分布密度、發(fā)現(xiàn)威脅的能力等都存在著很大關(guān)系，同時這些概率和無人機(jī)的各項狀態(tài)（飛行高度、速度、油量等）之間的關(guān)系很難定義，即使找出他們之間關(guān)系，該公式也將十分復(fù)雜，勢必將增加代價函數(shù)的計算難度。由此需要對上述的代價函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。無人機(jī)在低空突防時飛行的高度越低，被敵人發(fā)現(xiàn)的幾率就越小，規(guī)劃出的航跡飛行時間越短，越能達(dá)到出其不意的效果，同時也提高了無人機(jī)的生存概率；若飛行時間過長，會增加累計威脅，同時也增加油量的消耗?；谏鲜鲈蛟俳Y(jié)合啟發(fā)式A*算法的表達(dá)式，把g(n)和h(n)分別簡化為如下形式：

    起始節(jié)點到當(dāng)前節(jié)點的代價函數(shù)值：

    上述代價函數(shù)表達(dá)式中L_i表示從起始點到當(dāng)前節(jié)點飛行過的路程，F(xiàn)_max表示無人機(jī)油箱中的總的油量，H_min、H_max分別表示無人機(jī)為防止撞地的最小飛行高度和為防止被敵人雷達(dá)探測到的最高飛行高度，T_f表示無人機(jī)能接受威脅的最大門限值。啟發(fā)函數(shù)中L_n表示當(dāng)前節(jié)點到目標(biāo)節(jié)點的距離，h_n表示目標(biāo)節(jié)點的高程值，λ₁、λ₂、λ₃、μ₁、μ₂為表達(dá)式中各項的加權(quán)系數(shù)。設(shè)定不同的加權(quán)系數(shù)，獲得的航跡也有所不同：如果增大高度值的系數(shù)λ₁，則規(guī)劃出來的平均航跡高度就會越低，增大威脅值的系數(shù)值λ₂，則規(guī)劃出來的航跡將遠(yuǎn)離威脅，同理增大航跡長度系數(shù)值λ₃，這樣規(guī)劃出來的航跡長度將減少。通過對這些權(quán)重系數(shù)的不同組合，可以得到所期望的滿足條件的最優(yōu)航跡。

1.3 算法實現(xiàn)

    通過結(jié)合無人機(jī)的自身限制以及任務(wù)要求，在三維航跡搜索過程中將大大縮小搜索空間，從而規(guī)劃出滿足條件的航跡。A*算法的實現(xiàn)主要是維護(hù)兩個表：open表以及closed表。在三維空間中算法實現(xiàn)的具體實現(xiàn)步驟如下：

    (1)把地理威脅等環(huán)境信息初始化到規(guī)劃空間中。

    (2)把起始點添加到open表中，同時把closed表置空。

    (3)判斷open表是否為空，若為空則算法結(jié)束；反之，則找出open表中代價值最小的節(jié)點作為當(dāng)前節(jié)點，同時把該節(jié)點從open表中刪除，放入closed表中。

    (4)判斷當(dāng)前節(jié)點是否為目標(biāo)節(jié)點，若當(dāng)前節(jié)點到目標(biāo)節(jié)點的距離小于最小飛行距離，則將目標(biāo)節(jié)點的父親節(jié)點當(dāng)作當(dāng)前節(jié)點，航跡搜索過程結(jié)束。

    (5)對當(dāng)前節(jié)點進(jìn)行擴(kuò)展：

    ①根據(jù)約束條件產(chǎn)生當(dāng)前節(jié)點待擴(kuò)展區(qū)；

    ②對待擴(kuò)展區(qū)中的每個節(jié)點，根據(jù)式(5)、(6)計算每個節(jié)點的航跡代價；

    ③如果待擴(kuò)展區(qū)域中的某個節(jié)點已經(jīng)在closed表中且其代價估值小于closed表中的估價值，則更新closed表中的估價值，同時把該節(jié)點移出closed表，放入open表中；如若不在closed表中，則判斷該節(jié)點是否在open表中，如果不在則把該節(jié)點插入到open表中；

    ④如果該節(jié)點在open表中且open表中的g(n)值都大于當(dāng)前計算的g(n)值，則更新open表中節(jié)點g(n)的值，更新后需保證open表仍然有序。

    (6)接著繼續(xù)跳轉(zhuǎn)到步驟(3)執(zhí)行上述操作直至找到目標(biāo)節(jié)點。

    由于在節(jié)點擴(kuò)展時，每個被擴(kuò)展的節(jié)點都會記錄其父節(jié)點，當(dāng)算法找到目標(biāo)節(jié)點后則算法結(jié)束。接著通過從目標(biāo)節(jié)點向前回溯直到起始位置，這樣就得到了從起始點到目標(biāo)點的最小代價航跡。

2 仿真結(jié)果    

    對上述改進(jìn)后的算法在Intel Core i5、3.1 GHz的PC上進(jìn)行驗證試驗，運行環(huán)境是Windows7操作系統(tǒng)。規(guī)劃的空域大小為60 km×60 km，假設(shè)起始節(jié)點的坐標(biāo)為(0，0，0)，目標(biāo)節(jié)點的坐標(biāo)為(60，60，0)，最低離地間隙為100 m，最大轉(zhuǎn)彎角為45°，最大爬升/下滑角為30°。實驗通過用基本A*算法和改進(jìn)后的A*算法分別設(shè)置二組不同的λ₁、λ₂、λ₃、u₁，u₂值來規(guī)劃最優(yōu)航跡并對算法改進(jìn)前后的性能進(jìn)行比較分析。仿真圖5的λ₁、λ₂、λ₃、μ₁、μ₂分別為λ₁=0.1，λ₂=0.3，λ₃=0.6，μ₁=0.45，μ₂=0.55，由于λ₃所占權(quán)重較大，所以規(guī)劃出來的航跡總的路程較小。仿真圖6的λ₁，λ₂，λ₃，μ₁，μ₂分別為λ₁=0.4，λ₂=0.5，λ₃=0.1，μ₁=0.45，μ₂=0.55，由于λ₁、λ₂所占權(quán)重較大，所以規(guī)劃出的航跡飛行高度較低，安全性較高。

    兩種參數(shù)的飛行高度分別如圖7、圖8所示。通過對比可知，第一組數(shù)據(jù)的平均飛行高度要高于第二組，這就印證了參數(shù)λ₁的大小影響無人機(jī)的平均飛行高度，飛行高度越低也間接提高了無人機(jī)的安全性，飛行高度越低，越難被敵人雷達(dá)發(fā)現(xiàn)。

    基本A*算法與改進(jìn)后的A*算法性能比較如表1所示。通過各項數(shù)據(jù)對比可以看出，改進(jìn)后的算法規(guī)劃時間較改進(jìn)前的少很多，并且總的航跡路程也縮減了不少，這樣能夠在最快的時間內(nèi)規(guī)劃出滿足需求的最優(yōu)航跡。通過改變參數(shù)λ₁、λ₂、λ₃的權(quán)重比例可以規(guī)劃出更側(cè)重于飛行高度、安全性以及飛行距離的航跡。

3 結(jié)束語

    本文通過把無人機(jī)的各項機(jī)動性能限制、飛行路程以及飛行高度等約束條件相結(jié)合的方式來縮小節(jié)點擴(kuò)展時的搜索空間，同時對節(jié)點水平方向和縱向方向的空間劃分，使規(guī)劃出的航跡節(jié)點包含了無人機(jī)在該節(jié)點的各項狀態(tài)。在三維空間中，經(jīng)過限制后滿足要求的節(jié)點已很少，大大提高了搜索效率，對open表結(jié)構(gòu)的改進(jìn)減少了open表中節(jié)點排序的時間。同時對評價代價函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使算法能夠更快地收斂到最優(yōu)解。

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