摘  要： 為解決激勵(lì)合約理論的量化和實(shí)際應(yīng)用問題，提出了信號(hào)傳遞激勵(lì)合約模型的基于SVR的數(shù)值分析方法。利用SVR對(duì)效用函數(shù)建模，對(duì)委托人通過激勵(lì)合約向代理人傳遞其特征信號(hào)的優(yōu)化模型Ⅱ進(jìn)行了量化分析。具體推導(dǎo)出了該模型的梯度表達(dá)式，給出了相應(yīng)的梯度法迭代算法，并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和量化分析，觀察上述信號(hào)傳遞模型中某些參數(shù)變化對(duì)合約均衡點(diǎn)變化趨勢(shì)的影響。計(jì)算結(jié)果的合理性表明，用基于SVR的數(shù)值分析方法定量分析激勵(lì)合約模型是可行的。
關(guān)鍵詞： 支持向量回歸機(jī)；效用函數(shù)；信號(hào)傳遞；激勵(lì)與合約

    激勵(lì)合約優(yōu)化模型的研究一般采用解析的、定性的方法進(jìn)行分析[1]。但這種分析方法不僅導(dǎo)致激勵(lì)合約優(yōu)化模型在實(shí)際應(yīng)用受到限制，也使得理論本身的發(fā)展受到限制。其原因主要有兩方面，其一是模型所包含的效用函數(shù)難以用解析函數(shù)定量表達(dá)，造成整個(gè)模型難以作定量分析；其二是解析分析方法在對(duì)具有效用函數(shù)求導(dǎo)的梯度法的優(yōu)化模型求解時(shí)難以施展。由于支持向量回歸機(jī)在各領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用[2]，所以用支持向量回歸機(jī)對(duì)效用函數(shù)建模，解決信號(hào)傳遞優(yōu)化模型的量化表達(dá)問題，進(jìn)而對(duì)信號(hào)傳遞優(yōu)化模型作量化分析。
    本文研究用SVR解決信號(hào)傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的定量表達(dá)和分析問題，并與已有的解析分析方法相結(jié)合，利用SVR對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行建模，從而解決效用函數(shù)的表達(dá)問題。同時(shí)利用梯度法求解優(yōu)化模型，從而解決傳統(tǒng)解析方法無(wú)法解決的優(yōu)化模型的量化分析問題。在用支持向量回歸機(jī)對(duì)效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)出了提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約和提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約的委托人通過其設(shè)計(jì)的合約向代理人傳遞信息的信號(hào)傳遞模型的梯度表達(dá)式，并給出了相應(yīng)的梯度法迭代算法。利用這一算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和量化分析，觀察上述信號(hào)傳遞模型中參數(shù)變化對(duì)合約均衡點(diǎn)變化趨勢(shì)的影響。
1 SVR與效用函數(shù)建模[3]
    解決效用函數(shù)的定量描述問題是對(duì)激勵(lì)合約優(yōu)化模型定量計(jì)算的關(guān)鍵。而用SVR對(duì)效用函數(shù)建模又是解決效用函數(shù)的定量描述問題的關(guān)鍵。
1.1 支持向量回歸機(jī)SVR

1.2 效用函數(shù)的SVR建模
    效用函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中指消費(fèi)者在消費(fèi)某種商品過程中所得到的滿足感。在激勵(lì)合約中指對(duì)獲取收益的滿足感。效用函數(shù)帶有很強(qiáng)的主觀色彩，實(shí)際中由小樣本點(diǎn)集隱含。本文利用SVR對(duì)效用函數(shù)建模作量化描述，即用SVR表達(dá)效用函數(shù)。首先利用所收集到的效用函數(shù)的樣本集訓(xùn)練SVR，使其得到有關(guān)知識(shí)，這實(shí)際上是樣本點(diǎn)隱含的函數(shù)關(guān)系在各個(gè)神經(jīng)元上的權(quán)值。在SVR得到這組權(quán)值之后，就可以用來表達(dá)由樣本點(diǎn)隱含的函數(shù)關(guān)系，即對(duì)于所給定的自變量，可以通過訓(xùn)練后的SVR定量確定效用函數(shù)的值。在用SVR表達(dá)效用函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步定量計(jì)算相關(guān)的積分和導(dǎo)數(shù)。激勵(lì)合約研究的是簽約雙方同為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避類型（至少是風(fēng)險(xiǎn)中性）的效用函數(shù)的情形。當(dāng)效用函數(shù)是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，用一線性函數(shù)即可表達(dá)；而當(dāng)取效用函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避類型時(shí)，可以用SVR來表達(dá)。用SVR表達(dá)的效用函數(shù)的基本表達(dá)式為：

其中svr(x)的曲線形狀如圖1所示（通過對(duì)實(shí)際樣本點(diǎn)的訓(xùn)練回歸而得）。仿真時(shí)，可以在效用函數(shù)的基本表達(dá)式中引入兩個(gè)參數(shù)a和b，使效用函數(shù)具有如下形式：u(x)=af(bx)，通過調(diào)節(jié)a和b即可對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行微調(diào)。

2 信號(hào)傳遞優(yōu)化模型Ⅱ及其梯度法求解[5]
2.1 信號(hào)傳遞優(yōu)化模型Ⅱ[1]
    激勵(lì)合約的信號(hào)傳遞優(yōu)化模型Ⅱ可以形式化地表示為約束最值問題。典型的信號(hào)傳遞激勵(lì)合約模型Ⅱ是：委托人達(dá)到效用最大化時(shí)，委托人通過激勵(lì)合約向代理人傳遞其特征信號(hào)的優(yōu)化模型。其求解的實(shí)際含義是指，提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)的l型委托人和提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約(wk，ek)的k型委托人分別設(shè)計(jì)合約，l型委托人通過合約向代理人傳遞特征信息以使代理人選擇其設(shè)計(jì)的合約，k型委托人不需要向代理人傳遞信息便能使代理人選擇其設(shè)計(jì)的合約。模型Ⅱ要解決的問題是，在代理人不知委托人是l型還是k型的情況下，l型委托人應(yīng)該如何設(shè)計(jì)合約向代理人傳遞信息，以使得不情愿努力的代理人選擇生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)，同時(shí)使得委托人預(yù)期效用最大。
  
2.2 信號(hào)傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的梯度法求解[5]
2.2.1 目標(biāo)函數(shù)最值的梯度法求解
    函數(shù)的梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，梯度法就是以函數(shù)的梯度方向作為極值點(diǎn)的搜索方向。當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最小值時(shí)，要將函數(shù)的負(fù)梯度方向作為極值點(diǎn)的搜索方向。而當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最大值時(shí)，則要以函數(shù)的正梯度方向作為極值點(diǎn)的搜索方向。算法如下：

    對(duì)式(3)和式(4)的委托人模型，令式(3)中的生產(chǎn)效率k值從0.1，0.2，…，0.6增大時(shí)，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2星號(hào)線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值的變化對(duì)合約均衡點(diǎn)的影響，其中均衡點(diǎn)對(duì)變化方向已在圖2中標(biāo)出；對(duì)式(5)的合約模型，令式(3)和式(4)中k值較小時(shí)的模型為l型委托人(提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約)模型，k值較大時(shí)的模型為k型委托人(提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約)模型，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2加號(hào)線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值較小的l型委托人的的合約均衡點(diǎn)的變化，其中均衡點(diǎn)對(duì)變化方向已在圖2中標(biāo)出。
3.2 結(jié)果及其分析
    圖2是本文中信號(hào)傳遞合約模型的量化計(jì)算結(jié)果。橫軸表示代理人的工資水平，縱軸表示代理人努力程度，星號(hào)點(diǎn)是l型委托人和k型委托人合約均衡點(diǎn)，加號(hào)點(diǎn)是經(jīng)調(diào)整后l型委托人設(shè)計(jì)的合約均衡點(diǎn)。

    圖2的結(jié)果表明，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著委托人的生產(chǎn)效率k值的增加，即由k值較小時(shí)的l型委托人到k值較大時(shí)的k型委托人，均衡點(diǎn)（w，e）向右下方向移動(dòng)；這表明了l委托人所付給代理人的工資低于k型委托人所付給代理人的工資，而l型委托人所需要代理人的努力程度卻高于k型委托人所需代理人的努力程度，這顯然是不合理的，從而必須對(duì)l型委托人設(shè)計(jì)的合約進(jìn)行調(diào)整，使l型委托人向代理人傳遞其特征信息，調(diào)整到圖2的加號(hào)線所示，以便使代理人明白l型委托人設(shè)計(jì)的合約要求的努力程度低于k型委托人所需代理人的努力程度ek，而支付的工資也低于k型委托人支付給代理人的工資wk。這一結(jié)果提示委托人，當(dāng)委托人提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約時(shí)，要向代理人傳遞其工作輕松、要求努力程度低的信號(hào)才能使不情愿努力的代理人接受l型委托人設(shè)計(jì)的合約。
    本文在利用SVR對(duì)效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，用梯度法量化求解信號(hào)傳遞優(yōu)化模型,對(duì)信號(hào)傳遞模型Ⅱ（委托人通過激勵(lì)合約向代理人傳遞其能提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)特征信號(hào)的優(yōu)化模型）進(jìn)行了定量計(jì)算和分析。由于定量計(jì)算數(shù)值結(jié)果的直觀和易于理解，容易發(fā)現(xiàn)解析分析難以得到的信息。經(jīng)完善后也可以用于指導(dǎo)含有信號(hào)傳遞合約優(yōu)化模型Ⅱ的實(shí)際委托-代理合約的設(shè)計(jì)。
參考文獻(xiàn)
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