摘  要： 為解決激勵合約理論的量化和實際應(yīng)用問題，提出了信號傳遞激勵合約模型的基于SVR的數(shù)值分析方法。利用SVR對效用函數(shù)建模，對委托人通過激勵合約向代理人傳遞其特征信號的優(yōu)化模型Ⅱ進行了量化分析。具體推導(dǎo)出了該模型的梯度表達式，給出了相應(yīng)的梯度法迭代算法，并進行數(shù)值計算和量化分析，觀察上述信號傳遞模型中某些參數(shù)變化對合約均衡點變化趨勢的影響。計算結(jié)果的合理性表明，用基于SVR的數(shù)值分析方法定量分析激勵合約模型是可行的。
關(guān)鍵詞： 支持向量回歸機；效用函數(shù)；信號傳遞；激勵與合約

    激勵合約優(yōu)化模型的研究一般采用解析的、定性的方法進行分析[1]。但這種分析方法不僅導(dǎo)致激勵合約優(yōu)化模型在實際應(yīng)用受到限制，也使得理論本身的發(fā)展受到限制。其原因主要有兩方面，其一是模型所包含的效用函數(shù)難以用解析函數(shù)定量表達，造成整個模型難以作定量分析；其二是解析分析方法在對具有效用函數(shù)求導(dǎo)的梯度法的優(yōu)化模型求解時難以施展。由于支持向量回歸機在各領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用[2]，所以用支持向量回歸機對效用函數(shù)建模，解決信號傳遞優(yōu)化模型的量化表達問題，進而對信號傳遞優(yōu)化模型作量化分析。
    本文研究用SVR解決信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的定量表達和分析問題，并與已有的解析分析方法相結(jié)合，利用SVR對效用函數(shù)進行建模，從而解決效用函數(shù)的表達問題。同時利用梯度法求解優(yōu)化模型，從而解決傳統(tǒng)解析方法無法解決的優(yōu)化模型的量化分析問題。在用支持向量回歸機對效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)出了提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約和提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約的委托人通過其設(shè)計的合約向代理人傳遞信息的信號傳遞模型的梯度表達式，并給出了相應(yīng)的梯度法迭代算法。利用這一算法進行數(shù)值計算和量化分析，觀察上述信號傳遞模型中參數(shù)變化對合約均衡點變化趨勢的影響。
1 SVR與效用函數(shù)建模[3]
    解決效用函數(shù)的定量描述問題是對激勵合約優(yōu)化模型定量計算的關(guān)鍵。而用SVR對效用函數(shù)建模又是解決效用函數(shù)的定量描述問題的關(guān)鍵。
1.1 支持向量回歸機SVR

1.2 效用函數(shù)的SVR建模
    效用函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中指消費者在消費某種商品過程中所得到的滿足感。在激勵合約中指對獲取收益的滿足感。效用函數(shù)帶有很強的主觀色彩，實際中由小樣本點集隱含。本文利用SVR對效用函數(shù)建模作量化描述，即用SVR表達效用函數(shù)。首先利用所收集到的效用函數(shù)的樣本集訓(xùn)練SVR，使其得到有關(guān)知識，這實際上是樣本點隱含的函數(shù)關(guān)系在各個神經(jīng)元上的權(quán)值。在SVR得到這組權(quán)值之后，就可以用來表達由樣本點隱含的函數(shù)關(guān)系，即對于所給定的自變量，可以通過訓(xùn)練后的SVR定量確定效用函數(shù)的值。在用SVR表達效用函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以進一步定量計算相關(guān)的積分和導(dǎo)數(shù)。激勵合約研究的是簽約雙方同為風(fēng)險規(guī)避類型（至少是風(fēng)險中性）的效用函數(shù)的情形。當(dāng)效用函數(shù)是風(fēng)險中性時，用一線性函數(shù)即可表達；而當(dāng)取效用函數(shù)為風(fēng)險規(guī)避類型時，可以用SVR來表達。用SVR表達的效用函數(shù)的基本表達式為：

其中svr(x)的曲線形狀如圖1所示（通過對實際樣本點的訓(xùn)練回歸而得）。仿真時，可以在效用函數(shù)的基本表達式中引入兩個參數(shù)a和b，使效用函數(shù)具有如下形式：u(x)=af(bx)，通過調(diào)節(jié)a和b即可對效用函數(shù)進行微調(diào)。

2 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ及其梯度法求解[5]
2.1 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ[1]
    激勵合約的信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ可以形式化地表示為約束最值問題。典型的信號傳遞激勵合約模型Ⅱ是：委托人達到效用最大化時，委托人通過激勵合約向代理人傳遞其特征信號的優(yōu)化模型。其求解的實際含義是指，提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)的l型委托人和提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約(wk，ek)的k型委托人分別設(shè)計合約，l型委托人通過合約向代理人傳遞特征信息以使代理人選擇其設(shè)計的合約，k型委托人不需要向代理人傳遞信息便能使代理人選擇其設(shè)計的合約。模型Ⅱ要解決的問題是，在代理人不知委托人是l型還是k型的情況下，l型委托人應(yīng)該如何設(shè)計合約向代理人傳遞信息，以使得不情愿努力的代理人選擇生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)，同時使得委托人預(yù)期效用最大。
  
2.2 信號傳遞優(yōu)化模型Ⅱ的梯度法求解[5]
2.2.1 目標(biāo)函數(shù)最值的梯度法求解
    函數(shù)的梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，梯度法就是以函數(shù)的梯度方向作為極值點的搜索方向。當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最小值時，要將函數(shù)的負(fù)梯度方向作為極值點的搜索方向。而當(dāng)利用梯度法求函數(shù)的最大值時，則要以函數(shù)的正梯度方向作為極值點的搜索方向。算法如下：

    對式(3)和式(4)的委托人模型，令式(3)中的生產(chǎn)效率k值從0.1，0.2，…，0.6增大時，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2星號線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值的變化對合約均衡點的影響，其中均衡點對變化方向已在圖2中標(biāo)出；對式(5)的合約模型，令式(3)和式(4)中k值較小時的模型為l型委托人(提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約)模型，k值較大時的模型為k型委托人(提供生產(chǎn)率高、工作繁重的合約)模型，反復(fù)調(diào)用上述梯度法計算目標(biāo)函數(shù)值，得到如圖2加號線所示的委托人的生產(chǎn)效率k值較小的l型委托人的的合約均衡點的變化，其中均衡點對變化方向已在圖2中標(biāo)出。
3.2 結(jié)果及其分析
    圖2是本文中信號傳遞合約模型的量化計算結(jié)果。橫軸表示代理人的工資水平，縱軸表示代理人努力程度，星號點是l型委托人和k型委托人合約均衡點，加號點是經(jīng)調(diào)整后l型委托人設(shè)計的合約均衡點。

    圖2的結(jié)果表明，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著委托人的生產(chǎn)效率k值的增加，即由k值較小時的l型委托人到k值較大時的k型委托人，均衡點（w，e）向右下方向移動；這表明了l委托人所付給代理人的工資低于k型委托人所付給代理人的工資，而l型委托人所需要代理人的努力程度卻高于k型委托人所需代理人的努力程度，這顯然是不合理的，從而必須對l型委托人設(shè)計的合約進行調(diào)整，使l型委托人向代理人傳遞其特征信息，調(diào)整到圖2的加號線所示，以便使代理人明白l型委托人設(shè)計的合約要求的努力程度低于k型委托人所需代理人的努力程度ek，而支付的工資也低于k型委托人支付給代理人的工資wk。這一結(jié)果提示委托人，當(dāng)委托人提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約時，要向代理人傳遞其工作輕松、要求努力程度低的信號才能使不情愿努力的代理人接受l型委托人設(shè)計的合約。
    本文在利用SVR對效用函數(shù)建模的基礎(chǔ)上，用梯度法量化求解信號傳遞優(yōu)化模型,對信號傳遞模型Ⅱ（委托人通過激勵合約向代理人傳遞其能提供生產(chǎn)率低、工作輕松的合約(wl，el)特征信號的優(yōu)化模型）進行了定量計算和分析。由于定量計算數(shù)值結(jié)果的直觀和易于理解，容易發(fā)現(xiàn)解析分析難以得到的信息。經(jīng)完善后也可以用于指導(dǎo)含有信號傳遞合約優(yōu)化模型Ⅱ的實際委托-代理合約的設(shè)計。
參考文獻
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